El moment d'inèrcia és la propietat d'un cos en moviment de rotació. El moment d'inèrcia és la propietat dels cossos de rotació que tendeix a oposar-se al canvi en el moviment de rotació del cos. És semblant a la inèrcia de qualsevol cos en moviment de translació. Matemàticament, el moment d'inèrcia es dóna com la suma del producte de la massa de cada partícula i el quadrat de la distància des de l'eix de rotació. Es mesura en la unitat de kgm 2 .
Coneixem el moment d'inèrcia en detall a l'article següent.
Taula de contingut
- Definició del moment d'inèrcia
- Fórmula del moment d'inèrcia
- Factors que afecten el moment d'inèrcia
- Com calcular el moment d'inèrcia?
- Fórmula del moment d'inèrcia per a diferents formes
- Radi de giració
- Teoremes del moment d'inèrcia
- Moments d'inèrcia per a diferents objectes
Definició del moment d'inèrcia
El moment d'inèrcia és la tendència d'un cos en moviment de rotació que s'oposa al canvi del seu moviment de rotació degut a forces externes. El moment d'inèrcia es comporta com a massa angular i s'anomena inèrcia de rotació. El moment d'inèrcia és anàleg al mecànic Inèrcia del cos.
MOI es defineix com la quantitat expressada per la suma del producte de la massa de cada partícula amb el quadrat de la seva distància a l'eix de rotació per a qualsevol partícula que realitzi el moviment de rotació.
Unitat de moment d'inèrcia
El moment d'inèrcia és una magnitud escalar i la unitat SI del moment d'inèrcia és kgm 2 .
Fórmula dimensional del moment d'inèrcia
Com que el moment d'inèrcia es dóna com el producte de la massa i el quadrat de la distància. El seu fórmula dimensional ve donada pel producte de la fórmula dimensional de la massa i el quadrat de la fórmula dimensional de la longitud. La fórmula dimensional del moment d'inèrcia és: ML 2
Què és la inèrcia?
La inèrcia és la propietat d'una matèria en virtut de la qual tendeix a resistir el canvi en l'estat del seu moviment. Això vol dir que un cos en repòs intenta romandre en repòs i resistir qualsevol força que intenti portar-lo en moviment, i un cos en moviment intenta continuar en moviment i resistir qualsevol força que intenti portar-lo per canviar la magnitud del seu moviment. En termes de quantitat, és igual a la força màxima que intenta canviar el seu estat moviment .
Aprendre mes sobre Inèrcia .
Fórmula del moment d'inèrcia
El moment d'inèrcia és a quantitat escalar . Matemàticament, el producte del quadrat de la massa d'una partícula per la distància de l'eix de rotació s'anomena moment d'inèrcia de la partícula respecte a l'eix de rotació.
La fórmula general per trobar el moment d'inèrcia de qualsevol objecte és:
jo = Sr 2
on,
m és la massa de l'objecte'
r és la distància des de l'eix de rotació
Per a un cos format per partícules contínues infinitesimament petites, s'utilitza la forma integral del moment d'inèrcia per calcular el moment d'inèrcia.
I = ∫dI
jo =
int_{0}^{M} r^2 dm
Moment d'inèrcia d'un sistema de partícules
El moment d'inèrcia d'un sistema de partícules ve donat per la fórmula:
I = ∑m i r i 2
on,
r i és la distància perpendicular de la ithpartícula de l'eix
m i és la massa de ithpartícula
L'equació del moment d'inèrcia anterior indica que el moment d'inèrcia d'un sistema de partícules és igual a la suma del producte de la massa de cadascuna i el quadrat de la distància des de l'eix de rotació de cada partícula.
Per a la figura que es mostra a continuació,
Moment d'inèrcia de la primera partícula = m1×r12
Moment d'inèrcia de la segona partícula = m2×r22
Moment d'inèrcia de la tercera partícula = m3×r32
De la mateixa manera,
Moment d'inèrcia de nthpartícula = mn×rn2
Ara el moment d'inèrcia de tot el cos sobre l'eix de rotació AB serà igual a la suma del moment d'inèrcia de totes les partícules, per tant
I = m1×r12+ m2×r22+ m3×r32+……+mn×rn2
alineació d'imatges en css
I = Σm i ×r i 2
on,
jo representen el moment d'inèrcia del cos respecte de l'eix de rotació
m i és la massa de ithpartícula,
r i és el radi de ithpartícula
S representa la suma.
A partir de l'equació, podem dir que el moment d'inèrcia d'un cos respecte a un eix fix és igual a la suma del producte de la massa de cada partícula d'aquest cos i el quadrat de la seva distància perpendicular a l'eix fix.
Factors que afecten el moment d'inèrcia
El moment d'inèrcia de qualsevol objecte depèn dels valors següents:
- Forma i mida de l'objecte
- Densitat del material de l'objecte
- Eix de rotació
Com calcular el moment d'inèrcia?
S'acostumen a fer diverses maneres calcula el moment d'inèrcia de qualsevol objecte giratori.
- Per a objectes uniformes, el moment d'inèrcia es calcula prenent el producte de la seva massa pel quadrat de la seva distància a l'eix de rotació (r2).
- Per als objectes no uniformes, calculem el moment d'inèrcia sumant el producte de masses puntuals individuals a cada radi diferent per a això, la fórmula utilitzada és
I = ∑m i r i 2
Fórmula del moment d'inèrcia per a diferents formes
Aquesta taula analitza les expressions del moment d'inèrcia per a alguns objectes simètrics juntament amb el seu eix de rotació:
| Objecte | Eix | Expressió del moment d'inèrcia |
|---|---|---|
| Cilindre buit de paret fina | Central | I = Sr2 |
| Anell prim | Diàmetre | I = 1/2 Sr2 |
| Anell anular o cilindre buit | Central | I = 1/2 M(r22+ r12) |
| Cilindre sòlid | Central | I = 1/2 Sr2 |
| Disc uniforme | Diàmetre | I = 1/4 Sr2 |
| Esfera buida | Central | I = 2/3 Sr2 |
| Esfera sòlida | Central | I = 2/5 Sr2 |
| Shell esfèric simètric uniforme | Central | |
| Placa uniforme o paral·lelepípede rectangular | Central | I = 1/12 M(a2+ b2) |
| Vareta fina | Central | I = 1/12 Sr2 |
| Vareta fina | Al final de la vara | I = 1/3 Sr2 |
Radi de giració
El Radi de giració d'un cos es defineix com la distància perpendicular des de l'eix de rotació al punt de massa la massa del qual és igual a la massa de tot el cos i el moment d'inèrcia és igual al moment d'inèrcia real de l'objecte tal com ha estat. suposa que la massa total del cos s'hi concentra. És una distància imaginària. El radi de giració es denota per K.
Si la massa i el radi de gir del cos són M i K respectivament, el moment d'inèrcia d'un cos és
I = MK 2 ……(1)
Així, el radi de giració d'un cos és perpendicular a l'eix de rotació el quadrat del qual multiplicat per la massa d'aquest cos dóna el moment d'inèrcia d'aquest cos respecte a aquest eix.
De nou per l'equació (1), K2= I/M
K = √(I/m)
Així, el radi de la rotació d'un cos al voltant d'un eix és igual a l'arrel quadrada de la proporció del cos sobre aquest eix.
Teoremes del moment d'inèrcia
Hi ha dos tipus de teoremes que són molt importants pel que fa al moment d'inèrcia:
- Teorema de l'eix paral·lel
- Teorema de l'eix perpendicular
Teorema de l'eix perpendicular
Teorema de l'eix perpendicular estableix que la suma del moment d'inèrcia d'un cos al voltant de dos eixos mútuament perpendiculars situats en el pla d'un cos és igual al moment d'inèrcia del cos al voltant del tercer eix que és perpendicular als dos eixos i passa pel seu punt. d'intersecció.
A la figura anterior, BOU i LTD Són dos eixos en el pla del cos que són perpendiculars entre si. El tercer eix és OZ que és perpendicular al pla del cos i passa pel punt d'intersecció de la BOU i LTD eixos. Si jo x , jo i , i jo Amb són els moments d'inèrcia del cos respecte de l'eix BOU , LTD , i OZ eixos respectivament, doncs segons aquest teorema
jo x + jo i = jo Amb
Teorema de l'eix paral·lel
D'acord amb Teorema de l'eix paral·lel , el moment d'inèrcia d'un cos respecte a un eix donat és la suma del moment d'inèrcia sobre un eix que passa pel centre de massa d'aquest cos i el producte del quadrat de la massa del cos per la distància perpendicular entre el dos eixos.
Anem a la figura anterior, hem de trobar el moment d'inèrcia de jo O del cos que passa pel punt O i sobre l'eix perpendicular al pla, mentre que el moment d'inèrcia del cos passa pel centre de masses C i al voltant d'un eix paral·lel a l'eix donat és jo C , doncs segons aquest teorema
jo O = jo C + Ml 2
on
M és la massa de tot el cos
l és la distància perpendicular entre dos eixos.llegir des de csv java
Moments d'inèrcia per a diferents objectes
El moment d'inèrcia de diferents objectes es discuteix a continuació en aquest article
Moment d'inèrcia d'una placa rectangular
Si la massa de la placa és M, longitud l i amplada b, aleshores el moment d'inèrcia passa pel centre de gravetat i al voltant d'un eix perpendicular al pla de la placa.
I = M(l 2 + b 2 / 12)
Moment d'inèrcia d'un disc
Si el disc té una massa M i un radi r, el moment d'inèrcia sobre l'eix geomètric del disc és
I = 1/2 (Sr 2 )
Moment d'inèrcia d'una vareta
Si la massa de la vareta és M i la longitud és l, aleshores el moment d'inèrcia al voltant de l'eix perpendicular a la longitud de la vareta i que passa pel seu centre de gravetat
I = ML 2 /12
Moment d'inèrcia d'un cercle
Si la massa de l'anell és M i el radi de l'anell és r, el moment d'inèrcia al voltant de l'eix que passa perpendicularment al centre de l'anell és
I = Sr 2
Moment d'inèrcia d'una esfera
Si una esfera sòlida té una massa de M i un radi de r, el moment d'inèrcia al voltant del seu diàmetre és
I = 2/5Mr 2
Moment d'inèrcia del cilindre sòlid
El moment d'inèrcia d'un cilindre sòlid de radi 'R' i massa M ve donat per
I = 1/2MR 2
Moment d'inèrcia del cilindre buit
Un cilindre buit té dos radis, a saber, radi intern i radi extern. El moment d'inèrcia d'un cilindre buit amb massa M, radi extern R1, i radi intern R2es dóna com
I = 1/2M (R 1 2 + R 2 2 )
Moment d'inèrcia de l'esfera sòlida
El moment d'inèrcia d'una esfera sòlida de massa 'M' i radi 'R' es dóna com a
I = 2/5MR 2
Moment d'inèrcia de l'esfera buida
El moment d'inèrcia d'una esfera buida de massa M i radi 'R' es dóna com a
I = 2/3MR 2
Moment d'inèrcia de l'anell
El moment d'inèrcia d'un anell es dóna per a dos casos quan l'eix de rotació passa pel centre i quan l'eix de rotació passa pel diàmetre.
El moment d'inèrcia de l'anell sobre l'eix que passa pel centre ve donat per
convertir cadena a int
I = SR 2
El moment d'inèrcia de l'anell sobre l'eix que passa pel diàmetre ve donat per
I = Sr 2 /2
Moment d'inèrcia del quadrat
El moment d'inèrcia del quadrat del costat 'a' es dóna com
I = a 4 /12
El moment d'inèrcia d'una placa quadrada del costat de longitud 'l' i massa M es dóna com
I = 1/6ML 2
Moment d'inèrcia del triangle
El moment d'inèrcia d'un triangle es dóna per a 3 situacions, primer quan l'eix passa pel centre, segon quan l'eix passa per la base i tercer quan l'eix és perpendicular a la base. Vegem-los una per una la fórmula. Per a un triangle de base 'b' i alçada 'h', la fórmula del moment d'inèrcia es dóna de la següent manera
Quan l'eix passa pel centroide
I = bh 3 /36
Quan l'eix passa per la base
I = bh 3 /12
Quan l'eix és perpendicular a la base
I = (hb/36)(b 2 – b 1 b + b 1 2 )
Diferència entre moment d'inèrcia i inèrcia
La diferència entre inèrcia i moment d'inèrcia es mostra a continuació:
| S.No. | Inèrcia | Moment d'inèrcia |
|---|---|---|
| 1. | La seva importància està en el moviment lineal. | La seva importància està en el moviment de rotació. |
| 2. | És aquella propietat d'un objecte que s'oposa al canvi d'estat de l'objecte en moviment lineal. | El moment d'inèrcia és aquella propietat d'un objecte que s'oposa al canvi d'estat de l'objecte en moviment de rotació. |
| 3. | La inèrcia d'un objecte depèn només de la seva massa. | El moment d'inèrcia d'un objecte depèn de la seva massa i de la seva distribució de masses respecte de l'eix de rotació. |
| 4. | La inèrcia d'un objecte és fixa. | El moment d'inèrcia d'un objecte varia respecte als diferents eixos de rotació. |
Energia cinètica del cos en rotació
Suposem un cos de massa ‘m’ que gira amb velocitat v a una distància ‘r’ de l’eix de rotació. La seva velocitat angular ve donada per ω = v/r llavors v = rω. Ara sabem que el Energia cinètica d'un cos ve donada per
KE = 1/2 mv 2
⇒ KE = 1/2m(rω)2
⇒ KE = 1/2mr2oh2
⇒ KE = 1/2Iω 2
Per tant, l'energia cinètica d'un cos en rotació ve donada per la meitat del producte del moment d'inèrcia i el velocitat angular del cos. També s'anomena energia cinètica del cos en rotació Energia cinètica rotacional . La fórmula de l'energia cinètica de rotació es dóna com
KE = 1/2Iω 2
El moment d'inèrcia (I) és independent de la velocitat angular del cos. És una funció de la massa del cos en rotació i la distància del cos a l'eix de rotació. Per tant, observem que el moviment angular és anàleg al moviment lineal, això vol dir que la importància del moment d'inèrcia és que dóna una idea de com es distribueixen les masses a diferents distàncies de l'eix de rotació en un cos en rotació.
Aplicació del moment d'inèrcia
Moment of Inertia té diverses aplicacions, algunes de les quals es discuteixen a continuació:
- A causa del major moment d'inèrcia, la terra gira sobre el seu eix amb la mateixa velocitat angular.
- Una petita roda mòbil es col·loca sota el motor de joc dels nens. Després de fregar aquesta roda amb el terra i deixar el motor, a causa del moment d'inèrcia de la roda, el motor continua funcionant durant un temps.
- Cada motor consta d'una roda gran i pesada unida al seu eix, amb la major part de la seva massa a la seva circumferència. Per tant, el seu moment d'inèrcia és elevat. Aquesta roda s'anomena volant. El parell que impulsa l'eix del motor no para de augmentar. Per tant, la rotació de l'eix pot no ser uniforme, però a causa de la presència d'una roda en moviment amb més inèrcia, l'eix continua girant a una velocitat gairebé uniforme.
- A la roda dels carros de bous, rickshaws, patinets, bicicletes, etc., la major part de la massa es concentra al seu cercle o vora. aquest cèrcol o rutina està unit a l'eix de la roda mitjançant radis rígids. En fer això augmenta el seu moment d'inèrcia. Per tant, quan les cames deixen de moure's durant la bicicleta, la roda continua girant durant un temps.
També, comproveu
- Cinemàtica del moviment de rotació
- Moviment d'un cos rígid
- Moviment rodant
Exemples resolts sobre moments d'inèrcia
Exemple 1: un cos de 500 g de massa gira al voltant d'un eix. la distància del centre de masses del cos a l'eix de rotació és d'1,2 m. Troba el moment d'inèrcia del cos respecte a l'eix de rotació.
Solució:
Donat que M = 500 g = 0,5 kg, r = 1,2 m.
Òbviament, es pot suposar que tota la massa d'un cos està situada al seu centre de massa. A continuació, el moment d'inèrcia del cos respecte a l'eix de rotació.
I = Sr2
I = 0,5 × (1,2)2
I = 0,72 kg m2
Exemple 2: El radi de revolució al voltant d'un eix situat a 12 cm del centre de massa d'un cos de massa 1,2 kg és de 13 cm. Calcula el radi de revolució i moment d'inèrcia sobre un eix que passa pel centre de masses.
Solució:
Tenint en compte que, M = 1,0 kg, K = 13 cm, l = 12 cm, KCM=?, joCM= ?
Del teorema de l'eix paral·lel I = ICM+ Ml2
K2= KCM2+ l2
o KCM2= K2–l2
KCM2 = (13)2– (12)2= 25
KCM= 5
Ara, moment d'inèrcia ICM= MKCM2
joCM= 1.0 × (0.05)2= 2.5 × 10-3kg m2
Exemple 3: un cos de 0,1 kg de massa gira al voltant d'un eix. si la distància del centre de masses del cos a l'eix de rotació és de 0,5 m, trobeu el moment d'inèrcia del cos.
Solució:
Tenint en compte que, M = 0,1 kg i r = 0,5 m
doncs jo = Sr2
I = 0,1 × (0,5)2
I = 0,025 kg m2
Exemple 4: el moment d'inèrcia dels anells al voltant d'un eix que passa pel seu centre perpendicular al pla de l'anell circular és de 200 gm cm 2 . Quin serà el moment d'inèrcia respecte al seu diàmetre?
k veí més proper
Solució:
Moment d'inèrcia d'un anell circular al voltant d'un eix que passa per un altre centre perpendicular al seu pla
SR2= 200 grams cm2
Moment d'inèrcia prop del diàmetre
= 1/2 MR2
= 1/2 × 200 = 100 gm cm2
Preguntes freqüents sobre moments d'inèrcia
Com calcular el moment d'inèrcia?
La fórmula bàsica per trobar el moment d'inèrcia de qualsevol objecte uniforme és:
jo = sr 2
on,
m és la massa de l'objecte'
r és la distància des de l'eix de rotació
Com calcular el moment d'inèrcia d'una biga?
El moment d'inèrcia d'una biga al llarg del centre i l'eix horitzontal a aquest es calcula mitjançant la fórmula,
I = ML 2 / 12
De què depèn el moment d'inèrcia d'un cos?
El moment d'inèrcia de qualsevol objecte depèn dels factors que s'indiquen a continuació:
- Missa del cos,
- Eix de rotació
- Forma i mida de l'objecte
Quina és la unitat de moment d'inèrcia?
La unitat del moment d'inèrcia és Kgm 2
El moment d'inèrcia pot ser negatiu?
No, el moment d'inèrcia mai pot ser negatiu.
Què és el moment d'inèrcia de la massa?
El moment d'inèrcia de la massa és la mesura de la resistència d'un cos al canvi en el seu moment o direcció angular. El moment d'inèrcia de la massa per a una massa puntual ve donat per I = mr2i per a un sistema de partícules, el moment d'inèrcia de la massa es dóna com I = Σimiri2
Què és el moment d'inèrcia de l'àrea?
El moment d'inèrcia de l'àrea és propietat d'un pla de forma 2D que mostra com es dispersen els punts respecte a un eix arbitrari en un pla. El moment d'inèrcia de l'àrea també es coneix com a segon moment d'àrea o moment quadràtic d'àrea. La fórmula del moment d'inèrcia de l'àrea en el pla xy es dóna com Ixy= ∫xy dxdxy = ∫xy dA