Fórmules de Sin Cos en trigonometria: La trigonometria, com el seu nom indica, és l'estudi dels triangles. És una branca important de les matemàtiques que estudia la relació entre les longituds dels costats i els angles del triangle rectangle i també ajuda a determinar les longituds dels costats o angles que falten d'un triangle. Hi ha sis relacions o funcions trigonomètriques: sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant i cotangent, on cosecant, secant i cotangent són les funcions recíproques de les altres tres funcions, és a dir, sinus, cosinus i tangent, respectivament.

Una relació trigonomètrica es defineix com la relació entre les longituds dels costats d'un triangle rectangle. La trigonometria s'utilitza en diversos camps de la nostra vida quotidiana. Ajuda a determinar les altures de turons o edificis. També s'utilitza en camps com la criminologia, la construcció, la física, l'arqueologia, l'enginyeria de motors marins, etc.

En aquest article, ho explorarem tot fórmules de trigonometria principalment fórmules sin i cos amb els seus exemples, i una llista de totes les fórmules de trigonometria.

Taula de contingut

• Fórmules en trigonometria
• Fórmula sinusoïdal
• Fórmula del cosinus
• Algunes fórmules bàsiques de Sin Cos
• Sense Cos Formulas Table
• Llista de fórmules de Sin Cos
• Sense Cos Formules Examples
• Practica problemes sobre fórmules de Sin Cos en trigonometria amb exemples

Fórmules en trigonometria

Considerem un triangle rectangle XYZ, on ∠Y = 90°. Sigui θ l'angle al vèrtex Z. El costat adjacent a θ s'anomena costat adjacent i el costat oposat a θ s'anomena costat oposat. Una hipotenusa és un costat oposat a l'angle recte o el costat més llarg d'un angle recte.

• sin θ = costat oposat/hipotenusa
• cos θ = costat adjacent/hipotenusa
• tan θ = costat oposat/costat adjacent
• cosec θ = 1/sin θ = Hipotenusa/Cot oposat
• sec θ = 1/ cos θ = Hipotenusa/Cot adjacent
• cot θ = 1/ tan θ = Costa adjacent/Costa oposada

Fórmula sinusoïdal

El sinus d'un angle en un triangle rectangle és la relació entre la longitud del costat oposat i la longitud de la hipotenusa a l'angle donat. Una funció sinus es representa com pecat.

sin θ = costat oposat/hipotenusa

Fórmula del cosinus

El cosinus d'un angle en un triangle rectangle és la relació entre la longitud del costat adjacent i la longitud de la hipotenusa a l'angle donat. Una funció cosinus es representa com cos.

encoixinat np

cos θ = costat adjacent/hipotenusa

Algunes fórmules bàsiques de Sin Cos

Funcions sinus i coseus en quadrants

• La funció sinus és positiva al primer i segon quadrants i negativa al tercer i quart quadrants.
• La funció cosinus és positiva al primer i quart quadrants i negativa al segon i tercer quadrants.

Graus	Quadrant	Signe de funció sinusoïdal	Signe de la funció Cosinus
0° a 90°	1r quadrant	+ (positiu)	+ (positiu)
90° a 180°	2n quadrant	+ (positiu)	- (negatiu)
180° a 270°	3r quadrant	- (negatiu)	- (negatiu)
270° a 360°	4t quadrant	- (negatiu)	+ (positiu)

La identitat de l'angle negatiu de les funcions sinus i cosinus

• El sinus d'un angle negatiu és sempre igual al sinus negatiu de l'angle.

sin (– θ) = – sin θ

• El cosinus d'un angle negatiu sempre és igual al cosinus de l'angle.

cos (– θ) = cos θ

Relació entre la funció sinus i cosinus

sin θ = cos (90° – θ)

Funcions recíproques de les funcions sinus i cosinus

• Una funció cosecant és la funció recíproca de la funció sinus.

cosec θ = 1/sin θ

• Una funció secant és la funció recíproca de la funció cosinus.

sec θ = 1/cos θ

Identitat pitagòrica

sense ² θ + cos ² θ = 1

Identitats periòdiques de les funcions sinus i cosinus

sin (θ + 2nπ) = sin θ

cos (θ + 2nπ) = cos θ

Fórmules de doble angle per a les funcions sinus i cosinus

sin 2θ = 2 sin θ cos θ

cos 2θ = cos ² θ – sin ² θ = 2 cos ² θ – 1 = 1 – 2 sin ² i

Identitats de mig angle per a les funcions sinus i cosinus

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Identitats d'angle triple per a les funcions sinus i cosinus

sin 3θ = 3 sin θ – 4 sin ³ i

cos 3θ = 4cos ³ θ – 3 cos θ

Fórmules de suma i diferència

• Funció sinusoïdal

sense (A + B) = sense A cos B + cos A sense B

sense (A – B) = sense A cos B – cos A sense B

• Funció coseno

cos (A + B) = cos A cos B – sense A sense B

cos (A – B) = cos A cos B + sense A sense B

Llei dels sinus o regla dels sinus

La llei dels sinus de la regla del sinus és una llei trigonomètrica que dóna una relació entre les longituds dels costats i els angles d'un triangle.

a/sense A = b/sense B = c/sense C

On a, b i c són les longituds dels tres costats del triangle ABC, i A, B i C són els angles.

Llei dels coseus

La llei dels coseus del cosinus s'utilitza per determinar els angles o les longituds dels costats que falten o desconeguts d'un triangle.

a ² = b ² + c ² – 2bc cos A

b ² = c ² + a ² – 2ca cos B

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

On a, b i c són les longituds dels tres costats del triangle ABC, i A, B i C són els angles.

