logo

TechCodeview

Mètode de Newton Raphson

El mètode de Newton Raphson o mètode de Newton és una tècnica potent per resoldre equacions numèricament. S'utilitza més habitualment per a l'aproximació de les arrels de les funcions de valor real. El mètode Newton Rapson va ser desenvolupat per Isaac Newton i Joseph Raphson, d'aquí el nom de Newton Rapson Method.

El mètode Newton Raphson consisteix a refinar de manera iterativa una conjectura inicial per convergir-la cap a l'arrel desitjada. Tanmateix, el mètode no és eficient per calcular les arrels dels polinomis o equacions amb graus més alts, però en el cas d'equacions de grau petit, aquest mètode dóna resultats molt ràpids. En aquest article, aprendrem sobre el mètode Newton Raphson i els passos per calcular les arrels amb aquest mètode també.



Taula de contingut

Què és el mètode Newton Raphson?

El mètode de Newton-Raphson, també conegut com a mètode de Newton, és un mètode numèric iteratiu utilitzat per trobar les arrels d'una funció de valor real. Aquesta fórmula porta el nom de Sir Isaac Newton i Joseph Raphson, ja que van contribuir de manera independent al seu desenvolupament. El Mètode de Newton Raphson o Mètode de Newton és un algorisme per aproximar les arrels de zeros de les funcions de valors reals, utilitzant la conjectura per a la primera iteració (x0) i després aproximant la següent iteració (x1) que està a prop de les arrels, utilitzant la fórmula següent.

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



on,

  • x 0 és el valor inicial de x,
  • f (x 0 ) és el valor de l'equació al valor inicial, i
  • f'(x 0 ) és el valor de la derivada de primer ordre de l'equació o funció al valor inicial x0.

Nota: f'(x0) no hauria de ser zero, sinó la part de la fracció de la fórmula canviarà a infinit, el que significa que f(x) no hauria de ser una funció constant.

Fórmula del mètode Newton Raphson

En la forma general, la fórmula del mètode Newton-Raphson s'escriu de la següent manera:



x n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

On,

  • x n-1 és l'estimat (n-1)tharrel de la funció,
  • f (x n-1 ) és el valor de l'equació a (n-1)tharrel estimada, i
  • f'(x n-1 ) és el valor de la derivada de primer ordre de l'equació o funció en xn-1.

Mètode de càlcul de Newton Raphson

Suposem l'equació o les funcions les arrels de les quals s'han de calcular com a f(x) = 0.

Per demostrar la validesa del mètode de Newton Raphson es segueixen els passos següents:

Pas 1: Dibuixa una gràfica de f(x) per a diferents valors de x tal com es mostra a continuació:

Mètode de càlcul de Newton Raphson

Pas 2: Es dibuixa una tangent a f(x) en x0. Aquest és el valor inicial.

Pas 3: Aquesta tangent tallarà l'eix X en algun punt fix (x1,0) si la primera derivada de f(x) no és zero, és a dir. f'(x 0 ) ≠ 0.

convertir string en int a Java

Pas 4: Com que aquest mètode suposa la iteració de les arrels, aquesta x1es considera que és la següent aproximació de l'arrel.

Pas 5: Ara es repeteixen els passos del 2 al 4 fins a arribar a l'arrel x real*.

Ara sabem que l'equació de pendent-intercepció de qualsevol línia es representa com y = mx + c,

On m és el pendent de la recta i c és la intercepció amb l'eix de la línia.

Utilitzant la mateixa fórmula que obtenim

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

Aquí f(x0) representa la c i f'(x0) representa el pendent de la tangent m. Com que aquesta equació és certa per a cada valor de x, ha de ser certa per a x1. Així, substituint x per x1, i igualant l'equació a zero com necessitem per calcular les arrels, obtenim:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x 1 − x 0 )

x 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Quina és la fórmula del mètode de Newton Raphson.

Així, el mètode de Newton Raphson es va demostrar matemàticament i es va acceptar que era vàlid.

