La permutació i la combinació són els conceptes més fonamentals de les matemàtiques i amb aquests conceptes s'introdueix als estudiants una nova branca de les matemàtiques, és a dir, la combinatòria. La permutació i la combinació són les maneres d'ordenar un grup d'objectes seleccionant-los en un ordre específic i formant els seus subconjunts.

Per organitzar grups de dades en un ordre específic s'utilitzen fórmules de permutació i combinació. La selecció de dades o objectes d'un grup determinat es diu que és una permutació, mentre que l'ordre en què estan disposats s'anomena combinació.

Permutacions i combinacions

En aquest article estudiarem el concepte de permutació i combinació i les seves fórmules, utilitzant-les també per resoldre molts problemes de mostra.

Taula de contingut

• Significat de la permutació
• Significat de la combinació
• Derivació de fórmules de permutació i combinació
• Diferència entre permutació i combinació
• Exemples resolts sobre permutació i combinació

Significat de la permutació

La permutació són les diferents interpretacions d'un nombre determinat de components portats un per un, o alguns, o tots alhora. Per exemple, si tenim dos components A i B, llavors hi ha dues actuacions probables, AB i BA.

Un nombre de permutacions quan els components 'r' es situen d'un total de 'n' components és ⁿ P _r . Per exemple, siguem n = 3 (A, B i C) i r = 2 (totes les permutacions de mida 2). Després n'hi ha ³ P ₂ aquestes permutacions, que és igual a 6. Aquestes sis permutacions són AB, AC, BA, BC, CA i CB. Les sis permutacions de A, B i C preses de tres a la vegada es mostren a la imatge afegida a continuació:

Significat de la permutació

Fórmula de permutació

Fórmula de permutació s'utilitza per trobar el nombre de maneres de triar r coses fora n coses diferents en un ordre específic i la substitució no està permesa i es dóna de la següent manera:

Fórmula de permutació

Explicació de la fórmula de permutació

Com sabem, la permutació és un arranjament de r coses de n on l'ordre d'ordenació és important (AB i BA són dues permutacions diferents). Si hi ha tres números diferents 1, 2 i 3 i si algú té curiositat per permutar els números que prenen 2 alhora, es mostra (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3). ), (3, 1) i (3, 2). És a dir, es pot aconseguir en 6 mètodes.

Aquí, (1, 2) i (2, 1) són diferents. De nou, si aquests 3 números s'han de posar tots a la vegada, les interpretacions seran (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1). ), (3, 1, 2) i (3, 2, 1), és a dir, de 6 maneres.

En general, es poden establir n coses diferents prenent r (r^thcosa pot ser qualsevol de les n – (r – 1) coses restants.

Per tant, el nombre sencer de permutacions de n coses diferents que porten r alhora és n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)] que s'escriu com aⁿP_r. O, en altres paraules,

proves de rendiment

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Significat de la combinació

Són les diferents seccions d'un nombre compartit de components transportats un per un, o alguns, o tots alhora. Per exemple, si hi ha dos components A i B, només hi ha una manera de seleccionar dues coses, seleccioneu-les totes dues.

Per exemple, siguem n = 3 (A, B i C) i r = 2 (totes les combinacions de mida 2). Després n'hi ha ³ C ₂ aquestes combinacions, que és igual a 3. Aquestes tres combinacions són AB, AC i BC.

Aquí, el combinació de dues lletres qualsevol de les tres lletres A, B i C es mostra a continuació, observem que en combinació l'ordre en què es prenen A i B no és important ja que AB i BA representen la mateixa combinació.

Significat de la combinació

Nota: En el mateix exemple, tenim punts diferents per a la permutació i la combinació. Perquè, AB i BA són dos elements diferents, és a dir, dues permutacions diferents, però per seleccionar, AB i BA són la mateixa, és a dir, la mateixa combinació.

Fórmula combinada

La fórmula de combinació s'utilitza per triar components 'r' entre un nombre total de components 'n' i ve donada per:

Fórmula combinada

Utilitzant la fórmula anterior per a r i (n-r), obtenim el mateix resultat. Així,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Explicació de la fórmula de combinació

La combinació, d'altra banda, és un tipus de paquet. De nou, d'aquests tres nombres 1, 2 i 3 si es creen conjunts amb dos nombres, les combinacions són (1, 2), (1, 3) i (2, 3).

Aquí, (1, 2) i (2, 1) són idèntics, a diferència de les permutacions on són diferents. Això està escrit com³C₂. En general, el nombre de combinacions de n coses diferents preses r alhora és,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Derivació de fórmules de permutació i combinació

Podem derivar aquestes fórmules de permutació i combinació utilitzant els mètodes bàsics de recompte, ja que aquestes fórmules representen el mateix. La derivació d'aquestes fórmules és la següent:

Fórmula de derivació de permutacions

La permutació és seleccionar r objectes diferents d'n objectes sense reemplaçament i on l'ordre de selecció és important, pel teorema fonamental del recompte i la definició de permutació, obtenim

P (n, r) = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). . . . .(n-(r+1))

Multiplicant i dividint a dalt amb (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, aconseguim

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Així, es deriva la fórmula per a P (n, r).

Fórmula de derivació de combinacions

La combinació és triar r elements entre n elements quan l'ordre de selecció no té importància. La seva fórmula es calcula com,

C(n, r) = Nombre total de permutacions /Nombre de maneres d'ordenar r objectes diferents.
[Com que pel teorema fonamental del recompte, sabem que el nombre de maneres d'ordenar r objectes diferents de r maneres = r!]

C(n,r) = P (n, r)/ r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Així, es deriva la fórmula per a la combinació, és a dir, C(n, r).

Diferència entre permutació i combinació

Diferències entre permutació i combinació es pot entendre amb la taula següent:

Comproveu també,

• Teorema del binomi
• Expansió binomial
• Variables aleatòries binomials
• Teorema fonamental del recompte

Exemples resolts sobre permutació i combinació

Exemple 1: Trobeu el nombre de permutacions i combinacions de n = 9 i r = 3 .

Solució:

Donat, n = 9, r = 3

Utilitzant la fórmula anterior:

Per a permutació:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! / 6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

Per a la combinació:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

corda al c

⇒ ⁿ C _r = 84

Exemple 2: De quantes maneres es pot escollir un comitè format per 4 homes i 2 dones entre 6 homes i 5 dones?

Solució:

Trieu 4 homes de 6 homes =⁶C₄vies = 15 vies

Trieu 2 dones de 5 dones =⁵C₂vies = 10 vies

El comitè es pot escollir⁶C₄×⁵C₂= 150 maneres.

Exemple 3: De quantes maneres es poden disposar 5 llibres diferents en un prestatge?

Solució:

Aquest és un problema de permutació perquè l'ordre dels llibres és important.

Utilitzant la fórmula de permutació, obtenim:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Per tant, hi ha 120 maneres de disposar 5 llibres diferents en un prestatge.

Exemple 4: Quantes paraules de 3 lletres es poden formar utilitzant les lletres de la paraula FAULA?

Solució:

Aquest és un problema de permutació perquè l'ordre de les lletres és important.

Utilitzant la fórmula de permutació, obtenim:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Per tant, hi ha 60 paraules de 3 lletres que es poden formar utilitzant les lletres de la paraula FABLE.

Exemple 5: S'ha de formar una comissió de 5 membres a partir d'un grup de 10 persones. De quantes maneres es pot fer això?

Solució:

Aquest és un problema de combinació perquè l'ordre dels membres no importa.

Utilitzant la fórmula de combinació, obtenim:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Per tant, hi ha 252 maneres de formar una comissió de 5 membres a partir d'un grup de 10 persones.

què és el mapa java

Exemple 6: una pizzeria ofereix 4 complements diferents per a les seves pizzes. Si un client vol demanar una pizza amb exactament 2 cobertures, de quantes maneres es pot fer?

Solució:

Aquest és un problema de combinació perquè no importa l'ordre dels ingredients.

Utilitzant la fórmula de combinació, obtenim:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Per tant, hi ha 6 maneres de demanar una pizza amb exactament 2 cobertures de 4 cobertures diferents.

Exemple 7: Quantes paraules es poden crear utilitzant 2 lletres del terme AMOR?

Solució:

El terme AMOR té 4 lletres diferents.

Per tant, el nombre requerit de paraules =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Nombre de paraules requerit = 4! / 2! = 24/2

⇒ Nombre de paraules requerit = 12

Exemple 8: de 5 consonants i 3 vocals, quantes paraules de 3 consonants i 2 vocals es poden formar?

Solució:

Nombre de maneres de triar 3 consonants de 5 =⁵C₃

Nombre de maneres de triar 2 vocals entre 3 =³C₂

Nombre de maneres de triar 3 consonants de 2 i 2 vocals de 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Número requerit = 10 × 3

= 30

Vol dir que podem tenir 30 grups on cada grup conté un total de 5 lletres (3 consonants i 2 vocals).

Nombre de maneres d'ordenar 5 lletres entre si

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Per tant, el nombre de vies requerit = 30 × 120

⇒ Nombre de vies requerides = 3600

Exemple 9: Quantes combinacions diferents obteniu si teniu 5 elements i en trieu 4?

Solució:

Insereix els nombres donats a l'equació de combinacions i resol. n és el nombre d'elements que hi ha al conjunt (5 en aquest exemple); r és el nombre d'elements que trieu (4 en aquest exemple):

nick pulos llamp negre

C(n, r) = n! /r! (n-r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

La solució és 5.

Exemple 10: de 6 consonants i 3 vocals, quantes expressions de 2 consonants i 1 vocal es poden crear?

Solució:

Nombre de maneres de seleccionar 2 consonants de 6 =⁶C₂

Nombre de maneres de seleccionar 1 vocal de 3 =³C₁

Nombre de maneres de seleccionar 3 consonants de 7 i 2 vocals de 4.

⇒ Maneres obligatòries =⁶C₂׳C₁

⇒ Maneres requerides = 15 × 3

⇒ Vies necessàries= 45

Vol dir que podem tenir 45 grups on cada grup conté un total de 3 lletres (2 consonants i 1 vocal).

Nombre de maneres d'ordenar 3 lletres entre si = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Maneres necessàries per organitzar tres lletres = 6

Per tant, el nombre de vies requerit = 45 × 6

⇒ Vies necessàries = 270

Exemple 11: En quantes formes diferents es poden organitzar les lletres del terme ‘TELEFON’ de manera que les vocals siguin coherents venir conjuntament?

Solució:

La paraula 'TELÈFON' té 5 lletres. Té les vocals 'O',' E', i aquestes 2 vocals haurien de venir conjuntament de manera coherent. Així, aquestes dues vocals es poden agrupar i veure com una sola lletra. És a dir, PHN(OE).

Per tant, podem prendre lletres totals com 4 i totes aquestes lletres són diferents.

Nombre de mètodes per organitzar aquestes lletres = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Maneres obligatòries arrenge letters = 24

Totes les 2 vocals (OE) són diferents.

Nombre de maneres d'ordenar aquestes vocals entre elles = 2! = 2 × 1

⇒ Maneres necessàries d'ordenar les vocals = 2

Per tant, el nombre requerit de maneres = 24 × 2

⇒ Vies necessàries = 48.

Preguntes freqüents sobre permutacions i combinacions

Quina és la fórmula factorial?

La fórmula factorial s'utilitza per al càlcul de permutacions i combinacions. La fórmula factorial per a n! es dóna com

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

Per exemple, 3! = 3 × 2 × 1 = 6 i 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

El que fa ⁿ C _r representar?

ⁿC_rrepresenta el nombre de combinacions que es poden fer n agafant objectes r en un moment.

Què entens per permutacions i combinacions?

Una permutació és un acte d'ordenar les coses en un ordre específic. Les combinacions són les maneres de seleccionar r objectes d'un grup de n objectes, on l'ordre de l'objecte escollit no afecta la combinació total.

Escriu exemples de permutacions i combinacions.

Nombre de paraules de 3 lletres que es poden formar utilitzant les lletres de la paraula diu, HOLA;⁵P₃= 5!/(5-3)! aquest és un exemple de permutació.
Nombre de combinacions que podem escriure les paraules utilitzant les vocals de la paraula HOLA;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], aquest és un exemple de combinació.

Escriu la fórmula per trobar permutacions i combinacions.

• Fórmula per calcular permutacions: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Fórmula per calcular combinacions: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Escriu alguns exemples reals de permutacions i combinacions.

L'ordenació de persones, números, lletres i colors són alguns exemples de permutacions.
La selecció del menú, la roba i els temes són exemples de combinacions.

Quin és el valor de 0!?

El valor de 0! = 1, és molt útil per resoldre els problemes de permutació i combinació.