Si esteu estudiant trig o càlcul, o us prepareu, haureu de familiaritzar-vos amb el cercle de la unitat. El cercle unitari és una eina essencial que s'utilitza per resoldre el sinus, el cosinus i la tangent d'un angle. Però com funciona? I quina informació cal saber per utilitzar-la?

En aquest article, expliquem què és el cercle unitat i per què l'has de conèixer. També us donem tres consells per ajudar-vos a recordar com utilitzar el cercle de la unitat.

Imatge destacada: Gustavb /Viquimèdia

El cercle de la unitat: una introducció bàsica

La circumferència unitat és una circumferència amb un radi d'1. Això vol dir que per a qualsevol línia recta dibuixada des del punt central del cercle fins a qualsevol punt de la vora del cercle, la longitud d'aquesta línia sempre serà igual a 1. (Això també significa que el diàmetre del cercle serà igual a 2, ja que el diàmetre és igual al doble de la longitud del radi.)

tat forma completa

Normalment, el punt central del cercle unitari és on es tallen l'eix x i l'eix y, o a les coordenades (0, 0):

El cercle unitari, o cercle trig, com també es coneix, és útil per saber-ho perquè ens permet calcular fàcilment el cosinus, el sinus i la tangent de qualsevol angle entre 0° i 360° (o 0 i 2π radians).

Com podeu veure al diagrama anterior, dibuixant un radi en qualsevol angle (marcat per ∝ a la imatge), creareu un triangle rectangle. En aquest triangle, el cosinus és la línia horitzontal i el sinus és la línia vertical. En altres paraules, cosinus =coordenada x i sine = y-coordinate. (La línia més llarga del triangle, o hipotenusa, és el radi i, per tant, és igual a 1.)

Per què és important tot això? Recordeu que podeu resoldre les longituds dels costats d'un triangle utilitzant Teorema de Pitàgores, o $a^2+b^2=c^2$ (en quin a i b són les longituds dels costats del triangle, i c és la longitud de la hipotenusa).

Sabem que el cosinus d'un angle és igual a la longitud de la línia horitzontal, el sinus és igual a la longitud de la línia vertical i la hipotenusa és igual a 1. Per tant, podem dir que la fórmula per a qualsevol triangle rectangle en el cercle unitari és la següent:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Com que ^2=1$, podem simplificar aquesta equació així:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Tingueu en compte que aquests valors poden ser negatius depenent de l'angle format i en quin quadrant cauen les coordenades x i y (més endavant ho explicaré amb més detall).

Aquí teniu una visió general de tots els angles principals en graus i radians del cercle unitari:

Unitat Cercle — Graus

Unitat Cercle — Radians

Però, què passa si no hi ha cap triangle format? Vegem-ho què passa quan l'angle és de 0°, creant una línia recta horitzontal al llarg de l'eix x:

En aquesta línia, la coordenada x és igual a 1 i la coordenada y és igual a 0. Sabem que el cosinus és igual a la coordenada x, i el sinus és igual a la coordenada y, així podem escriure això:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Què passa si l'angle és de 90° i fa una línia perfectament vertical al llarg de l'eix y?

Aquí, podem veure que la coordenada x és igual a 0 i la coordenada y és igual a 1. Això ens dóna els valors següents per al sinus i el cosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Aquest eslògan s'aplica definitivament si no sou un amant de les matemàtiques.

Per què hauríeu de conèixer el cercle de la unitat

Com s'ha dit anteriorment, el cercle de la unitat és útil perquè ens permet resoldre fàcilment el sinus, el cosinus o la tangent de qualsevol grau o radiant. És especialment útil conèixer el gràfic de cercles de la unitat si necessiteu resoldre determinats valors trigonomètrics per a la tasca de matemàtiques o si us esteu preparant per estudiar càlcul.

Però, com et pot ajudar exactament conèixer el cercle de la unitat? Suposem que us donen el problema següent en una prova de matemàtiques, i ho teniu no Permet utilitzar una calculadora per resoldre'l:

$$sin30°$$

Per on comences? Tornem a fer una ullada al gràfic de cercles unitaris, aquesta vegada amb tots els angles principals (tant en graus com en radians) i les seves coordenades corresponents:

Jim.belk /Viquimèdia

No us desbordeu! Recordeu que tot el que esteu resolent és $sin30°$. Mirant aquest gràfic, ho podem veure la coordenada y és igual a /2$ a 30°. I com que la coordenada y és igual al sinus, la nostra resposta és la següent:

$$sin30°=1/2$$

Però, què passa si tens un problema que utilitza radians en lloc de graus? El procés per resoldre'l segueix sent el mateix. Diguem, per exemple, que tens un problema semblant a aquest:

$$cos{{3π}/4}$$

De nou, utilitzant el gràfic anterior, podem veure que la coordenada x (o cosinus) de ${3π}/4$ (que és igual a 135°) és $-{√2}/2$. Així és com seria la nostra resposta a aquest problema aleshores:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

Tot això és bastant fàcil si teniu el gràfic de cercles de la unitat anterior per utilitzar-lo com a referència. Però la majoria (si no totes) de les vegades, aquest no serà el cas, i s'espera que responguis aquest tipus de preguntes de matemàtiques utilitzant només el teu cervell.

Aleshores, com pots recordar el cercle de la unitat? Seguiu llegint els nostres millors consells!

Com recordar el cercle de la unitat: 3 consells essencials

En aquesta secció, us donem els nostres millors consells per recordar el cercle trig perquè pugueu utilitzar-lo amb facilitat per a qualsevol problema matemàtic que ho requereixi.

No recomanaria practicar el cercle de la unitat amb post-it, però, vaja, és un començament.

#1: Memoritza angles i coordenades comuns

Per utilitzar el cercle de la unitat de manera eficaç, ho haureu de fer memoritzar els angles més comuns (tant en graus com en radians) així com les seves coordenades x i y corresponents.

El diagrama anterior és un gràfic de cercles unitaris útil per mirar, ja que inclou tots els angles principals tant en graus com en radians, a més dels seus punts de coordenades corresponents al llarg dels eixos x i y.

Aquí teniu un gràfic que enumera aquesta mateixa informació en forma de taula:

Ara, encara que sigui més que benvingut per intentar memoritzar totes aquestes coordenades i angles, això és molt de coses per recordar.

Afortunadament, hi ha un truc que podeu utilitzar per ajudar-vos a recordar les parts més importants del cercle de la unitat.

Mireu les coordenades anteriors i notareu un patró clar: tots els punts (excepte els de 0°, 90°, 270° i 360°) alterna entre només tres valors (ja siguin positius o negatius):

• /2$
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Cada valor correspon una línia curta, mitjana o llarga tant per al cosinus com per al sinus:

Això és el que signifiquen aquestes longituds:

Línia curta horitzontal o vertical= /2$ Línia horitzontal o vertical mitjana= ${√2}/2$ Línia llarga horitzontal o vertical= ${√3}/2$

Per exemple, si esteu intentant resoldre $cos{π/3}$, hauríeu de saber immediatament que aquest angle (que és igual a 60°) indica una línia horitzontal curta sobre el cercle unitari. Per tant, la seva coordenada x corresponent ha de ser igual a /2$ (un valor positiu, ja que $π/3$ crea un punt al primer quadrant del sistema de coordenades).

Finalment, tot i que és útil memoritzar tots els angles de la taula anterior, tingueu en compte que amb diferència, els angles més importants a recordar són els següents:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

Tracta els teus negatius i positius com ho faries amb cables que et poden matar si es connecten incorrectament.

#2: Aprèn què és negatiu i què és positiu

És fonamental poder distingir les coordenades x i y positives i negatives perquè trobeu el valor correcte per a un problema trig. Com a recordatori, En Depèn de si una coordenada del cercle unitat serà positiva o negativa en quin quadrant (I, II, III o IV) pertany el punt:

Aquí hi ha un gràfic que mostra si una coordenada serà positiva o negativa en funció del quadrant en què es troba un angle determinat (en graus o radians):

Per exemple, suposem que et donen el problema següent en una prova de matemàtiques:

$$cos210°$$

Abans fins i tot d'intentar resoldre'l, hauríeu de ser capaç de reconèixer que la resposta serà un nombre negatiu ja que l'angle de 210° cau al quadrant III (on són les coordenades x sempre negatiu).

Ara, utilitzant el truc que hem après al consell 1, podeu esbrinar que un angle de 210° crea una llarga línia horitzontal. Per tant, la nostra resposta és la següent:

connectar java amb mysql

$$cos210°=-{√3}/2$$

# 3: Saber resoldre per tangent

Finalment, és fonamental saber utilitzar tota aquesta informació sobre el cercle trigonomètric i el sinus i el cosinus per poder resoldre la tangent d'un angle.