Convergència del mètode de Newton Raphson

El mètode de Newton-Raphson tendeix a convergir si es compleix la següent condició:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

Vol dir que el mètode convergeix quan el mòdul del producte del valor de la funció en x i la segona derivada d'una funció en x és menor que el quadrat del mòdul de la primera derivada de la funció en x. El mètode de Newton-Raphson té una convergència d'ordre 2, la qual cosa significa que té una convergència quadràtica.

Nota:

El mètode de Newton Raphson no és vàlid si la primera derivada de la funció és 0, que significa f'(x) = 0. Només és possible quan la funció donada és una funció constant.

  • Mètode de Newton per trobar arrels
  • Diferència entre el mètode Newton Raphson i el mètode Falsi regular
  • Diferència entre el mètode de la bisecció i el mètode de Newton Raphson
  • Algoritme de recerca d'arrel

Exemple del mètode Newton Raphson

Considerem l'exemple següent per obtenir més informació sobre el procés de trobar l'arrel d'una funció de valor real.

Exemple: Per al valor inicial x 0 = 3, aproximeu l'arrel de f(x)=x 3 +3x+1.

Solució:

Donat, x0= 3 i f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f (x0) = f(3) = 27 + 3(3) + 1 = 37

Utilitzant el mètode de Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1.767

Problemes resolts del mètode Newton Raphson

Problema 1: Per al valor inicial x 0 = 1, aproximeu l'arrel de f(x)=x 2 −5x+1.

java ordenant una llista de matrius

Solució:

Donat, x0= 1 i f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f (x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Utilitzant el mètode de Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1 -1

pendent indefinida

⇒ x1= 0

Problema 2: Per al valor inicial x 0 = 2, aproximeu l'arrel de f(x)=x 3 −6x+1.

Solució:

Donat, x0= 2 i f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f (x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Utilitzant el mètode de Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2.5

Problema 3: Per al valor inicial x 0 = 3, aproximeu l'arrel de f(x)=x 2 −3.

Solució:

Donat, x0= 3 i f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f (x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Utilitzant el mètode de Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

Problema 4: Trobeu l'arrel de l'equació f(x) = x 3 – 3 = 0, si el valor inicial és 2.

Solució:

Donat x0= 2 i f(x) = x3– 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f (x0) = 8 – 3 = 5

Utilitzant el mètode de Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1.583

Utilitzant de nou el mètode Newton Raphson:

llenguatge màquina

x2= 1.4544

x3= 1.4424

x4= 1.4422

Per tant, l'arrel de l'equació és aproximadament x = 1,442.

Problema 5: Trobeu l'arrel de l'equació f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, si el valor inicial és 3.

Solució:

Donat x0= 3 i f(x) = x3– 5x + 3 = 0

quants mb en un gb

f'(x) = 3x2– 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f (x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

Utilitzant el mètode de Newton Raphson:

x1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2.3181

Utilitzant de nou el mètode Newton Raphson:

x2= 1.9705

x3= 1.8504

x4= 1.8345

x5= 1.8342

Per tant, l'arrel de l'equació és aproximadament x = 1,834.

Preguntes freqüents del mètode Newton Raphson

P1: Definiu el mètode Newton Raphson.

Resposta:

El mètode de Newton Raphson és un mètode numèric per aproximar les arrels de qualsevol funció de valor real donada. En aquest mètode, hem utilitzat diverses iteracions per aproximar les arrels, i com més gran sigui el nombre d'iteracions, menys error en el valor de l'arrel calculada.

P2: Quin és l'avantatge del mètode Newton Raphson?

Resposta:

El mètode de Newton Raphson té l'avantatge que ens permet endevinar les arrels d'una equació amb un petit grau de manera molt eficient i ràpida.

P3: Quin és el desavantatge del mètode Newton Raphson?

Resposta:

El desavantatge del mètode de Newton Raphson és que tendeix a ser molt complex quan el grau del polinomi es fa molt gran.

P4: indiqueu qualsevol aplicació de la vida real del mètode de Newton Raphson.

Resposta:

El mètode Newton Raphson s'utilitza per analitzar el flux d'aigua a les xarxes de distribució d'aigua a la vida real.

P5: En quina teoria es basa el mètode Newton-Raphson?

Resposta:

El mètode de Newton Raphson es basa en la teoria del càlcul i tangent a una corba.