Línies perpendiculars en Matemàtiques són parells de rectes que es tallen sempre en angle recte, és a dir, les rectes perpendiculars són sempre rectes que es tallen a 90°. Les línies perpendiculars les podem veure fàcilment, les cantonades de les parets, les cantonades de l'escriptori i altres representen la línia paral·lela. Per a les rectes perpendiculars, diem que es tallen entre si en angle recte. La distància més curta entre dues línies es dóna utilitzant la distància perpendicular entre elles, és a dir, la línia perpendicular entre dos punts dóna la distància més curta entre elles.

En aquest article, aprendrem sobre les línies perpendiculars, les seves propietats i altres en detall.

Taula de contingut

• Què són les rectes perpendiculars?
• Propietats de les rectes perpendiculars
• Pendent de rectes perpendiculars
• Fórmula de rectes perpendiculars
• Com dibuixar línies perpendiculars?
• Equació de la recta perpendicular

Què és la perpendicular?

La perpendicular es defineix com una recta que fa a angle recte amb una altra línia. En altres paraules, línia perpendicular significa les línies que formen un angle de 90 graus. La distància més curta entre el punt i la recta és la recta perpendicular entre ells. Una perpendicular fa 90 graus amb l'altra línia. La línia AB i PQ, tal com es mostra a la imatge següent, són perpendiculars entre elles perquè es tallen a 90 graus.

La línia AB i CD afegida a la imatge següent mostra dues línies perpendiculars.

Què són les rectes perpendiculars?

Línies perpendiculars són les rectes que es tallen entre si en un angle igual a 90 graus, és a dir, si dues rectes es troben en angle recte s'anomenen rectes perpendiculars. Agafeu la figura afegida aquí a continuació, la línia l i la línia m es tallen entre elles al punt O i l'angle que formen és de 90 graus.

Així, podem dir que l és una recta perpendicular a m recta o que m és perpendicular a la recta l. Representem aquesta condició com, l ⊥ m. Ara qualsevol recta paral·lela a la recta l és perpendicular a la recta m. La distància més curta entre el punt i la línia és sempre la distància perpendicular entre ells.

Nota: No totes les rectes que es tallen són rectes perpendiculars, però totes les rectes perpendiculars són rectes que es tallen.

Signe perpendicular

Les línies perpendiculars es representen amb el símbol '⊥'. Si les rectes l i m són perpendiculars entre si, és a dir, es tallen a 90 graus, s'anomenen rectes perpendiculars i es representen com, l ⊥ m. El punt d'intersecció s'anomena peu de la perpendicular.

Formes perpendiculars

Les formes prependiculars es poden veure al nostre voltant en la nostra vida quotidiana. En les formes perpendiculars són les formes en què almenys un angle és de 90°. Diverses formes que tenen línies perpendiculars (formes perpendiculars) són,

• Quadrat
• Rectangle
• Triangle rectangle

Propietats de les rectes perpendiculars

Les dues rectes que es tallen en un angle de 90 graus s'anomenen rectes perpendiculars. Les rectes perpendiculars tenen propietats diferents que les que es tallen i les propietats generals de les rectes que es tallen són:

• Les rectes perpendiculars són les rectes que sempre es tallen en angle recte.
• Si dues rectes són perpendiculars a la mateixa recta, aleshores aquestes dues rectes són sempre paral·leles entre si.

Pendent de rectes perpendiculars

El pendent de qualsevol recta és el tan de l'angle format per la recta amb l'eix x positiu i el pendent en el cas de les rectes perpendiculars té una relació particular entre elles.

Suposem que tenim dues rectes PQ i RS que són perpendiculars entre si. Ara, el pendent de la recta PQ és m₁i el pendent de la recta RS és m₂, aleshores el producte dels pendents és igual a -1. La declaració del mateix és,

Declaració: Dues rectes són perpendiculars entre si si el producte del seu pendent és -1.

