Les fórmules de mig angle s'utilitzen per trobar diversos valors d'angles trigonomètrics, com ara 15°, 75° i altres, també s'utilitzen per resoldre diversos problemes trigonomètrics.

Diverses proporcions i identitats trigonomètriques ajuden a resoldre problemes de trigonometria. Els valors dels angles trigonomètrics 0°, 30°, 45°, 60°, 90° i 180° per a sin, cos, tan, cosec, sec i cot es determinen mitjançant una taula de trigonometria. Les fórmules de mig angle s'utilitzen àmpliament en matemàtiques, aprendrem-ne detalladament en aquest article.

Taula de contingut

• Fórmules de mig angle
• Identitats de mig angle
• Derivació de fórmules de mig angle mitjançant fórmules de doble angle
• Fórmula de mig angle per a la derivació del cos
• Fórmula de mig angle per a la derivació del pecat
• Fórmula de mig angle per a la derivació del bronzejat
• Exemples resolts en fórmules de mig angle

Fórmules de mig angle

Per trobar els valors dels angles a part dels valors coneguts de 0°, 30°, 45°, 60°, 90° i 180°. Els mitjans angles es deriven de fórmules d'angle doble i s'enumeren a continuació per a sin, cos i tan:

• sense (x/2) = ± [(1 – cos x)/ 2]^1/2
• cos (x/2) = ± [(1 + cos x)/2]^1/2
• tan (x/ 2) = (1 – cos x)/ sense x

Identitats trigonomètriques de fórmules de doble angle són útils per a la derivació de fórmules de mig angle.

Fórmules de mig angle

Identitats de mig angle

Identitats de mig angle per a alguns populars funcions trigonomètriques són,

• Fórmula de mig angle del pecat,

sense A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

• Fórmula de mig angle de Cos,

cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]

• Fórmula de mig angle de bronzejat,

tan A/2 = ±√[1 – cos A] / [1 + cos A]

tan A/2 = sense A / (1 + cos A)

tan A/2 = (1 – cos A) / sense A

Derivació de fórmules de mig angle mitjançant fórmules de doble angle

Les fórmules de mig angle es deriven mitjançant fórmules de doble angle. Abans d'aprendre sobre les fórmules de mig angle hem d'aprendre sobre l'entrada de doble angle Trigonometria , les fórmules de doble angle més utilitzades en trigonometria són:

• sense 2x = 2 sense x cos x
• cos 2x = cos²x – sense²x
  = 1 – 2 sense²x
  = 2 cos²x-1
• tan 2x = 2 tan x / (1 – tan²x)

Ara substituint x per x/2 a ambdós costats a les fórmules anteriors obtenim

• sense x = 2 sense(x/2) cos(x/2)
• cos x = cos²(x/2) – sense²(x/2)
  = 1 – 2 sense²(x/2)
  = 2 cos²(x/2) – 1
• tan A = 2 tan (x/2) / [1 – tan²(x/2)]

Fórmula de mig angle per a la derivació del cos

Utilitzem cos2x = 2cos²x – 1 per trobar la fórmula de mig angle per a Cos

Posa x = 2y a la fórmula anterior

cos (2)(i/2) = 2cos²(i/2) – 1

cos i = 2cos²(i/2) – 1

1 + cos i = 2cos²(i/2)

2cos²(i/2) = 1 + cosy

cos²(i/2) = (1+ cosy)/2

cos(i/2) = ± √{(1+ cosy)/2}

Fórmula de mig angle per a la derivació del pecat

Utilitzem cos 2x = 1 – 2sin²x per trobar la fórmula de mig angle per a Sin

Posa x = 2y a la fórmula anterior

cos (2)(i/2) = 1 – 2sin²(i/2)

cos i = 1 – 2sin²(i/2)

2sin²(i/2) = 1 – cosy

sense²(i/2) = (1 – cosy)/2

sin(i/2) = ± √{(1 – cosy)/2}

Fórmula de mig angle per a la derivació del bronzejat

Sabem que tan x = sin x / cos x tal que,

tan(x/2) = sense(x/2) / cos(x/2)

Posant els valors de mig angle per sin i cos. Obtenim,

tan(x/2) = ± [(√(1 – cosy)/2 ) / (√(1+ cosy)/2 )]

tan(x/2) = ± [√(1 – cosy)/(1+ cosy) ]

Racionalització del denominador

tan(x/2) = ± (√(1 – acollidor)(1 – acollidor)/(1+ acollidor)(1 – acollidor))

tan(x/2) = ± (√(1 – cosy)²/(1 – cos²i))

tan(x/2) = ± [√{(1 – cosy)²/( sense²i)}]

tan(x/2) = (1 – acollidor)/(cub)

