Distribució uniforme és la distribució de probabilitat que representa resultats igualment probables, és a dir, la probabilitat que es produeixi cada resultat és la mateixa. Hi ha dos tipus de distribució uniforme: distribució uniforme discreta i distribució uniforme contínua (el tipus més comú en estadística elemental). Defineix la funció de densitat de la variable aleatòria, la mitjana i la variància.

En aquest article, coneixerem la distribució uniforme, els tipus de distribució uniforme i les fórmules de distribució uniforme juntament amb alguns exemples resolts basats en ella.

Taula de contingut

• Distribució uniforme
• Fórmula de distribució uniforme
• Tipus de distribució uniforme
• Distribucions uniformes contínues o distribucions rectangulars
• Distribució uniforme discreta

Distribució uniforme

Una distribució uniforme és una distribució que té una probabilitat constant a causa d'esdeveniments igualment probables. També es coneix com a distribució rectangular (distribució uniforme contínua). Té dos paràmetres a i b: a = mínim i b = màxim. La distribució s'escriu com a U (a, b).

Definició de distribució uniforme

Una distribució uniforme és un tipus de distribució de probabilitat on tots els resultats possibles tenen la mateixa probabilitat de produir-se. Això significa que tots els valors dins d'un rang determinat tenen la mateixa probabilitat d'observar-se.

Gràfic de distribució uniforme

Càlcul de l'alçada del rectangle:

css per ajustar el text

La probabilitat màxima de la variable X és 1, de manera que l'àrea total del rectangle ha de ser 1.

Àrea del rectangle = base × alçada = 1

(b – a) × f(x) = 1

f(x) = 1/(b – a) = alçada del rectangle

Gràfic de funció de distribució acumulada

Nota: Distribució uniforme discreta: Px = 1/n. On, P_x= Probabilitat d'una variable discreta, n = Nombre de valors en el rang

Fórmula de distribució uniforme

Es diu que una variable aleatòria X es distribueix uniformement en l'interval -∞

Sèrie de Fibonacci al c

Les distribucions uniformes contínues proporcionen un marc senzill però potent per entendre i modelar l'aleatorietat dins d'intervals definits, cosa que les converteix en eines essencials en teoria de probabilitats i estadística aplicada.

Funció de densitat de probabilitat (PDF)

El funció de densitat de probabilitat (PDF) d'una distribució uniforme contínua defineix la probabilitat que una variable aleatòria caigui dins d'un interval determinat. Per a una distribució uniforme contínua durant l'interval [a, b], el PDF ve donat per:

f(x) = 1 / (b – a) per a a ≤ x ≤ b

i f(x) = 0 en cas contrari.

Funció de distribució acumulada (CDF)

La funció de distribució acumulada (CDF) d'una distribució uniforme contínua dóna la probabilitat que una variable aleatòria sigui menor o igual a un determinat valor. Per a la distribució uniforme contínua sobre [a, b], el CDF es defineix com:

F(x) = (x – a) / (b – a) per a a ≤ x ≤ b

i F(x) = 0 per a x b.

Funcions Generadores

Les funcions de generació proporcionen una manera de representar seqüències de nombres com a sèries de potències. En la teoria de la probabilitat, sovint s'utilitzen funcions generadores per manipular seqüències de variables aleatòries. Poden simplificar els càlculs i ajudar a derivar propietats importants de variables i distribucions aleatòries.

Distribució uniforme estàndard

La distribució uniforme estàndard és un cas especial de la distribució uniforme contínua on l'interval és [0, 1]. S'utilitza àmpliament en simulacions, generació de números aleatoris i diverses aplicacions estadístiques.

Propietats de distribucions uniformes contínues

• Densitat de probabilitat igual dins l'interval.
• La funció de distribució acumulada augmenta linealment dins l'interval.
• La mitjana d'una distribució uniforme contínua és el punt mitjà de l'interval.
• La variància d'una distribució uniforme contínua és [(b – a)²] / 12.

Aplicacions de distribucions uniformes contínues

• Modelar la incertesa en diversos camps com l'enginyeria, les finances i la física.
• Generació de números aleatoris per a simulacions i jocs.
• S'utilitza en el control de qualitat estadístic per modelar la uniformitat en els processos de fabricació.
• En criptografia per generar claus i crear permutacions aleatòries.
• Com a distribució de referència per a la comparació amb altres distribucions en l'anàlisi estadística.

