logo

TechCodeview

Forma escalonada de fila

Una matriu està en forma d'escala de fila si té les propietats següents:

  • Qualsevol fila que consta completament de zeros es troba a la part inferior de la matriu.
  • Per a cada fila que no conté zeros completament, la primera entrada diferent de zero és 1 (anomenada 1 inicial).
  • Per a dues files successives (no zero), l'1 principal de la fila superior està més a l'esquerra que l'inici de la fila inferior.

Per a la forma esglaonada de fila reduïda, l'1 inicial de cada fila conté 0 a sota i a sobre del seu en aquesta columna.



A continuació es mostra un exemple de forma d'escaló de fila:

egin{bmatrix} 1 i 2 i -1 i 4 0 i 1 i 0 i 3 0 i 0 i 1 i 2 end{bmatrix}

ipconfig gratuït

i forma reduïda d'escalons de fila:



egin{bmatrix} 0 i 1 i 0 i 5 0 i 0 i 1 i 3 0 i 0 i 0 i 0 end{bmatrix}

Qualsevol matriu es pot transformar en forma d'escalons de fila reduït, utilitzant una tècnica anomenada eliminació gaussiana. Això és especialment útil per resoldre sistemes d'equacions lineals.

Eliminació gaussiana

L'eliminació gaussiana és una manera de convertir una matriu a la forma d'escaló de fila reduïda. També es pot utilitzar com a forma de trobar una solució a una solució del sistema d'equacions lineals. La idea darrere d'això és que fem algunes operacions matemàtiques a la fila i continuem fins que només quedi una variable.



A continuació es mostren algunes operacions que podem realitzar:

  • Intercanvia dues files qualsevol
  • Afegiu dues files juntes.
  • Multipliqueu una fila per una constant diferent de zero (és a dir, 1/3, -1/5, 2).

Donada la següent equació lineal:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

i la matriu augmentada anterior

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

a b c nombres

Ara, hem de convertir-ho a la forma de fila. Per convertir-ho en forma d'escalons de fila, hem de realitzar l'eliminació gaussiana.

  • Primer, hem de restar 2*r1des de la r2i 4*r1des de la r3per obtenir el 0 en primer lloc de r2i r3.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

  • A continuació, intercanviarem les files, r2 i r3 i després restarem 5*r2des de r3per obtenir el segon 0 a la tercera fila.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

  • Ara, podem deduir el valor Amb des de r3,és a dir, 10 z =0 ⇾ z=0. Amb l'ajuda del valor de z = 0, podem posar-lo a r2, y = 2. De la mateixa manera, podem posar el valor de y i z a r1i obtenim un valor de x=3

Rang de la matriu

El rang de la matriu és el nombre de files diferents de zero en la forma d'escala de fila. Per trobar el rang, hem de realitzar els passos següents:

  • Trobeu la forma escalonada de fila de la matriu donada
  • Compteu el nombre de files diferents de zero.

Prenem un exemple de matriu:

egin{bmatrix} 4 i 0 i 1 2 i 0 i 2 3 i 0 i 3 end{bmatrix}

Ara, reduïm la matriu anterior a la forma d'escalons de fila

egin{bmatrix} 1 i 0 i frac{1}{4} 0 i 0 i 1 0 i 0 i 0 end{bmatrix}

Aquí, només dues files contenen elements diferents de zero. Per tant, el rang de la matriu és 2.

Implementació

  • Per convertir una matriu en una forma reduïda d'escalons de fila, hem utilitzat el paquet Sympy a Python, primer hem d'instal·lar-lo.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())> 
>
>

Sortida: 

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>