Màximes i mínimes locals referir-se als punts de les funcions, que defineixen el rang més alt i més baix d'aquesta funció. La derivada de la funció es pot utilitzar per calcular els màxims locals i els mínims locals. Els màxims i mínims locals es poden trobar mitjançant l'ús de la prova de la primera derivada i la prova de la segona derivada.

En aquest article, parlarem de la introducció, definició i terminologia important de Local Maxima i Minima i el seu significat. També entendrem els diferents mètodes per calcular els màxims i mínims locals en matemàtiques i càlcul . També resoldrem diversos exemples i oferirem preguntes pràctiques per a una millor comprensió del concepte d'aquest article.

Taula de contingut

• Què és el màxim local i el mínim local?
• Definició de Màximes Locals i Mínims Locals
• Termes relacionats amb els màxims locals i els mínims locals
• Com trobar els màxims i mínims locals?
• Exemples sobre màxims locals i mínims locals

Què és el màxim local i el mínim local?

Els màxims i mínims locals s'anomenen valors màxims i mínims en un interval específic. Un màxim local es produeix quan els valors de a funció prop d'un punt concret són sempre inferiors als valors de la funció en el mateix punt. En el cas de Mínims locals, els valors d'una funció prop d'un punt concret són sempre més grans que els valors de la funció en el mateix punt.

En un sentit simple, un punt s'anomena màxim local quan la funció arriba al seu valor més alt en un interval específic, i un punt s'anomena mínim local quan la funció arriba al seu valor més baix en un interval específic.

Per exemple, si aneu a una zona muntanyosa i us situeu al cim d'un turó, aquest punt s'anomena punt de Màxima Local perquè esteu al punt més alt del vostre entorn. De la mateixa manera, si esteu al punt més baix d'un riu o mar, aquest punt s'anomena punt de mínims locals perquè esteu al punt més baix del vostre entorn.

Definició de Màximes Locals i Mínims Locals

Els màxims i els mínims locals són els valors inicials de qualsevol funció per fer-se una idea dels seus límits, com ara els valors de sortida més alt i més baix. Local Minima i Local Maxima també s'anomenen Local Extrema.

Local Maxima

Un punt màxim local és un punt de qualsevol funció on la funció assoleix el seu valor màxim dins d'un interval determinat. Un punt (x = a) d'una funció f (a) s'anomena màxim local si el valor de f(a) és major o igual que tots els valors de f(x).

java hola món

Matemàticament, f (a) ≥ f (a -h) i f (a) ≥ f (a + h) on h> 0, llavors a s'anomena punt màxim local.

Mínims locals

Un punt mínim local és un punt de qualsevol funció on la funció assoleix el seu valor mínim dins d'un interval determinat. Un punt (x = a) d'una funció f (a) s'anomena mínim local si el valor de f(a) és menor o igual que tots els valors de f(x).

Matemàticament, f (a) ≤ f (a -h) i f (a) ≤ f (a + h) on h> 0, llavors a s'anomena punt mínim local.

Termes relacionats amb els màxims locals i els mínims locals

A continuació es discuteix la terminologia important relacionada amb els màxims i mínims locals:

Valor màxim

Si alguna funció dóna el valor de sortida màxim per al valor d'entrada de x. Aquest valor de x s'anomena valor màxim. Si es defineix dins d'un interval específic. Aleshores aquest punt es diu Local Maxima .

Màxim absolut

Si alguna funció dóna el valor de sortida màxim per al valor d'entrada de x al llarg de tot el rang de la funció. Aquest valor de x s'anomena Màxim Absolut.

Valor mínim

Si alguna funció dóna el valor de sortida mínim per al valor d'entrada de x. Aquest valor de x s'anomena valor mínim. Si es defineix dins d'un interval específic. Aleshores aquest punt es diu Mínims locals .

Mínim Absolut

Si alguna funció dóna el valor de sortida mínim per al valor d'entrada de x al llarg de tot el rang de la funció. Aquest valor de x s'anomena Mínim Absolut.

