L'àlgebra és un dels temes bàsics de les matemàtiques. Els polinomis són una part essencial de l'àlgebra. La fórmula de Vieta s'utilitza en polinomis. Aquest article tracta sobre la fórmula de Vieta que relaciona la suma i el producte de les arrels amb el coeficient del polinomi. Aquesta fórmula s'utilitza específicament en àlgebra.
La fórmula de Vieta
Les fórmules de Vieta són aquelles fórmules que proporcionen la relació entre la suma i el producte de les arrels del polinomi amb els coeficients dels polinomis. La fórmula de Vieta descriu els coeficients del polinomi en forma de suma i producte de la seva arrel.
La fórmula de Vieta
La fórmula de Vieta tracta de la suma i el producte de les arrels i el coeficient del polinomi. S'utilitza quan hem de trobar el polinomi quan es donen les arrels o hem de trobar la suma o el producte de les arrels.
Fórmula de Vieta per a l'equació quadràtica
- Si f(x) = ax 2 + bx + c és una equació de segon grau amb arrels a i b llavors,
- Suma d'arrels = α + β = -b/a
- Producte de les arrels = αβ = c/a
- Si es donen la suma i el producte de les arrels, l'equació quadràtica ve donada per:
- x 2 – (suma d'arrels)x + (producte d'arrels) = 0
Fórmula de Vieta per a l'equació cúbica
- Si f(x) = ax 3 + bx 2 +cx +d és una equació de segon grau amb arrels a, b i c llavors,
- Suma d'arrels = α + β + γ = -b/a
- Suma del producte de dues arrels = αβ + αγ + βγ = c/a
- Producte de les arrels = αβγ = -d/a
- Si es donen la suma i el producte de les arrels, l'equació cúbica ve donada per:
- x 3 – (suma d'arrels)x 2 + (suma del producte de dues arrels)x – (producte de les arrels) = 0
Fórmula de Vieta per a l'equació generalitzada
Si f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 + ……… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 és una equació de segon grau amb arrels r 1 , r 2 , r 3 , …… r n-1 , r n llavors,
r 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r n = -a n-1 /a n
(r 1 r 2 + r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 + r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = a n-2 /a n
:
:
r 1 r 2 …r n = (-1) n (a 0 /a n )
Exemples de problemes
Problema 1: Si α , β són les arrels de l'equació : x 2 – 10x + 5 = 0 i, a continuació, trobeu el valor de (α 2 + b 2 )/(a 2 b + ab 2 ).
Solució:
Donat Equació:
- x2– 10x + 5 = 0
Amb la fórmula de Vita
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
αβ = c/a = 5/1 = 5
Com un2+b2) = (a + b)2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100 – 10
(a2+b2) = 90
Ara el valor de (α2+ b2)/(a2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Problema 2: Si α , β són les arrels de l'equació : x 2 + 7x + 2 = 0 , llavors trobeu el valor de 14÷(1/α + 1/ β).
Solució:
Equació donada:
- x2+ 7x + 2 = 0
Amb la fórmula de Vita
a + b = -b/a = -7/1 = -7
αβ = c/a = 2/1 = 2
Ara, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/ b) = -7/2
Ara valor de 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Problema 3: Si α , β són les arrels de l'equació : x 2 + 10x + 2 = 0 , llavors trobeu el valor de (α/β + β/α).
Solució:
Equació donada:
- x2+ 10x + 2 = 0
Amb la fórmula de Vita
a + b = -b/a = 10/1 = 10
αβ = c/a = 2/1 = 2
Com un2+b2) = (a + b)2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Ara el valor de (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
= 48
Problema 4: Si α i β són les arrels de l'equació i tenint en compte que α + β = -100 i αβ = -20, trobeu l'equació quadràtica.
Solució:
Donat,
- Suma d'arrels = α + β = -100
- Producte de les arrels = αβ = -20
L'equació quadràtica ve donada per:
x2– (suma d'arrels)x + (producte d'arrels) = 0
x2– (-100)x + (-20) = 0
x 2 + 100x – 20 = 0
Problema 5: Si α , β i γ són les arrels de l'equació i tenint en compte que α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 i αβ γ = -6 aleshores trobeu l'equació cúbica.
Solució:
Donat,
- Suma d'arrels = α + β + γ = 10,
- Suma del producte de dues arrels = αβ + αγ + βγ = -1
- Producte de les arrels = mitjana = -6
L'equació cúbica ve donada per:
x3– (suma d'arrels)x2+ (suma del producte de dues arrels)x – (producte de les arrels) = 0
x3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
x 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Problema 6: Si α , β i γ són les arrels de l'equació x 3 + 1569x 2 – 3 = 0 llavors trobeu el valor de [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b )] 3 + [(1/c) + (1/a )] 3
Solució:
Donat,
- Suma d'arrels = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Suma del producte de dues arrels = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Producte de les arrels = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Des que, (pàg3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r)(p2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Sigui p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
De l'equació (1):
(pàg3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
pàg3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/b )]3+ [(1/c) + (1/a )]3= 3[(1/a) + (1/b )][(1/c) + (1/b )][(1/c) + (1/a )]
pivot del servidor sql= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b )
= -3/mitjana = -3/3
= -1
Problema 7: Si α i β són les arrels de l'equació x 2 – 3x +2 =0 llavors trobeu el valor de α 2 – b 2 .
Solució:
Donat,
- Suma d'arrels = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Producte de les arrels = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Com (a – b)2= (a + b)2-4ab
(a-b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
Des que,
a2– b2= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3
a 2 – b 2 = 3