La fórmula del punt mitjà és ((x 1 + x 2 )/2, (i 1 + i 2 )/2). Les coordenades dels dos punts són (x1, i1) i (x2, i2) respectivament, i el punt mitjà és un punt que es troba a mig camí entre aquests dos punts.
El punt mitjà és un concepte fonamental en geometria de coordenades. Té un paper crucial a l'hora de trobar el punt mitjà d'un segment de línia. Hi ha casos a la geometria de coordenades on hem de conèixer el punt mitjà de dos punts donats o el punt mitjà d'un segment de línia. En aquest cas, utilitzem la fórmula del punt mitjà, ja que és una manera senzilla i eficaç de calcular el punt mitjà de qualsevol segment de línia donat, independentment de la seva longitud o posició en el pla de coordenades.
Hem tractat amb detall la fórmula del punt mitjà, amb la seva derivació utilitzant la semblança de triangles. Juntament amb ell, hem seleccionat els exemples resolts a Mid Point Formula.
Definició del punt mitjà
El punt que divideix la línia exactament en dues meitats iguals és el punt mitjà de la línia. En altres paraules, la proporció de les dues meitats de la línia en què el divideix el punt mitjà és 1:1.
Punt mitjà de la línia
Fórmula del punt mitjà de la línia
Per a un segment de línia AB en coordenada cartesiana on la coordenada de l'eix x del punt A és x1i la coordenada de l'eix y del punt A és y1i de la mateixa manera, la coordenada de l'eix x del punt B és x2i la coordenada de l'eix y del punt B és y2,el punt mitjà de la línia vindrà donat per (xm, im).
La fórmula per al punt mitjà (xm, im) és:
Fórmula del punt mitjà
Derivació de la fórmula del punt mitjà
Sigui P(x1,i1) i Q(x2,i2) siguin els dos extrems d'una recta donada en un pla de coordenades, i R(x,y) sigui el punt d'aquesta recta que divideix PQ en la proporció m1:m2de tal manera que
PR/RQ = m1/m2. . .(1)
Derivació de la fórmula del punt mitjà
Traçant línies PM, QN i RL perpendiculars a l'eix x i passant per R dibuixeu una línia recta paral·lela a l'eix x per trobar MP a S i NQ a T.
Per tant, a partir de la figura, podem dir:
SR = ML = OL – OM = x – x1. . . (2)
educació de Cassidy HutchinsonRT = LN = ON – Ol = x2–x. . . (3)
PS = MS – MP = LR – MP = y – y1. . . (4)
TQ = NQ – NT = NQ – LR = y2– i . . . (5)
Ara triangle ∆ SPR és semblant al triangle ∆TQR .
Per tant,
SR/RT = PR/RQ
Utilitzant les equacions 2, 3 i 1, sabem:
x – x1/ x2– x = m1/ m2
⇒ m2x – m2x1= m1x2– m1x
⇒ m1x + m2x = m1x2+ m2x1
⇒ (m1+ m2)x = m1x2+ m2x1
⇒ x = (m1x2+ m2x1) / (m1+ m2)
Ara triangle ∆ SPR és semblant al triangle ∆ TQR,
Per tant,
PS/TQ = PR/RQ
Utilitzant les equacions 4, 5 i 1, sabem:
i – i1/ i2– y = m1/ m2
⇒ m2i – m2i1= m1i2– m1i
⇒ m1i + m2y = m1i2+ m2i1
⇒ (m1+ m2)i = m1i2+ m2i1
⇒ i = (m1i2+ m2i1) / (m1+ m2)
Per tant, les coordenades de R(x,y) són:
R(x, y) = (m 1 x 2 + m 2 x 1 ) / (m 1 + m 2 ), (m 1 i 2 + m 2 i 1 ) / (m 1 + m 2 )
Com que havíem de calcular el punt mitjà, mantenim els dos valors de m1i m2igual que és a dir
Per al punt mitjà coneixem per la definició de punt mitjà, m1= m2= 1.
La cadena java conté
(x, y) = ((1.x2+ 1.x1) / (1 + 1), (1.i2+ 1.y1) / (1 + 1))
x, y = (x 2 + x 1 ) / 2, (i 2 + i 1 ) / 2
Com trobar el punt mitjà?
Per trobar les coordenades del punt mitjà de qualsevol segment de línia donat podem utilitzar la fórmula del punt mitjà si es donen els extrems del segment de línia. Considereu l'exemple següent per al mateix.
Exemple: Trobeu les coordenades del punt mitjà d'un segment de línia els extrems del qual són (5, 6) i (-3, 4).
Solució:
Com sabem, el punt mitjà d'un segment de línia ve donat per la fórmula:
Punt mig = ((x1+x2)/2 , (i1+i2)/2)
on (x1, i1) i (x2, i2) són les coordenades dels extrems del segment de línia.
Punt mig = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)
⇒ Punt mig = (2/2, 10/2)
⇒ Punt mig = (1, 5)
Per tant, les coordenades del punt mitjà del segment de línia són (1, 5).