Això es pot representar com,

m ₁ .m ₂ = -1

Fórmula de rectes perpendiculars

Les dues fórmules bàsiques de línies perpendiculars es discuteixen a continuació,

Declaració 1: El producte del pendent d'una recta perpendicular amb el pendent de la recta original és sempre -1 .

Prova:

Permet que la línia original faci un angle de θ amb l'eix X.

Aleshores, la línia perpendicular a la línia formarà un angle de θ + 90° o θ – 90° amb l'eix X.

Ara, el pendent de la línia original és igual a tan θ

comandament superior unix

El pendent de la recta perpendicular és igual a tan (θ + 90^O) o bronzejat (θ – 90^O)

tan (θ + 90 ^O ) = tan (θ – 90 ^O ) = -cot i

Així, el pendent de la recta perpendicular és -cot θ

Ara,

Producte de pendents = tan θ × (-cot θ) = -1

Per tant, demostrat

Declaració 2: Si l'equació d'una recta és ax + per + c = 0

Aleshores, l'equació d'una recta perpendicular a la recta donada és:

– bx + ay + d = 0

on, c i d són qualsevol valor constant

Prova:

L'equació de línia és ax + per + c = 0

El pendent de la línia és -a/b

Sigui el pendent de la recta perpendicular m

Sabem que el producte del pendent de dues rectes perpendiculars és -1

m × (-a / b) = – 1

m = b/a

Ara, si la recta perpendicular passa per un punt (x₁, i₁), aleshores l'equació de la recta perpendicular és,

(i – i₁) / (x – x₁) = b/a

i – i₁= (b / a) × (x – x₁)

és – és₁= bx – bx₁

– bx + és + (bx₁- és₁) = 0 {deixar bx₁- és₁= d}

Per tant, l'equació requerida de la recta és,

– bx + ay + d = 0

Com dibuixar línies perpendiculars?

Podem construir fàcilment la parella de la recta perpendicular, utilitzant el transportador i la brúixola.

Dibuix de línies perpendiculars amb transportador

Per dibuixar un parell de línies perpendiculars, seguiu els passos que es descriuen a continuació:

Pas 1: Primer dibuixeu una línia horitzontal AB al paper amb un regle.

Pas 2: Marca qualsevol punt P de la recta AB des del qual hem de dibuixar la recta perpendicular.

Pas 3: Col·loqueu el protector a la línia i feu coincidir el punt mitjà del protector amb el punt P de la línia.

Pas 4: Marqueu l'angle de 90 graus amb el protector.

Pas 5: Uneix la línia amb qualsevol regle amb l'angle de 90 graus, per obtenir un parell de línies perpendiculars.

Dibuix de línies perpendiculars amb la brúixola

A continuació es mostren els passos per fer línies perpendiculars amb una brúixola

Pas 1: Dibuixa una línia al paper amb un regle

Pas 2: Agafeu un punt de la línia i col·loqueu-hi l'agulla de la brúixola.

Pas 3: Dibuixa un arc (un semicercle) en un costat de la línia.

Pas 4: Sense canviar el radi de la brúixola ara col·loqueu l'agulla en un extrem del diàmetre del semicercle.

Pas 5: Trisecteu l'arc de mig punt tallant-lo dues vegades. El primer tall marca 60° i el segon tall marca 120°

Pas 6: Hi ha una diferència de 60° entre el primer i el segon tall. Biseu aquest buit amb la brúixola sense canviar-ne el radi.

Pas 7: Ara uneix el punt de bisecció de 60 i 120 amb el punt suposat inicialment per dibuixar l'arc de mig punt.

Pas 8: La línia dibuixada és perpendicular a la línia inicial.

Exemples de rectes perpendiculars

Les línies perpendiculars són les que sempre es troben a 90 graus. Veiem diversos exemples de línies paral·leles a la vida real, alguns d'ells són,

• Les cantonades de les habitacions són perpendiculars entre si.
• Les agulles del rellotge representen línies perpendiculars a les 3′ del rellotge.
• Les cantonades de la taula i l'escriptori representen les línies perpendiculars.

