Àrea superficial d'un prisma: En matemàtiques, un prisma és un membre essencial de la família dels poliedres i es defineix com una forma tridimensional que té dos polígons idèntics enfrontats i connectats lateralment per cares rectangulars o paral·lelogrames. Els polígons idèntics poden ser triangles, quadrats, rectangles, pentàgons o qualsevol altre polígon de n cares i s'anomenen bases del prisma. Les altres cares d'un prisma són paral·lelograms o rectangles.
En aquest article, parlarem diferents tipus de prismes, i la fórmula de la superfície del prisma, amb exemples i problemes de pràctica.
Taula de contingut
- Quina és la superfície del prisma?
- Diferents tipus de prismes
- Fórmula de l'àrea superficial del prisma
- Àrea superficial d'un prisma Exemples resolts
- Pràctica de problemes sobre la superfície d'un prisma
Quina és la superfície del prisma?
L'àrea superficial d'un prisma es coneix com l'àrea total tancada per totes les seves cares. Per determinar l'àrea superficial d'un prisma, hem de calcular les àrees de cadascuna de les seves cares i després sumar les àrees resultants. Un prisma té dos tipus de superfícies, és a dir, la superfície lateral i la superfície total. L'àrea ocupada per les cares d'un prisma, excloent les dues cares paral·leles (bases d'un prisma), es coneix com la seva superfície lateral.
L'àrea de la superfície lateral d'un prisma = [Perímetre base × alçada] unitats quadrades
Ara, la superfície total d'un prisma és la suma de les àrees de les seves dues bases i la seva superfície lateral.
La fórmula general per calcular la superfície total de qualsevol tipus de prisma dret és:
La superfície total d'un prisma = [2 (Àrea base) + (Perímetre base × alçada)] unitats quadrades
Diferents tipus de prismes
Hi ha diferents tipus de prismes en funció de la forma de la base d'un prisma, com ara
- prismes triangulars,
- prismes quadrats,
- prismes rectangulars,
- prismes pentagonals,
- prismes hexagonals,
- Prismes octogonals.
Prisma triangular
Un prisma amb una base triangular es coneix com a prisma triangular. Un prisma triangular consta de tres superfícies rectangulars inclinades i dues bases triangulars paral·leles. Sigui H l'alçada del prisma triangular; a, b i c són la longitud dels costats, i h és l'alçada de les bases triangulars.
El perímetre d'una base triangular (P) = Suma dels seus tres costats = a + b + c
L'àrea d'una base triangular (A) = ½ × base × alçada = ½ bh
Sabem que la fórmula general de la la superfície lateral d'un prisma dret és L. S. A. = PH, on P és el perímetre de la base i A és l'àrea de la base.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim ,
L'àrea de la superfície lateral d'un prisma triangular = (a + b +c)H unitats quadrades
on,
a, b, c són costats de base triangular
H és l'alçada del prisma triangular
Sabem que la fórmula general per a la superfície total d'un prisma recte és T. S. A. = PH+2A, on P és el perímetre de la base, A és l'àrea de la base i H és l'alçada del prisma.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim
La superfície total del prisma triangular = (a + b + c) H + 2 × (½ bh)
La superfície total del prisma triangular = (a + b + c) H + bh unitats quadrades
on,
a, b, c són costats de base triangular
H és l'alçada del prisma triangular
h és l'alçada del triangle
Prisma rectangular
Un prisma amb una base rectangular s'anomena prisma rectangular. Un prisma rectangular consta de quatre superfícies rectangulars i dues bases rectangulars paral·leles. Sigui h l'alçada del prisma i la longitud i l'amplada de les seves bases rectangulars l i w, respectivament .
El perímetre d'una base rectangular (P) = Suma dels seus quatre costats = 2 (l + w)
L'àrea d'una base rectangular (A) = longitud × amplada = l × w
Sabem que la fórmula general de l'àrea de la superfície lateral d'un prisma dret és L. S. A. = PH, on P és el perímetre de la base i A és l'àrea de la base.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim ,
L'àrea de la superfície lateral d'un prisma rectangular = 2h(l + w) unitats quadrades
on,
l és la longitud
w és l'amplada
h és l'alçada
Sabem que la fórmula general de la superfície total d'un prisma dret és T. S. A. = PH+2A, on P és el perímetre de la base, A és l'àrea de la base i H és l'alçada del prisma.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim
La superfície total del prisma rectangular = 2h(l + w) + 2(l × w)
= 2 lh + 2 wh + 2 lw
La superfície total del prisma rectangular = 2 (lh + wh + lw) unitats quadrades
on,
l és la longitud
w és l'amplada
h és l'alçada
Prisma quadrat
Un prisma de base quadrada s'anomena prisma quadrat. Un prisma quadrat consta de quatre superfícies rectangulars i dues bases quadrades paral·leles. Sigui h l'alçada del prisma i la longitud de les seves bases quadrades s.
El perímetre d'una base quadrada (P) = Suma dels seus quatre costats = s + s + s + s = 4s
L'àrea d'una base quadrada (A) = (longitud del costat)2= s2
Sabem que la fórmula general de l'àrea de la superfície lateral d'un prisma dret és L. S. A. = PH, on P és el perímetre de la base i A és l'àrea de la base.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim,
L'àrea de la superfície lateral d'un prisma quadrat = 4sh unitats quadrades
on,
s és el costat de la base quadrada
h és l'alçada del prisma quadrat
Sabem que la fórmula general per a la superfície total d'un prisma recte és T. S. A. = PH+2A, on P és el perímetre de la base, A és l'àrea de la base i H és l'alçada del prisma.
En substituir tots els valors de la fórmula general, obtenim
La superfície total del prisma quadrat = [4sh + 2s 2 ] unitats quadrades
on,
s és el costat de la base quadrada
h és l'alçada del prisma quadrat
Prisma pentagonal
Un prisma amb una base pentagonal s'anomena prisma pentagonal. Un prisma pentagonal consta de cinc superfícies rectangulars inclinades i dues bases pentagonals paral·leles. Sigui h l'alçada del prisma pentagonal; a i b són la longitud de l'apotema i les longituds dels costats de les bases pentagonals.
El perímetre d'una base del pentàgon (P) = Suma dels seus cinc costats = 5b
L'àrea d'una base del pentàgon (A) = 5/2 x (longitud de l'apotema) x (longitud del costat) = 5ab
Sabem que la fórmula general de l'àrea de la superfície lateral d'un prisma dret és L. S. A. = PH, on P és el perímetre de la base i A és l'àrea de la base.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim,
La superfície lateral d'un prisma pentagonal = 5 bh unitats quadrades
on,
b és el costat de la base pentagonal
h és l'alçada del prisma pentagonal
Sabem que la fórmula general de la superfície total d'un prisma dret és T. S. A. = PH+2A, on P és el perímetre de la base, A és l'àrea de la base i H és l'alçada del prisma.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim,
La superfície total del prisma pentagonal = [5bh + 5ab] unitats quadrades
on,
b és el costat de la base pentagonal
a és la longitud de l'apotema.
h és l'alçada del prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Un prisma de base hexagonal s'anomena prisma hexagonal. Un prisma hexagonal consta de sis superfícies rectangulars inclinades i dues bases hexagonals paral·leles. Sigui h l'alçada del prisma hexagonal; a siguin les longituds laterals de les bases hexagonals.
El perímetre d'una base hexàgonal (P) = Suma dels seus sis costats = 6a
L'àrea d'una base hexàgon (A) = 6 x (Àrea d'un triangle equilàter)
A = 6 x (√3a2/4) ⇒ A = 3√3a2/2
Sabem que la fórmula general de l'àrea de la superfície lateral d'un prisma dret és L. S. A. = PH, on P és el perímetre de la base i A és l'àrea de la base.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim,
La superfície lateral d'un prisma hexagonal = 6ah unitats quadrades
on,
a és un costat de base hexagonal
h és l'alçada de la base hexagonal
Sabem que la fórmula general de la superfície total d'un prisma dret és T. S. A. = PH+2A, on P és el perímetre de la base, A és l'àrea de la base i H és l'alçada del prisma.
Substituint tots els valors de la fórmula general obtenim
La superfície total del prisma hexagonal = [6ah +3√3a2] unitats quadrades
on,
a és un costat de base hexagonal
h és l'alçada de la base hexagonal:
Fórmula de l'àrea superficial del prisma
La taula següent proporciona la fórmula per als diferents tipus de prismes:
Forma | Base del prisma | Superfície lateral[Perímetre base × alçada] | Superfície total[(2 × Àrea base) + (Perímetre base × alçada)] |
|---|---|---|---|
Prisma triangular | Triangle | (a + b +c) H unitats quadrades | (a + b + c) H + bh unitats quadrades |
Prisma rectangular | Rectangle | 2h(l + w) unitats quadrades | 2 (lh + wh + lw) unitats quadrades |
Prisma quadrat | Quadrat | 4h unitats quadrades | [4h + 2s2] unitats quadrades |
Prisma pentagonal | Pentàgon | Unitats quadrades de 5bh | [5ab + 5bh] unitats quadrades |
Prisma hexagonal | Hexàgon | Unitats quadrades de 6 Ah | [3√3a2+ 6ah] unitats quadrades |
Àrea superficial d'un prisma Exemples resolts
Problema 1: Quina és l'alçada d'un prisma l'àrea base del qual és de 36 unitats quadrades, el seu perímetre base és de 24 unitats i la seva superfície total és de 320 unitats quadrades?
Solució:
Donades dades,
Àrea base = 36 unitats quadrades
Perímetre base = 24 unitats
La superfície total del prisma = 320 unitats quadrades
Tenim,
La superfície total del prisma = (2 × Àrea de la base) + (Perímetre de la base × alçada)
⇒ 320 = (2 × 36)+ (24 × h)
⇒ 24h = 248 ⇒ h = 10,34 unitats
Per tant, l'alçada del prisma donat és de 10,34 unitats.
Problema 2: Trobeu la superfície total d'un prisma quadrat si l'alçada del prisma i la longitud del costat de la base quadrada són 13 cm i 4 cm, respectivament.
Solució:
Donades dades,
L'alçada del prisma quadrat (h) = 13 cm
La longitud del costat de la base quadrada (a) = 4 cm
Ho sabem,
La superfície total d'un prisma quadrat = 2a2+ 4h
= 2 × (4)2+ 4 × 4 × 13
= 32 + 208 = 240 cm2
Per tant, la superfície total del prisma donat és de 240 cm².
Problema 3: Determineu la longitud de la base d'un prisma pentagonal si la seva àrea total és de 100 unitats quadrades i la seva alçada i longitud de l'apotema són 8 unitats i 5 unitats, respectivament.
Solució:
Donades dades,
La superfície total del prisma pentagonal = 100 unitats quadrades
L'alçada del prisma (h) = 8 unitats
Longitud de l'apotema (a) = 5 unitats
Ho sabem,
La superfície total del prisma pentagonal = 5ab + 5bh
⇒ 100 = 5b (a+ h)
⇒ 100/5 = b (5 + 8)
⇒ 20 = b × (13) ⇒ b = 25/16 = 1,54 unitats
Per tant, la longitud de la base és d'1,54 unitats
Problema 4: Determineu l'alçada del prisma rectangular i l'àrea total d'un prisma rectangular si la seva superfície lateral és de 540 cm quadrats i la longitud i l'amplada de la base són 13 cm i 7 cm, respectivament.
Solució:
Donades dades,
La longitud de la base rectangular (l) = 13 cm
L'amplada de la base rectangular (w) = 7 cm
La superfície lateral del prisma = 540 cm²
Tenim,
La superfície lateral del prisma = perímetre de la base × alçada
⇒ 540 = 2 (l + w) h
⇒ 2 (13 + 7) h = 540
⇒ 2 (20) h = 540 ⇒ h = 13,5 cm
Ho sabem,
La superfície total del prisma rectangular = 2 (lw + wh + lh)
= 2 × (13 × 7 + 7 × (13.5) + 13 × (13.5))
= 2 × (91 + 94,5 + 175,5) = 722 cm²
Per tant, l'alçada i la superfície total del prisma rectangular donat són 13,5 cm i 722 cm quadrats, respectivament.
Problema 5: Determineu l'àrea superficial del prisma hexagonal regular si l'alçada del prisma és de 12 polzades i la longitud del costat de la base és de 5 polzades.
declaració de cas java
Solució:
Donades dades,
L'alçada del prisma (h) = 12 polzades
La longitud del costat de la base (a) = 6 polzades
L'àrea superficial d'un prisma hexagonal regular = 6ah + 3√3a2
= 6 × 5 × 12 + 3√3(5)2
= 360 + 75√3
= 360 + 75 × (1,732) = 489,9 polzades quadrades
Per tant, l'àrea superficial del prisma donat és de 489,9 polzades quadrades.
Problema 6: Calculeu les àrees de superfície lateral i total d'un prisma triangular el perímetre de la base del qual és de 25 polzades, la longitud i l'alçada de la base del triangle són de 9 polzades i 10 polzades, i l'alçada del prisma és de 14 polzades.
Solució:
Donades dades,
L'alçada del prisma (H) = 14 polzades
El perímetre de la base del prisma (P) = 25 polzades
La longitud de la base del triangle = 9 polzades
L'alçada del triangle = 10 polzades
Ho sabem,
La superfície lateral del prisma = perímetre de la base × alçada
= 25 × 14= 350 polzades quadrades
Àrea de la base triangular (A) = ½ × base × alçada = 1/2 × 9 × 10 = 45 polzades quadrats
La superfície total del prisma triangular = 2A + PH
= 2 × 45 + 25 × 14 = 90 + 350 = 440 polzades quadrades
Per tant, les àrees de superfície lateral i total del prisma són de 350 polzades i 440 polzades, respectivament.
Pràctica de problemes sobre la superfície d'un prisma
1. Donat un prisma rectangular amb dimensions:
- Longitud = 6 cm
- Amplada = 4 cm
- Alçada = 5 cm
Calcula la superfície total.
2. Considereu un prisma triangular amb dimensions:
- Base del triangle = 8 cm
- Alçada del triangle = 6 cm
- Longitud del prisma = 10 cm
Troba la superfície total.
3. Determineu l'àrea superficial d'un prisma pentagonal regular amb:
- Longitud lateral de la base = 7 cm
- Alçada del prisma = 9 cm.
4. Calcula l'àrea superficial d'un prisma hexagonal amb:
- Longitud lateral de la base hexagonal regular = 10 cm
- Alçada del prisma = 12 cm.
Àrea superficial d'un prisma - Preguntes freqüents
Què és un prisma en geometria?
Un prisma és una forma tridimensional amb dues bases paral·leles congruents i cares laterals rectangulars o paral·lelogrames que les uneixen. Els prismes es presenten en diverses formes, com ara prismes rectangulars, prismes triangulars i prismes pentagonals, cadascun amb característiques úniques.
Com es troba la superfície d'un prisma?
Per trobar l'àrea superficial d'un prisma, calcula les àrees de totes les seves cares i després suma-les. Per a un prisma rectangular, la fórmula de la superfície és 2lw + 2lh + 2wh, on l és la longitud, w és l'amplada i h és l'alçada. Per a altres tipus de prismes, com ara prismes triangulars o pentagonals, poden ser necessàries fórmules addicionals per a l'àrea base i l'àrea lateral.
Quines són les propietats d'un prisma?
Els prismes tenen diverses propietats clau:
- Tenen dues bases paral·leles congruents.
- Les cares laterals són totes paral·lelograms.
- L'altitud (altura) és la distància perpendicular entre les dues bases.
- Les bases són idèntiques en forma i mida.
- La secció transversal paral·lela a les bases és sempre de la mateixa forma i mida que les bases.
Quins són alguns exemples reals de prismes?
Els prismes es poden trobar en diversos objectes i estructures quotidianes. Alguns exemples inclouen:
- Prismes rectangulars: Edificis, caixes de cereals, llibres.
- Prismes triangulars: Teulades de cases, objectes en forma de falca.
- Prismes pentagonals: Alguns tipus de columnes, determinades estructures arquitectòniques.
- Prismes hexagonals: certs tipus de cristalls, alguns envasos d'embalatge.
Per què és important la superfície en prismes?
L'àrea superficial és crucial en els prismes, ja que representa l'àrea total de totes les superfícies (cares) del prisma. Comprendre la superfície ajuda en diverses aplicacions pràctiques, com ara calcular la quantitat de material necessària per construir o cobrir un objecte en forma de prisma, determinar les taxes de transferència de calor i optimitzar el disseny d'envasos.