Fórmula relacionada
Hi ha fórmules similars a la fórmula del punt mitjà, que són les següents:
- Fórmula de la secció
- Fórmula del centroide
Fórmula de la secció
Fórmula de la secció s'utilitza per trobar la coordenada del punt que divideix el segment de línia donat en la proporció desitjada. Suposem que els extrems d'un segment de línia són A i B amb coordenades (x 1 , i 1 ) i (x 2 , i 2 ) , i P sigui el punt que divideix el segment de recta que uneix la recta AB en m:n. Aleshores la coordenada de P ve donada per:
P(x, y) = [(mx 2 + nx 1 )/(m+n) , (el meu 2 + el 1 )/(m+n)]
Fórmula del centroide
La fórmula del centroide s'utilitza per trobar el punt central dels polígons i matemàticament per als triangles i quadrilàters es dóna de la següent manera:
Fórmula del centreide d'un triangle
Les coordenades del centroide d'un triangle amb vèrtexs (x1, i1), (x2, i2), i (x3, i3) són:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 )/3, (i 1 + i 2 + i 3 )/3)
Centroide del triangle
'algorisme de Kruskal'
Fórmula del centreide d'un quadrilàter
Les coordenades del centroide d'un quadrilàter amb vèrtexs (x1, i1), (x2, i2), (x3, i3), i (x4, i4) són:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4, (i 1 + i 2 + i 3 + i 4 )/4)
Centroide del quadrilàter
Preguntes resoltes sobre la fórmula del punt mitjà
Pregunta 1: Quin és el punt mitjà del segment AB on el punt A és a (6,8) i el punt B és (3,1)?
Solució:
Sigui el punt mitjà M(xm, im),
xm= (x1+ x2) / 2
x1= 6, x2= 3
Així, xm= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4.5
im= (i1+ i2) / 2
i1= 8, i2= 1
algorismes d'ordenacióAixí, ym= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4.5
Per tant, el punt mitjà de la recta AB és (4.5, 4.5).
Pregunta 2: Quin és el punt mitjà del segment AB on el punt A és a (-6,4) i el punt B és (4,2)?
Solució:
Sigui el punt mitjà M(xm, im),
x1= -6, x2= 4, i1= 4, i2= 2
(xm, im) = ((x1+ x2) / 2, (i1+ i2) / 2)
(xm, im) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)
(xm, im) = ((-2) / 2, (6) / 2)
(xm, im) = (-1, 3)
Per tant, el punt mitjà de la recta AB és (-1, 3).
Pregunta 3: Trobeu el valor de p de manera que (–2, 2,5) sigui el punt mitjà entre (p, 2) i (–1, 3).
Solució:
Sigui el punt mitjà M(xm, im) = (-2, 2,5) on,
x1= -1, xm= -2
La coordenada y del punt final ja es coneix com a 2, per tant només hem de trobar la coordenada x
xm= (x1+ x2) / 2
-2 = (-1 + p) / 2
-4 = -1 + pàg
p = -3
Per tant, un altre punt final de la línia és (-3, 2).
Pregunta 4: Si les coordenades dels extrems d'un segment de línia són (3, 4) i (7, 8), trobeu la distància entre el punt mitjà del segment de línia i el punt (3, 4).
Solució:
Siguin A(3, 4) i B(7, 8) els extrems del segment de línia donat, i C és el punt mitjà del segment AB.
A continuació, utilitzant la fórmula del punt mitjà,
Coordenada de C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)
Utilitzant la fórmula de la distància
Distància = √{(x2–x1)2+ (i2– i1)2}
⇒ Distància = √{(3 – 5)2+ (4 – 6)2}
⇒ Distància =√{(-2)2+ (-2)2}
⇒ Distància =√8 = 2√2
Per tant, la distància entre el punt mitjà del segment de línia i el punt (3, 4) és 2√2.
| Cal llegir | |
|---|---|
| Fórmula de distància | Geometria de coordenades |
| Teorema de Pitàgores | Pla cartesià |
Fórmula de punt mitjà: preguntes freqüents
Què és la fórmula del punt mitjà?
Matemàticament, la fórmula del punt mitjà es dóna de la següent manera:
Punt mig = ((x 1 + x 2 )/2 , (i 1 + i 2 )/2)
Quina importància té la fórmula del punt mitjà?
La fórmula del punt mitjà és significativa perquè ens permet trobar el punt central de qualsevol segment de línia en un sistema de coordenades cartesianes.
Quines són les aplicacions de la fórmula del punt mitjà?
Hi ha molts casos d'ús de la fórmula del punt mitjà ja que en geometria la podem utilitzar per a solucions i propietats de triangles, polígons i altres formes, en física també té aplicació per trobar el centre de masses.
cadena de int
Es pot utilitzar la fórmula del punt mitjà per a tres o més punts?
No, la fórmula del punt mitjà no es pot utilitzar per a tres punts, ja que el punt mitjà es defineix només per a dos punts. Per a tres punts podem utilitzar la fórmula del centroide si volem trobar la coordenada del centroide del triangle format pels tres punts donats.
Quants punts mitjans té un segment?
Un segment només té un punt mitjà.