Rectes perpendiculars i paral·leles

Les rectes perpendiculars són les rectes que formen un angle de 90° entre si, mentre que com a rectes paral·leles són les rectes que són paral·leles entre si, és a dir, estan equidistants entre si i mai es tallen.

Nota: Les línies paral·leles es troben a l'infinit .

Pendent de rectes paral·leles i perpendiculars

El pendent de les rectes paral·leles és igual, mentre que el producte del pendent de les rectes perpendiculars és -1.

Equacions de rectes paral·leles i perpendiculars

Si dues rectes són paral·leles, la seva equació de rectes és:

• ax + by + c = 0 i ax + by + d = 0

Mentre que l'equació de dues perpendiculars són,

• ax + by + c = 0 i -bx + ax + d = 0

Què són les línies paral·leles?

Les línies paral·leles en Geometria es defineixen com les línies que no es troben entre si en el pla 2D, és a dir, no es tallen mai en el pla 2D. La distància entre les dues rectes paral·leles és sempre constant. La imatge afegida a continuació mostra dos parells de línies paral·leles.

Les rectes a, b i x i y són paral·leles entre si.

Diferència entre rectes paral·leles i rectes perpendiculars

Rectes paral·leles Vs rectes perpendiculars es comenten a la taula següent.

Equació de la recta perpendicular

L'estàndard equació d'una recta és ax + per + c = 0 i la recta perpendicular a la recta donada es dóna amb,

-bx + ay + d = 0

on, d és el valor constant i el seu valor es troba utilitzant l'altra condició donada.

Pendent de la línia perpendicular

Suposem que tenim una recta l'equació de la qual és de la forma y = mx + c i el seu pendent és m, aleshores el pendent de la recta perpendicular a la recta donada és,

Pendent de la recta perpendicular = -1/m

Ara si el pendent de dues rectes és m₁i m₂aleshores la relació entre aquests dos vessants és: m ₁ m ₂ = -1

Llegeix més,

• Línies paral·leles
• Línies transversals
• Propietats de les rectes paral·leles

Exemples de rectes perpendiculars

Exemple 1: Les rectes 3x + 2y + 5 = 0 i 2x – 3y + 8 = 0 són perpendiculars?

Solució:

El pendent de la recta ax + per + c = 0 és -a/b

• El pendent de la recta 3x + 2y + 5 = 0 és m₁= – 3 / 2.
• El pendent de la recta 2x – 3y + 8 = 0 és m₂= -2 / (-3) = 2 / 3

Sabem que les rectes són perpendiculars si els seus pendents tenen la condició.

m₁× m₂= -1

Ara des de la condició anterior,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

El producte dels pendents és -1 i per tant les rectes són perpendiculars.

Exemple 2: Trobeu la recta perpendicular a la recta x + 2y + 5 = 0 i passeu pel punt (2, 5).

Solució:

Sabem que l'equació d'una recta perpendicular a la recta ax + by + c = 0 és – bx + ay + d = 0.

Donada l'equació de línia és x + 2y + 5 = 0

Comparant la recta x + 2y + 5 = 0 amb ax + by + c = 0 obtenim,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Així, l'equació de qualsevol recta perpendicular a aquesta recta és – 2x + y + d = 0…(i)

Donat, aquesta recta passa per (2, 5),

Així posant (2, 5) en aquesta equació de la recta perpendicular

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Substituint el valor de d a eq(i), obtenim

-2x + y + (-1) = 0

Així, l'equació de la recta perpendicular és -2x + y – 1 = 0

Exemple 3: Trobeu el pendent de la recta perpendicular a la recta 3x + 9y + 7 = 0.

Solució:

Donat,

L'equació de la recta és 3x + 9y + 7 = 0

Pendent d'aquesta recta = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Sigui m

Ara utilitzeu la fórmula de la recta perpendicular

m × (- 1/3) = – 1

⇒ m = 3

Així, el pendent de la recta perpendicular a la recta donada és 3.

Exemple 4: Trobeu l'angle d'una recta perpendicular a la recta x + y + 3 = 0.

Solució:

Línia donada,

x + y + 3 = 0

Pendent de la recta donada = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Permet, el pendent de la recta perpendicular a la recta anterior és m

A partir de la fórmula de la recta perpendicular,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

L'angle de la línia perpendicular a la recta donada és θ, doncs

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Per tant, l'angle format per la línia perpendicular amb l'eix X és 45°.

Problemes de pràctica perpendiculars

Q1. Troba l'angle d'una recta perpendicular a la recta 3x + 9y – 11 = 0.

P2. Si una recta passa pels punts (11, –4) i (–1, 8) i una altra línia passa pels punts (8, 3) i (–1, -3). Comproveu si aquestes rectes són paral·leles o perpendiculars.

P3. Trobeu l'equació de la recta que és perpendicular a 5x − 7y = 5 i que passa pel punt (-1, 8).

P4. Trobeu l'equació de la recta que passa per (2, 3) i perpendicular a l'eix x.

Línies perpendiculars - Preguntes freqüents

Què són les rectes perpendiculars?

Si dues rectes que es tallen en angle recte, és a dir, a 90 graus, aquestes dues rectes s'anomenen rectes perpendiculars.

Què són les línies paral·leles i perpendiculars?

Les línies paral·leles són les línies que no es troben en el pla 2D. La distància entre dues rectes paral·leles és sempre constant. Mentre que si dues línies es troben a 90 graus, aquestes línies s'anomenen línies perpendiculars.

Les línies que es tallen sempre són perpendiculars?

No, no totes les rectes que es tallen són sempre perpendiculars, poden ser perpendiculars o no. Les línies que s'entrecreuen es poden trobar en diferents angles.

Quina és la condició per al pendent de les rectes perpendiculars?

Suposem que el pendent de dues rectes és m₁i m₂aleshores la condició dels pendents de dues rectes perpendiculars és, m ₁ .m ₂ = -1

Quantes rectes perpendiculars es poden dibuixar a una recta?

Podem dibuixar qualsevol nombre de rectes perpendiculars a una recta, és a dir, podem tenir infinites rectes perpendiculars a qualsevol recta.

Quan dues rectes són perpendiculars?

Dues rectes són perpendiculars si es tallen a 90°, és a dir, les rectes perpendiculars sempre es tallen en angle recte.

Què és un triangle perpendicular?

Un triangle que té un angle igual a 90° s'anomena triangle perpendicular. També s'anomena triangle rectangle.

Quines són algunes formes perpendiculars?

Algunes formes que s'anomenen formes pependiculars són les formes que tenen almenys una perpendicular. Diversos exemples de formes perpendiculars són, Quadrat, Rectangle, Triangle rectangle

Què són els angles perpendiculars?

Els angles que són iguals a 90° s'anomenen angles perpendiculars. L'altre nom dels angles perpendiculars és Angles rectes.

Què és el símbol perpendicular?

El símbol o signe que representa la perpendicular és, ⟂. Utilitzem aquest símbol per mostrar si dues rectes són perpendiculars. Com per exemple, si s'escriu A⟂B, on A i B són dues línies, aleshores la línia A és perpendicular a la recta B i viceversa.

Com identifiqueu quines rectes són perpendiculars?

Si l'angle entre dues línies és de 90°. Aleshores podem dir que aquestes dues rectes són perpendiculars. Si el pendent de les dues rectes es dóna com a, m₁, m₂llavors fem servir la fórmula de la recta perpendicular per trobar si són perpendiculars o no. La fórmula de la recta perpendicular és, m₁.m₂= -1

Com trobar el pendent de les rectes perpendiculars?

El pendent de les rectes perpendiculars es pot calcular fàcilment mitjançant la fórmula del pendent. Suposem que se'ns dóna una línia, primer la convertim a la forma estàndard i després fem servir la fórmula del pendent per trobar el pendent. La fórmula del pendent és m = -b/a, on a és el coeficient de x i b és el coeficient de y.