Distribució uniforme discreta

La distribució uniforme discreta és a probabilitat distribució que descriu la probabilitat de resultats quan cada resultat en un conjunt finit és igual de probable. Es caracteritza per una funció de massa de probabilitat constant (PMF) en un rang finit de valors.

La distribució uniforme discreta serveix com a model fonamental en la teoria de la probabilitat i l'estadística, proporcionant una manera senzilla però eficaç de descriure la incertesa en situacions en què els resultats són igualment probables. Les seves propietats i aplicacions s'estenen en diverses disciplines, la qual cosa la converteix en una eina versàtil en l'anàlisi de dades i els processos de presa de decisions.

Estimació del màxim

En estadístiques , l'estimació del màxim fa referència als mètodes utilitzats per estimar el valor més gran o l'observació màxima en un conjunt de dades. Tècniques com ara les estadístiques d'ordres i l'estimació de màxima probabilitat s'utilitzen habitualment per a aquest propòsit.

Permutació aleatòria

Una permutació aleatòria és una disposició aleatòria d'un conjunt d'elements o elements. Sovint s'utilitza en diversos camps com la criptografia, l'estadística i la informàtica. La generació de permutacions aleatòries és essencial en algorismes, simulacions i dissenys experimentals.

Propietats de la distribució uniforme discreta

• Cada resultat de l'espai mostral té la mateixa probabilitat d'ocurrència.
• La funció de massa de probabilitat (PMF) és constant en el rang de possibles resultats.
• La mitjana d'una distribució uniforme discreta és la mitjana dels valors mínim i màxim.
• La variància d'una distribució uniforme discreta és [(n^2 – 1) / 12], on n és el nombre de possibles resultats.

Aplicacions de la distribució uniforme discreta

• Llançar daus justos o tirar monedes justes, on cada resultat té la mateixa probabilitat.
• Modelar escenaris on no hi ha preferència o biaix cap a cap resultat en particular.
• Mostreig sense substitució, com ara la selecció de mostres aleatòries d'una població finita.
• Generació de números aleatoris per a simulacions, mètodes de Monte Carlo i algorismes aleatoris.
• Creació de permutacions aleatòries per remenar jocs de cartes, dissenyar experiments i aplicacions criptogràfiques.

Llegeix més,

• Distribució de Poisson
• Distribució binomial
• Distribució normal

Preguntes de mostra

Pregunta 1: una variable aleatòria X té una distribució uniforme sobre (-2, 2),

(i) Trobeu k per al qual P(X>k) = 1/2 (ii) Avalueu P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Solució:

(i) X =f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

matemàtiques java aleatòria

En resoldre obtenim k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx =(1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Pregunta 2: Si X es distribueix uniformement en (-1, 4), aleshores

exemple de mapa java

(i) la seva mitjana és ______________.

(ii) la seva variància és ______________.

(iii) la seva desviació estàndard és ___________.

(iv) la seva mediana és ______________.

Solució:

Aquí, a = -1 i b = 4

(i) Mitjana (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Variància (σ²) = (4+1)²/12 = 2.08

(iii) Desviació estàndard (σ) =√2,08 = 1,443

(iv) Mediana = (4-1)/2 = 1,5

Pregunta 3: Si hi ha 52 cartes a la baralla de cartes tradicional amb quatre pals: cors, pala, maces i diamants. Cada suite conté 13 cartes de les quals 3 són cartes de cara. La nova baralla es forma excloent el nombre de cartes. Aleshores, quina és la probabilitat d'obtenir una carta del cor de la baralla modificada?

Solució:

A la pregunta, el nombre donat de cartes és finit, per la qual cosa és una distribució uniforme discreta.

La fórmula de la probabilitat en una distribució uniforme discreta és P(X) = 1/n

Probabilitat d'aconseguir cor a la coberta modificada = 1/4 = 0,25

Pregunta 4: utilitzant la funció de densitat de probabilitat de distribució uniforme per a la variable aleatòria X, a (0, 20), trobeu P(3