Sigui L un conjunt no buit tancat sota dues operacions binàries anomenades reunir i unir, denotades per ∧ i ∨. Aleshores L s'anomena gelosia si es compleixen els següents axiomes on a, b, c són elements de L:
1) Llei commutativa: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
2) Dret associatiu:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
és un personatge especial
3) Llei d'absorció: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a
Dualitat:
El dual de qualsevol enunciat en una gelosia (L,∧ ,∨ ) es defineix com un enunciat que s'obté intercanviant ∧ i ∨.
Per exemple , el dual de a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a és a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
Reticles limitades:
Una gelosia L s'anomena gelosia acotada si té un element més gran 1 i un element mínim 0.
Exemple:
- El conjunt de potències P(S) del conjunt S sota les operacions d'intersecció i unió és una xarxa acotada ja que ∅ és l'element menor de P(S) i el conjunt S és l'element més gran de P(S).
- El conjunt de +ve enter I+sota l'ordre habitual de ≦ no és una xarxa acotada ja que té un element mínim 1 però l'element més gran no existeix.
Propietats de les geloses limitades:
Si L és una xarxa acotada, llavors per a qualsevol element a ∈ L, tenim les identitats següents:
- a ∨ 1 = 1
- a ∧1= a
- a ∨0=a
- a ∧0=0
Teorema: Demostreu que tota xarxa finita L = {a1,a2,a3.....an} està acotat.
Prova: Hem donat la xarxa finita:
L = {a1,a2,a3.....an}
Per tant, l'element més gran de les reticules L és a1∨ a2∨ a3∨....∨an.
A més, el menor element de la xarxa L és a1∧ a2∧a3∧....∧an.
Com que existeixen els elements més grans i mínims per a cada xarxa finita. Per tant, L està acotada.
Subgelotes:
Considereu un subconjunt L no buit1d'una gelosia L. Aleshores L1s'anomena sub-retes de L si L1en si mateix és una gelosia, és a dir, l'operació de L és a dir, a ∨ b ∈ L1i a ∧ b ∈ L1sempre que a ∈ L1i b ∈ L1.
què és un nom d'usuari
Exemple: Considereu la xarxa de tots +ve nombres enters I+sota l'operació de la divisibilitat. La gelosia Dnde tots els divisors de n > 1 és una sub-retes de I+.
Determineu totes les subreticules de D30que continguin almenys quatre elements, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Solució: Les subreticules de D30que continguin almenys quatre elements són els següents:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
Reticules isomòrfiques:
Dues gelosies L1i L2s'anomenen reticules isomòrfiques si hi ha una bijecció de L1a L2és a dir, f: L1⟶ L2, tal que f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) i f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
Exemple: Determineu si les xarxes que es mostren a la figura són isomòrfiques.
Solució: Les gelosies que es mostren a la figura són isomòrfiques. Considereu el mapeig f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Per exemple f (b ∧ c) = f (a) = 1. També, tenen f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1
Gelosia distributiva:
Una xarxa L s'anomena gelosia distributiva si per a qualsevol element a, b i c de L, compleix les següents propietats distributives:
herència en c++
- a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Si la xarxa L no compleix les propietats anteriors, s'anomena xarxa no distributiva.
Exemple:
- El conjunt de potències P (S) del conjunt S sota l'operació d'intersecció i unió és una funció distributiva. Des que,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
i, també a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) per a qualsevol conjunt a, b i c de P(S). - La gelosia que es mostra a la figura II és distributiva. Atès que, satisfà les propietats distributives de tots els triples ordenats que es prenen d'1, 2, 3 i 4.
Complements i gelosies complementades:
Sigui L una xarxa acotada amb la cota inferior o i la cota superior I. Sigui a un element si L. Un element x de L s'anomena complement de a si a ∨ x = I i a ∧ x = 0
paraula clau volàtil java
Es diu que una xarxa L es complementa si L està acotada i cada element de L té un complement.
Exemple: Determineu el complement de a i c a la figura:
Solució: El complement de a és d. Com que a ∨ d = 1 i a ∧ d = 0
El complement de c no existeix. Com que, no existeix cap element c tal que c ∨ c'=1 i c ∧ c'= 0.
Gelosia modular:
Una gelosia (L, ∧,∨) s'anomena gelosia modular si a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c sempre que a ≦ c.
Producte directe de gelosies:
Deixar (L1∨1∧1) i (L2∨2∧2) ser dues gelosies. Aleshores (L, ∧,∨) és el producte directe de les gelosies, on L = L1x L2en què l'operació binària ∨(unir) i ∧(reunir) a L són tals que per a qualsevol (a1,b1) i (a2,b2) en L.
(a1,b1)∨( a2,b2)=(a1∨1a2,b1∨2b2)
i (a1,b1) ∧ ( a2,b2)=(a1∧1a2,b1∧2b2).
Exemple: Considereu una gelosia (L, ≦) tal com es mostra a la fig. on L = {1, 2}. Determineu les reticules (L2, ≦), on L2= L x L.
Solució: La gelosia (L2, ≦) es mostra a la figura:
