Equació cúbica és una equació matemàtica en la qual un polinomi de grau 3 s'equipara a una constant o un altre polinomi de grau màxim 2. La representació estàndard de l'equació cúbica és destral ³ + bx ² +cx+d = 0 on a, b, c i d són nombres reals. Alguns exemples d'equació cúbica són x ³ - 4x ² + 15x – 9 = 0, 2x ³ - 4x ² = 0 etc.

Taula de contingut

• Definició polinomial
• Grau d'equació
• Definició de l'equació cúbica
• Com resoldre equacions cúbiques?
• Resolució d'equacions cúbiques
• Resolució d'equacions cúbiques amb factors
• Resolució d'equacions cúbiques mitjançant el mètode gràfic
• Problemes basats en la resolució d'equacions cúbiques
• Pràctica de problemes de resolució d'equacions cúbiques

Per aprendre a resoldre equacions cúbiques primer hem d'aprendre sobre els polinomis, el grau del polinomi i altres. En aquest article, aprendrem sobre els polinomis, les equacions polinomials, la resolució d'equacions cúbiques o com resoldre equacions cúbiques i altres en detall.

Definició polinomial

El polinomi es defineix de la següent manera,

A polinomi és una expressió algebraica en la qual la potència d'una variable és un nombre enter no negatiu. La forma general d'un polinomi és a₀xⁿ+ a₁x^n-1+ a₂x^n-2+… + a_n. Depenent de la potència màxima de la variable, un polinomi es pot classificar com a monomi, binomi, trinomi, etc.

Què és una equació?

Una equació es defineix de la següent manera,

Una equació és un polinomi que s'equipara a un valor numèric o a qualsevol altre polinomi. Per exemple, x + 2 és un polinomi però x + 2 = 5 és una equació. De la mateixa manera, 2x + 3 = x + 1 també és una equació, mentre que 2x + 3 i x + 1 són polinomis individualment.

Grau d'equació

La definició del grau d'equació s'indica a continuació:

Grau d'una equació es defineix com la potència màxima que posseeix la variable en una equació.

Segons el grau de l'equació, una equació es pot classificar de la següent manera:

• Equació lineal
• Equació quadràtica
• Equació cúbica
• Equació biquadratica

Equació lineal

L'equació en què la potència màxima de la variable és 1 s'anomena equació lineal.

• Per exemple, 3x +1 = 0

Polinomi quadràtic

L'equació en què la potència màxima de la variable és 2 és una equació quadràtica.

• Per exemple 3x²+x+1 = 0

Equació cúbica

L'equació en què la potència màxima de la variable és 3 s'anomena equació cúbica.

• Per exemple 5x³+3x²+x+1 = 0

Polinomi biquadrat

L'equació en què la potència màxima de la variable és 4 s'anomena polinomi biquadrat o polinomi quàrtic.

• Per exemple 5x⁴+4x³+3x²+2x+1 = 0

Definició de l'equació cúbica

Equació cúbica és una equació algebraica on el grau més alt del polinomi és 3. Alguns exemples d'equacions cúbiques són 5x³+3x²+x+1 = 0, 2x³+8 = x ⇒ 2x³-x+8 = 0, etc.

La forma general d'una equació cúbica és,

destral ³ + bx ² + cx + d = 0, a ≠ 0

On,

• a, b, i c són els coeficients de variable i els seus exponenats i d és la constant, i
• a, b, c i d són nombres reals.

Com resoldre equacions cúbiques?

Una equació cúbica és una equació de grau tres. Té tres solucions i es pot resoldre fàcilment seguint els passos afegits a continuació,

Pas 1: Trobeu una solució a l'equació cúbica mitjançant el mètode d'aconseguir i provar. Suposem que tenim una equació cúbica P(x) i, per a qualsevol x = a, P(a) = 0, prenem x = 0, ±1, ±2, ±3, ... i així.

Pas 2: Quan obtenim, P(a) = 0, trobeu el factor (x – a) de P(x)

Pas 3: Dividiu P(x) per (x – a) per obtenir una equació quadràtica, diguem Q(x) utilitzant la divisió polinòmica.

Pas 4: Factaritzeu l'equació quadràtica Q(x) per obtenir els factors com (x – b) i (x – c).

Pas 5: (x – a), (x – b) i (x – c) són els factors de P(x) i resolent cada factor obtenim les arrels de l'equació com, a, b i c.

Aprendre mes sobre, Polinomi divisor

Resolució d'equacions cúbiques

A Equació cúbica es pot resoldre per dos mètodes

• Reduint-la a una equació quadràtica i després resolent-la ja sigui factoritzant o amb la fórmula quadràtica
• Per Mètode Gràfic

A Equació cúbica té tres arrels. Aquestes arrels poden ser reals o imaginàries. A més, hi pot haver arrels diferents o dues arrels iguals i una arrel diferent i les tres arrels iguals.

Cal tenir en compte que per a qualsevol equació, inclosa Equacions cúbiques , l'equació sempre s'ha d'ordenar en la seva forma estàndard abans de resoldre l'equació.

Per exemple, si l'equació donada és 2x²-5 = x + 4/x, llavors hem de reordenar-ho en la seva forma estàndard, és a dir, 2x³-x²-5x-4 = 0. Ara, podem resoldre l'equació utilitzant qualsevol mètode adequat.

Resolució d'equacions cúbiques amb factors

La solució de l'equació cúbica mitjançant el teorema del factor s'explica amb l'exemple afegit a continuació,

Exemple: Trobeu les arrels de l'equació f(x) = 3x ³ −16x ² + 23x − 6 = 0.

Solució:

Expressió donada: f(x) = 3x³−16x²+ 23x − 6 = 0

Primer, factoritza el polinomi per obtenir arrels

Com que la constant és -6, els possibles factors són 1, 2, 3, 6

f(1) = 3 – 16 + 23 – 6 ≠ 0

f(2) = 24 – 64 + 46 – 6 = 0

f(3) = 81 – 144 + 69 – 6 = 0

f(6) = 648 – 576 + 138 – 6 ≠ 0

Ho sabem, segons Teorema del factor si f(a) = 0, aleshores (x-a) és un factor de f(x)

Així, (x – 2) i (x – 3) són factors de f(x). Per tant, el producte de (x – 2) i (x – 3) també serà factor de f(x). Ara, per trobar els factors restants, utilitzeu el mètode de la divisió llarga i dividiu f(x) pel producte de (x – 2) i (x – 3)

Per tant, divisor = (x – 2)(x – 3) = (x²– 5x + 6) i Dividend = 3x³−16x²+ 23x − 6. Ara divideix com es mostra a continuació,

Després de la divisió obtenim (3x- 1) com a quocient i el residu és 0. Ara segons Algoritme de divisió Ho sabem Dividend = Divisor×Quocient+Resta.

⇒ f(x) = (3x³−16x²+ 23x − 6) = (x²– 5x + 6)(3x-1)

Com que f(x) = 0

⇒ (x²– 5x + 6)(3x-1) = 0

⇒ x²– 5x + 6 = 0 o 3x-1 = 0

Ara agafarem 3x-1 = 0 ⇒ x = 1/3 ja que ja coneixem dues arrels de x²– 5x + 6 que són 2 i 3

Tan,

Arrels del donat Equació cúbica són 1/3, 2 i 3.

Resolució d'equacions cúbiques mitjançant el mètode gràfic

Una equació cúbica es resol gràficament quan no es pot resoldre l'equació donada amb altres tècniques. Per tant, necessitem un dibuix precís de l'equació cúbica donada. Les arrels de l'equació són els punts en què el gràfic creua l'eix X si l'equació està en els termes de x i si l'equació està en els termes de y, les arrels de l'equació són els punts en què el gràfic talla l'eix Y.

El nombre de solucions reals de l'equació cúbica és igual al nombre de vegades que la gràfica de l'equació cúbica creua l'eix X.

lliure vs lliure

Exemple: Trobeu les arrels de l'equació f(x) = x ³ − 4x ² − 9x + 36 = 0, utilitzant el mètode gràfic.

Solució:

Expressió donada: f(x) = x³− 4x²− 9x + 36 = 0.

Ara, simplement substituïu valors aleatoris per x al gràfic per a la funció donada:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
f(x)	-56	0	19	40	36 int a cadena c++	24	10	0	0	16

Podem veure que el gràfic ha tallat l'eix X en 3 punts, per tant, hi ha 3 solucions reals.

A partir del gràfic, les solucions són: x = -3, x = 3 i x = 4.

Per tant, les arrels de l'equació donada són -3, 3 i 4.

Llegeix més,

• Equació lineal
• Resolució d'equacions quadràtiques
• Factorització de polinomis

Problemes basats en la resolució d'equacions cúbiques

Problema 1: Trobeu les arrels de f(x) = x ³ - 4x ² -3x + 6 = 0.

Solució:

Expressió donada: f(x) = x³- 4x²-3x + 6 = 0.

Primer, factoritza el polinomi per obtenir arrels.

Com que la constant és +6, els possibles factors són 1, 2, 3, 6.

f(1) = 1 – 4 – 3 + 6 = 7 – 7 = 0

f(2) = 8 – 16 – 6 + 6 ≠ 0

f(3) = 27 – 36 – 9 + 6 ≠ 0

f(6) = 216 – 144 -18 + 6 = -48 ≠ 0

Així, segons Teorema del factor (x – 1) és un factor de l'equació donada. Ara, per trobar els factors restants, utilitzeu el mètode de divisió llarga.

D'acord amb Algoritme de divisió podem escriure,

Així, f(x) = x³- 4x²-3x + 6 = (x – 1) (x²– 3x – 6) = 0

⇒ (x – 1) = 0 o (x²– 3x – 6) = 0

Sabem que les arrels d'una equació de segon grau són ax²+ bx + c = 0 són,

x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Per tant, per (x²– 3x – 6) = 0

x = [3 ± √(3²– 4(1)(-6)]/2(1)

x = (3 ± √33)/2

Per tant, les arrels de l'equació cúbica donada són 1, (3+√33)/2 i (3–√33)/2.

Problema 2: Trobeu les arrels de l'equació f(x) = 4x ³ – 10x ² + 4x = 0.

Solució:

Expressió donada: f(x) = 4x³– 10x²+ 4x = 0

⇒ x (4x²– 10x + 4) = 0

⇒ x (4x²– 8x – 2x + 4) = 0

⇒ x(4x(x – 2) – 2(x – 2)) = 0

⇒ x (4x – 2) (x – 2) = 0

⇒ x = 0 o 4x – 2 = 0, x – 2 = 0

⇒ x = 0 o x = 1/2 o x = 2

Per tant, les arrels de l'equació donada són 0, 1/2 i 2.

Problema 3: Trobeu les arrels de l'equació f(x) = x ³ + 3x ² + x + 3 = 0.

Solució:

Expressió donada: f(x) = x³+ 3x²+ x + 3 = 0.

⇒ x²(x + 3) + 1(x + 3) = 0

⇒ (x + 3) (x²+ 1) = 0

⇒ x + 3 = 0 o x²+ 1 = 0

⇒ x = -3, ±i

Per tant, l'equació donada té una arrel real, és a dir, -3, i dues arrels imaginàries, és a dir, ±i.

Problema 4: Trobeu les arrels de l'equació f(x) = x ³ – 7x ² – x + 7 = 0.

Solució:

Donades expressions,

f(x) = x³– 3x²– 5x + 7 = 0

Primer, factoritzeu l'equació, f(x): x³– 3x²– 5x + 7= 0

Es pot factoritzar en (x-7)(x+1)(x-1) = 0

Després de factoritzar el polinomi, podem trobar les arrels igualant cada factor a zero. Per exemple:

• x – 7 = 0, per tant x = 7
• x + 1 = 0, per tant x = -1
• x – 1 = 0, per tant x = 1

Per tant, les arrels de l'equació f(x): x³– 3x²– 5x + 7 = 0 són

• x = 7
• x = -1
• x = 1

Problema 5: Trobeu les arrels de l'equació f(x) = x ³ − 6x ² + 11x − 6 = 0, utilitzant el mètode gràfic.

Solució:

Expressió donada: f(x) = x³− 6x²+ 11x − 6 = 0.

Ara, simplement substituïu valors aleatoris per x al gràfic per a la funció donada:

x	1	2	3	4	5
f(x)	0	0	0	6 stlc	24

Podem veure que el gràfic ha tallat l'eix X en 3 punts, per tant, hi ha 3 solucions reals.

A partir del gràfic, les solucions són: x = 1, x = 2 i x = 3.

Per tant, les arrels de l'equació donada són 1, 2 i 3.

Pràctica de problemes de resolució d'equacions cúbiques

A continuació s'afegeixen diversos problemes de pràctica relacionats amb les equacions cúbiques. Resoldre aquests problemes per comprendre completament el concepte de Com resoldre l'equació cúbica?

P1. Resol l'equació cúbica, 3x³+ 2x²– 11x + 7 = 0.

P2. Troba les arrels de l'equació cúbica, 4x³– 12x²+ 17 = 0.

P3. Resol l'equació cúbica, x³+ 4x²– x + 3 = 0 mitjançant el mètode gràfic.

P4. Trobeu el nombre que satisfà, -9x³+ 11x²– 8x + 2 = 0.

Preguntes freqüents sobre la resolució d'equacions cúbiques

1. Què són les equacions cúbiques?

Les equacions cúbiques són les equacions algebraiques en què la potència màxima d'una variable és 3

2. Com es factoritza una equació cúbica?

Podem factoritzar una equació cúbica de dues maneres. Primer prenent una expressió lineal comuna de l'equació cúbica donada, llavors tindrem una expressió lineal i una quadràtica com a producte. Aquesta equació quadràtica es pot factoritzar encara més per obtenir tots els factors. El segon mètode és trobar un zero de l'equació cúbica donada posant valors aleatoris. El valor pel qual aconseguim que el valor de l'equació sigui zero serà un dels zeros de l'equació cúbica donada. Ara, utilitzant el teorema del factor, formeu una expressió lineal, diguem x-a i dividiu l'equació cúbica donada per aquesta expressió que donarà una equació quadràtica com a quocient. Aquesta equació quadràtica obtinguda es pot factoritzar encara més per obtenir tots els factors.

3. Com es resol una equació cúbica gràficament?

Per resoldre una equació cúbica gràficament, poseu valors aleatoris per a x a l'equació cúbica donada i resol, obtindreu els valors de y. Traceu aquests valors obtinguts al gràfic. Troba les coordenades a les quals la gràfica talla l'eix x. Aquestes coordenades són la solució de l'equació cúbica.

4. Es poden resoldre exactament totes les equacions cúbiques?

Qualsevol equació que tingui una potència estranya ha de tenir una arrel real. Per tant, una equació cúbica ha de tenir almenys una arrel real, a diferència d'una equació quadràtica on les dues arrels poden ser imaginàries quan el discriminant és menor que zero.

5. Una equació cúbica pot tenir múltiples solucions?

Sí, les equacions cúbiques poden tenir múltiples solucions, ja que una equació cúbica pot tenir fins a tres arrels reals diferents.

6. Què vols dir amb el grau d'una equació?

La potència màxima que té la variable en una equació s'anomena grau d'un polinomi.

7. Quina diferència hi ha entre un polinomi i una equació?

El polinomi és simplement una equació algebraica en què la potència de la variable és un enter no negatiu. Aquest polinomi quan s'equipara (=) amb un valor numèric o un altre polinomi, s'anomena equació.

8. Quin és el teorema del factor per a les equacions cúbiques?

El teorema del factor afirma que si r és una arrel (solució) de l'equació cúbica ax³+ bx²+ cx + d = 0, aleshores x – r és un factor de l'equació.

9. Què passa si no puc trobar solucions exactes amb fórmules?

Si trobar solucions exactes sembla impossible, podem utilitzar els mètodes numèrics com els mètodes iteratius (per exemple, el mètode de Newton) per aproximar les arrels de l'equació.

Aprendre mes sobre Mètode de Newton Raphson .