En trigonometria, per trobar la tangent d'un angle θ (en graus o radians), simplement divideix el sinus pel cosinus:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Per exemple, diguem que estàs intentant respondre aquest problema:

$$ an300°$$

El primer pas és establir una equació en termes de sinus i cosinus:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Ara, per resoldre la tangent, hem de trobar el sinus i cosinus de 300°. Hauríeu de ser capaç de reconèixer ràpidament que l'angle de 300° cau en el quart quadrant, el que significa que el cosinus, o coordenada x, serà positiu, i el sinus, o coordenada y, serà negatiu.

També ho hauries de saber de seguida crea l'angle de 300° una línia horitzontal curta i una línia vertical llarga. Per tant, el cosinus (la línia horitzontal) serà igual a /2$, i el sinus (la línia vertical) serà igual a $-{√3}/2$ (un valor y negatiu, ja que aquest punt es troba al quadrant IV) .

Ara, per trobar la tangent, tot el que feu és connectar i resoldre:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

És hora de ronronar i posar en pràctica les teves habilitats matemàtiques!

Conjunt de preguntes de pràctica del cercle de la unitat

Ara que ja sabeu com és el cercle de la unitat i com utilitzar-lo, posem a prova el que heu après amb uns quants problemes de pràctica.

Preguntes

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Respostes

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. /2$
4. $-√3$

Explicacions de resposta

#1: $sin45°$

Amb aquest problema, hi ha dues dades que hauríeu de poder identificar immediatament:

La resposta serà positiva,ja que l'angle de 45° està al quadrant I i el sinus d'un angle és igual a la coordenada y

• L'angle de 45° crea una línia vertical de longitud mitjana (per ells)

Com que 45° indica una línia positiva i de longitud mitjana, la resposta correcta és ${√2}/2$.

Si no esteu segur de com esbrinar-ho, dibuixeu un diagrama que us ajudi a determinar si la longitud de la línia serà curta, mitjana o llarga.

#2: $cos240°$

Com el problema núm. 1 anterior, hi ha dues peces d'informació que hauríeu de poder entendre ràpidament amb aquest problema:

La resposta serà negativa,ja que l'angle de 240° està al quadrant III i el cosinus d'un angle és igual a la coordenada x

• Es crea l'angle de 240° una línia horitzontal curta (per al cosinus)

Com que 240° indica una línia curta negativa, la resposta correcta és $-1/2$.

#3: $cos{5π}/3$

A diferència dels problemes anteriors, aquest problema utilitza radians en lloc de graus. Tot i que això pot fer que el problema sembli més complicat de resoldre, en realitat utilitza els mateixos passos bàsics que els altres dos problemes.

En primer lloc, hauríeu de reconèixer que l'angle ${5π}/3$ es troba al quadrant IV, de manera que la coordenada x, o cosinus, serà un nombre positiu. També hauríeu de poder dir-ho{5π}/3$crea una línia horitzontal curta.

Això us proporciona prou informació per determinar-ho el resposta és /2$.

#4: $ an{2π}/3$

Aquest problema tracta de la tangent en lloc del sinus o del cosinus, la qual cosa significa que requerirà una mica més de matemàtiques. En primer lloc, recordeu fórmula bàsica per trobar la tangent:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Ara, anem a prendre el grau que ens han donat: ${2π}/3$—i connecteu-lo a aquesta equació:

$$ an {2π}/3={sense {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

eliminar el primer caràcter en excel

Ara hauríeu de poder resoldre el sinus i el cosinus per separat utilitzant el que heu memoritzat sobre el cercle unitari. Com que l'angle ${2π}/3$ es troba al quadrant II, la coordenada x (o cosinus) serà negativa, i la coordenada y (o sinus) serà positiva.

A continuació, hauríeu de poder determinar en funció de l'angle que és la línia horitzontal una línia curta, i la línia vertical és una llarga fila. Això vol dir que el cosinus és igual a $-1/2$ i el sinus és igual a ${√3}/2$.

Ara que hem esbrinat aquests valors, tot el que hem de fer és connectar-los a la nostra equació inicial i resoldre la tangent:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Que segueix?

Si esteu fent el SAT o l'ACT aviat, haureu de conèixer algun trig perquè pugueu fer-ho bé a la secció de matemàtiques. Fes un cop d'ull a les nostres guies d'experts per activar el SAT i l'ACT perquè pugueu aprendre exactament el que necessitareu saber per al dia de la prova!

A més de memoritzar el cercle de la unitat, és una bona idea aprendre a connectar números i a connectar respostes . Llegiu les nostres guies per aprendre tot sobre aquestes dues estratègies útils, que podeu utilitzar en qualsevol prova de matemàtiques, inclosos el SAT i l'ACT!