Punt d'inversió

Si el valor de x dins del rang de la funció donada no mostra la sortida més alta i més baixa, s'anomena punt d'inversió.

Aprèn més, Màximes i mínimes absolutes

Com trobar màxims i mínims locals?

Els màxims locals i els mínims es determinen només per a un rang específic, no és el màxim ni el mínim per a tota la funció i no s'apliquen a tot el rang de la funció.

Hi ha el següent enfocament per calcular els màxims i mínims locals. Aquests són:

• En el primer pas, prenem la derivada de la funció.

• En el segon pas, posem la derivada igual a zero i calculem els punts crítics per a c.

• En el tercer pas, fem servir Primera derivada i Prova de segona derivada per determinar els màxims i mínims locals.

Què és la prova de primera derivada?

En primer lloc, prenem la primera derivada d'una funció que dóna el pendent de la funció. A mesura que ens acostem a un punt màxim, el pendent de la funció augmenta, després esdevé zero en el punt màxim, i després disminueix a mesura que ens allunyem.

De la mateixa manera, en el punt mínim, a mesura que ens acostem a un punt mínim, el pendent de la corba disminueix, després esdevé zero en el punt mínim, i després augmenta a mesura que ens allunyem d'aquest punt.

Prenem una funció f(x), que és contínua en el punt crític c, en un interval obert I, i f'(c) = 0, significa pendent en el punt crític c = 0.

Per comprovar la naturalesa de f'(x) al voltant del punt crític c, tenim les condicions següents per determinar el valor de màxim i mínim local a partir de la prova de la primera derivada. Aquestes condicions són:

• Si f ′(x) canvia de signe de positiu a negatiu a mesura que x augmenta a través de c, aleshores f(c) mostra el valor més alt d'aquesta funció en el rang donat. Per tant, el punt c és un punt màxim local, si la primera derivada f ‘(x)> 0 en qualsevol punt prou a prop de l’esquerra de c i f ‘(x) <0 en qualsevol punt prou proper a la dreta de c.

• Si f ′(x) canvia de signe de negatiu a positiu a mesura que x augmenta a través de c, aleshores f(c) mostra el valor més baix d'aquesta funció en l'interval donat. Per tant, el punt c és un punt mínim local, si la primera derivada f ‘(x) 0 en qualsevol punt prou proper a la dreta de c.

• Si f'(x) no canvia significativament el signe amb x augmentant a través de c, aleshores el punt c no mostra el valor més alt (màxim local) i més baix (mínim local) de la funció, en aquest cas, el punt c és anomenat punt d'inflexió.

Llegeix més sobre Test de primera derivada .

Què és la prova de segona derivada?

La prova de la segona derivada s'utilitza per esbrinar el valor del màxim absolut i del mínim absolut de qualsevol funció dins d'un interval específic. Prenem una funció f(x), que és contínua en el punt crític c, en un interval obert I, i f'(c) = 0, significa pendent en el punt crític c = 0. Aquí prenem la segona derivada f (x) de la funció f(x) que dóna el pendent de la funció.

Per comprovar la naturalesa de f'(x), tenim les condicions següents per determinar el valor de màxim i mínim local a partir de la prova de la segona derivada. Aquestes condicions són:

• El punt c és un punt màxim local, si la primera derivada f'(c) = 0, i la segona derivada f(c) <0. El punt en x= c serà el màxim local i f(c) serà el valor màxim local de f(x).

• El punt c és un punt de mínims locals, si la primera derivada f'(c) = 0, i f(c) la segona derivada> 0. El punt en x= c serà el mínim local i f(c) serà la Valor mínim local de f(x).

• La prova falla, si la primera derivada f'(c) = 0 i la segona derivada f(c) = 0, aleshores el punt c no mostra el valor més alt (màxim local) i més baix (mínim local) de la funció. , En aquest cas, el punt c s'anomena punt d'inflexió i el punt x = c s'anomena Punt d'inflexió.

També, comproveu

• Aplicació de derivats
• Màximes i mínims relatius
• Fórmula de diferenciació i integració

Exemples sobre màxims locals i mínims locals

Exemple 1: analitzeu els màxims locals i els mínims locals de la funció f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 mitjançant la prova de la primera derivada.

Solució:

La funció donada és f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

La primera derivada de la funció és f'(x) = 6x²– 6x – 12, servirà per esbrinar els punts crítics.

Per trobar el punt crític, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6 (x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Per tant, els punts crítics són x = -1 i x = 2.

Analitzeu el punt immediat de la primera derivada al punt crític x = -1. Els punts són {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 i f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

El signe de la derivada és positiu cap a l'esquerra de x = -1, i és negatiu cap a la dreta. Per tant, indica que x = -1 és el màxim local.

Analitzem ara el punt immediat de la primera derivada al punt crític x = 2. Els punts són {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 i f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

unix crear directori

El signe de la derivada és negatiu cap a l'esquerra de x = 2 i és positiu cap a la dreta. Per tant, indica que x = 2 és el mínim local.

Per tant, el màxim local és -1 i el mínim local és 2.

Exemple 2: Analitzeu els màxims locals i els mínims locals de la funció f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 utilitzant la prova de la segona derivada.

Solució:

La funció donada és f(x) = -x³+6x²-12x +10

La primera derivada de la funció és f'(x) = -x³+6x²-12x +10, servirà per esbrinar els punts crítics.

Per trobar el punt crític, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Per tant, els punts crítics són x = 1 i x = 3

Ara prenem una segona derivada de la funció,

f(x) = 6x – 12

Avalueu f(x) en el punt crític x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0 i, per tant, x = 1 correspon als màxims locals.

Avalueu f(x) en el punt crític x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0 i, per tant, x = 3 correspon als mínims locals.

Ara, calcularem els valors de la funció en els punts crítics:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, per tant, el màxim local és a (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, per tant, el màxim local és a (3, 1)

Preguntes pràctiques sobre mínims i màxims locals

Q1. Trobeu els màxims locals i els mínims locals de la funció f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 utilitzant la prova de la segona derivada.

P2. Trobeu i analitzeu els màxims locals i els mínims locals de la funció f(x) = – x²+4x -5 utilitzant la prova de la segona derivada.

P3. Trobeu els màxims locals i els mínims locals de la funció f(x) = x²-4x +5 utilitzant la prova de la primera derivada.

trencar java

P4. Trobeu i analitzeu els màxims locals i els mínims locals de la funció f(x) = 3x²-12x +5 utilitzant la prova de la primera derivada.

P5. Trobeu i analitzeu els màxims locals i els mínims locals de la funció f(x) = x³– 6x²+9x + 15 utilitzant la prova de la primera derivada.

P6. Trobeu i analitzeu els màxims locals i els mínims locals de la funció f(x) = 2x³-9x²+12x +5 utilitzant la prova de la segona derivada.

Màximes locals i mínims locals - Preguntes freqüents

Què és Local Maxima?

Un punt s'anomena Màxim Local quan la funció arriba al seu valor més alt en un interval específic.

Com es pot trobar el màxim local?

En diferenciar la funció i trobar el valor crític en què el pendent és zero, podem trobar el màxim local.

Què és el mínim local?

Un punt s'anomena Mínim Local quan la funció arriba al seu valor més baix en un interval específic.

Quins mètodes podeu utilitzar per calcular els màxims locals i els mínims locals?

Prova de primera derivada i prova de segona derivada.

Quina diferència hi ha entre la prova de la primera derivada i la prova de la segona derivada?

La prova de primera derivada és el mètode aproximat per calcular el valor de màxims i mínims locals i la prova de segona derivada és el mètode sistemàtic i precís per calcular el valor de màxims i mínims locals.

Quin és el significat del punt d'inversió?

Si el valor d'un punt dins de l'interval d'una funció donada no mostra la sortida més alta i més baixa, aquest punt s'anomena punt d'inversió.

Quin és l'ús de Local Maxima i Local Minima?

Per esbrinar el valor extrem d'una funció dins d'un interval determinat.