També, comproveu

• Aplicacions de la trigonometria a la vida real
• Sense Cos Formules

Exemples resolts en fórmules de mig angle

Exemple 1: Determineu el valor de sin 15°

Solució:

Sabem que la fórmula del mig angle del sinus ve donada per:

sense x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

El valor del sinus 15° es pot trobar substituint x per 30° a la fórmula anterior

sense 30°/2 = ± ((1 – cos 30°)/ 2)^1/2

sense 15° = ± ((1 – 0.866)/ 2)^1/2

sense 15° = ± (0.134/2)^1/2

sense 15° = ± (0.067)^1/2

sense 15° = ± 0.2588

germans kylie jenner

Exemple 2: Determineu el valor de sin 22,5 °

Solució:

Sabem que la fórmula del mig angle del sinus ve donada per:

sense x/2 = ± ((1 – cos x)/ 2)^1/2

El valor del sinus 15° es pot trobar substituint x per 45° a la fórmula anterior

sense 45°/2 = ± ((1 – cos 45°)/ 2)^1/2

sense 22.5° = ± ((1 – 0.707)/ 2)^1/2

sense 22.5° = ± (0.293/2)^1/2

sense 22.5° = ± (0.146)^1/2

sense 22.5° = ± 0.382

Exemple 3: Determineu el valor de tan 15°

Solució:

Sabem que la fórmula del mig angle del sinus ve donada per:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sense x

El valor de tan 15° es pot trobar substituint x per 30° a la fórmula anterior

tan 30°/2 = ± (1 – cos 30°)/ sense 30°

tan 15° = ± (1 – 0.866)/ sense 30

tan 15° = ± (0.134)/ 0.5

tan 15° = ± 0.268

Exemple 4: Determineu el valor de tan 22,5°

Solució:

Sabem que la fórmula del mig angle del sinus ve donada per:

tan x/2 = ± (1 – cos x)/ sense x

El valor de tan 22,5° es pot trobar substituint x per 45° a la fórmula anterior

tan 30°/2 = ± (1 – cos 45°)/ sense 45°

tan 22.5° = ± (1 – 0.707)/ sense 45°

cadena a nombres enters

tan 22.5° = ± (0.293)/ 0.707

tan 22.5° = ± 0.414

Exemple 5: Determineu el valor de cos 15°

Solució:

Sabem que la fórmula del mig angle del sinus ve donada per:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/2)^1/2

El valor del sinus 15° es pot trobar substituint x per 30° a la fórmula anterior

cos 30°/2 = ± ((1 + cos 30°)/ 2)^1/2

cos 15° = ± ((1 + 0,866)/ 2)^1/2

cos 15° = ± (1,866/2)^1/2

cos 15° = ± (0,933)^1/2

cos 15° = ± 0,965

Exemple 6: Determineu el valor de cos 22,5°

Solució:

Sabem que la fórmula del mig angle del sinus ve donada per:

cos x/2 = ± ((1 + cos x)/ 2)^1/2

El valor del sinus 15° es pot trobar substituint x per 45° a la fórmula anterior

cos 45°/2 = ± ((1 + cos 45°)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± ((1 + 0,707)/ 2)^1/2

cos 22,5° = ± (1,707/2)^1/2

cos 22,5° = ± (0,853)^1/2

cos 22,5° = ± 0,923

Preguntes freqüents sobre la fórmula de mig angle

Per a què serveixen les fórmules de mig angle?

Les fórmules de mig angle s'utilitzen per trobar proporcions trigonomètriques de la meitat dels angles estàndard, com ara 15 °, 22,5 ° i altres. També s'utilitzen per resoldre equacions trigonomètriques complexes i es requereixen per resoldre integrals i equacions diferencials.

Quina és la fórmula de mig angle per al pecat?

La fórmula de mig angle per al pecat és

sense A/2 = ±√[(1 – cos A) / 2]

A més, per a qualsevol triangle amb costats a, b i c i semiperímetre sigui s, doncs

sin A/2 = √[(s – b) (s – c) / bc]

Què és la fórmula de mig angle per al cosinus?

Fórmula de mig angle per a cos és

cos A/2 = ±√[(1 + cos A)/2]

A més, per a qualsevol triangle amb costats a, b i c i semiperímetre sigui s, doncs

cos (A/2) = √[ s (s – a)/bc]

Quina és la fórmula de cos i ?

Per a qualsevol triangle rectangle, amb un angle θ la fórmula que s'utilitza per calcular el cosinus de l'angle (θ) és

Cos(θ) = adjacent / hipotenusa