Sense Cos Formulas Table

Aquí teniu la taula/llista de fórmules Sin i Cos per a diversos angles en graus i en radians:

Llista de fórmules de Sin Cos

Sense Cos Formules Examples

Problema 1: Si cos α = 24/25, aleshores trobeu el valor de sin α.

Solució:

Donat,

cos α = 24/25

De les identitats pitagòriques que tenim;

cos²θ + sin²θ = 1

(24/25)²+ sense²α = 1

sense²α = 1 – (24/25)²

sense²α = 1 – (576/625) = (625 – 576)/625

sense²α = (625 – 576)/625 = 49/626

sin α = √49/625 = ±7/25

Per tant, sin α = ±7/25.

Problema 2: Demostreu les fórmules sin 2A i cos 2A, si ∠A= 30°.

Solució:

Donat, ∠A= 30°

Ho sabem,

1) sense 2A = 2 sense A cos A

sense 2(30°) = 2 sense 30° cos 30°

sense 60° = 2 × (1/2) × (√3/2) {Since, sense 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 i sense 60° = √3/2}

√3/2 = √3/2

L.H.S = R.H.S

2) cos 2A = 2cos²A-1

cos 2(30°) = 2cos²(30°) – 1

cos 60° = 2(√3/2)²– 1 = 3/2 – 1 {Atès que cos 60° = 1/2 i cos 30° = √3/2}

1/2 = 1/2

L.H.S = R.H.S

Per tant demostrat.

Problema 3: Trobeu el valor de cos x, si tan x = 3/4.

Solució:

Donat, tan x = 3/4

Ho sabem,

tan x = costat oposat/costat adjacent = 3/4

Per trobar la hipotenusa, utilitzem el teorema de Pitàgores:

hipotenusa²= contrari²+ adjacent²

H²= 3²+ 4²

H²= 9 + 16 = 25

H = √25 = 5

Ara, cos x = costat adjacent/hipotenusa

cos x = 4/5

Així, el valor de cos x és 4/5.

Problema 4: Trobeu ∠C (en graus) i ∠A (en graus), si ∠B = 45°, BC = 15 polzades i AC = 12 polzades.

Solució:

Donats: ∠B = 45°, BC = a = 15 polzades i AC = b = 12 polzades.

De la llei dels sins, tenim

a/sense A = b/sense B = c/sense C

⇒ a/sense A = b/sense B

⇒ 15/sense A = 12/sense 45°

⇒ 15/sense A = 12/(1/√2)

⇒ 15/sense A = 12√2 = 16.97

⇒ sense A = 15/16.97 = 0.8839

⇒ ∠A = sense^-1(0.8839) = 62.11°

Sabem que la suma dels angles interiors d'un triangle és 180°.

Així, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ 62.11° + 45° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° – (62.11° + 45°) = 72.89°

Per tant, ∠A = 62,11° i ∠C = 72,89°.

Problema 5: Demostrar les identitats de mig angle de la funció cosinus.

Solució:

La identitat de mig angle de la funció cosinus és:

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Des d'identitats de doble angle, tenim,

cos 2A = 2 cos²A-1

Ara substituïu A per θ/2 als dos costats

⇒ cos 2(θ/2) = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ cos θ = 2 cos²(i/2) – 1

⇒ 2cos²(θ/2) = cos θ + 1

⇒ cos²(θ/2) = (cos θ + 1)/2

⇒ cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

Per tant demostrat.

Practica problemes sobre fórmules de Sin Cos en trigonometria amb exemples

1. Donat sin⁡ θ = 3/5. Trobeu cos θ.

2. Demostra la identitat sin⁡(2A) = 2 sin⁡A cos⁡A per a A=45∘.

3. Si cos⁡ α = 5/13. Trobeu sin(2a).

4. Resol per θ si sin θ = cos(90∘−θ).

5. Si tan ⁡β = 2. Trobeu sin ⁡β i cos⁡ β utilitzant la identitat pitagòrica.

Preguntes freqüents sobre fórmules Sin Cos en trigonometria amb exemples

Quines són les fórmules bàsiques del sinus i del cosinus en trigonometria?

Les fórmules bàsiques del sinus i del cosinus són sin ⁡θ = oposat/hipotenusa i cos ⁡θ = adjacent/hipotenusa, on θ és un angle en un triangle rectangle.

Com es troba el sinus i el cosinus d'angles especials?

Angles especials com ara 0∘, 30∘, 45∘, 60∘ i 90∘ tenen valors de sinus i cosinus específics que es poden recordar mitjançant taules trigonomètriques o conceptes de cercle unitari.

Quina relació hi ha entre les funcions sinus i cosinus?

Les funcions sinus i cosinus estan relacionades per la identitat sin ⁡θ = cos⁡(90∘- θ) i la identitat pitagòrica sense⁡ ² θ+cos⁡ ² θ = 1.

Com s'utilitzen les fórmules de doble angle per al sinus i el cosinus?

Les fórmules de doble angle són sin⁡(2θ) = 2sin⁡θcos⁡θ i cos⁡(2θ)=cos⁡ ² θ – sin⁡ ² i. S'utilitzen per expressar funcions trigonomètriques d'angles dobles en termes d'angles simples.

Com es troben els valors del sinus i el cosinus dels angles en diferents quadrants?

Els signes de les funcions sinus i cosinus depenen del quadrant en què es troba l'angle:

• Primer quadrant: sin⁡ θ> 0 i cos θ> 0
• Segon quadrant: sin ⁡θ> 0 i cos θ <0
• Tercer quadrant: sin⁡θ <0 i cosθ <0
• Quart quadrant: sin⁡θ 0