Integral de sin x és -cos(x) més una constant (C). Representa l'àrea sota la corba sinusoïdal. La funció es repeteix cada 2π radians a causa de la seva naturalesa periòdica. Aquest article explica la integral de la funció sinus, mostrant la seva fórmula, demostració i aplicació per trobar integrals definides específiques. A més, esmenta problemes resolts i preguntes freqüents.

Taula de contingut

• Què és la integral de Sin x?
• Integral de Sin x Fórmula
• Significat gràfic de la integral de Sin x
• Integral de Sin x Demostració per mètode de substitució
• Integral definida de Sin x
• Integral de Sin x De 0 a π
• Integral de Sin x De 0 a π/2

Què és la integral de Sin x?

La integral de sin(x) relativa a x és -cos(x) més una constant (C). Això vol dir que quan es diferencien -cos(x) respecte a x, s'obté sin(x). La constant d'integració (C) representa qualsevol valor constant addicional que pugui estar present a la funció original.

La integral de sin x significa físicament l'àrea coberta sota la corba sinusoïdal.

aprendre,

• Càlcul en matemàtiques
• Integració en matemàtiques

Integral de Sin x Fórmula

La integral de la funció sinus, ∫ sin(x) dx, és igual a -cos(x) + C, on C és la constant d'integració.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Aquí, cos(x) és la funció cosinus, i C representa la constant que s'afegeix a l'antiderivada, ja que la derivada d'una constant és zero.

Significat gràfic de la integral de Sin x

La integral de sin(x) de ( a ) a ( b ) té significat gràfic pel que fa al càlcul de l'àrea sota la corba dins d'aquest interval. Explorem la importància gràfica utilitzant tant el mètode integral definitiu com el mètode geomètric.

Mètode integral definitiu

La integral de sin(x) de ( a ) a ( b ) ve donada per:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Això representa l'àrea amb signe entre la corba sin(x) i l'eix x de ( a ) a ( b ).

Mètode geomètric

Considereu la gràfica de sin(x) de ( a ) a ( b ). L'àrea sota la corba es pot dividir en dues regions:

• Àrea positiva: Regions on sin(x) és positiu (per sobre de l'eix x). Això contribueix a l'àrea positiva sota la corba.
• Àrea negativa: Regions on sin(x) és negatiu (per sota de l'eix x). Això contribueix a l'àrea negativa sota la corba.

L'àrea total és la suma algebraica d'aquestes àrees positives i negatives.

Exemple:

Per trobar l'àrea sota la corba de sin(x) de ( a = 0 ) a ( b = π/2 ).

Utilitzant el mètode de la integral definida:

∫₀^p/2sense x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Aquesta és l'àrea signada sota la corba.

Utilitzant el mètode geomètric:

La gràfica de sin(x) de 0 a (π/2) és un quart de cercle i l'àrea és efectivament 1.

Integració de Sin x Demostració per mètode de substitució

Per trobar la integral de sin(x) utilitzant el mètode de substitució, considerem la integral:

Una substitució habitual de les integrals trigonomètriques consisteix a deixar u igual a l'expressió dins de la funció trigonomètrica. En aquest cas, siguem u = cos(x). Aleshores, calculeu du en termes de dx:

du/dx = -sense(x)

Ara, resol per dx:

dx = -1/sense(x) du

Ara, substituïu u i dx en termes de u a la integral original:

Integral de sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Simplifica l'expressió:

comparació de cadenes en java

Integral de sin(x) dx = -∫ du

Ara integra respecte a tu:

Integral de sin(x) dx = -u + C

Ara, substituïu u, que es va definir com a cos(x):

Integral de sin(x) dx = -cos(x) + C

Per tant, utilitzant el mètode de substitució, hem arribat al mateix resultat que en la demostració per derivades. La integral de sin(x) és -cos(x) + C, on C és la constant d'integració.

Integral definida de Sin x

La integral definida de sin(x) de a a b, denotada com

∫ ^b _a sense(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Calcula l'àrea neta sota la corba sinusoïdal entre x = a i x = b, tenint en compte la direcció de l'àrea per sobre i per sota de l'eix x.

aprendre, Definit Integral

Integral de Sin x De 0 a Pi

Per trobar la integral de sin(x) de 0 a π, podem utilitzar l'antiderivada. L'antiderivada de sin(x) és -cos(x). Avaluant aquesta antiderivada de 0 a π, obtenim:

∫₀^Pisense(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisense(x) dx = [-(-1) + 1]

Com que cos(π) és -1 i cos(0) és 1, l'expressió es simplifica a:

∫₀^Pisense(x) dx = 1 + 1 = 2

Per tant, la integral de sin(x) de 0 a π és igual a 2. Això representa l'àrea amb signe entre la corba sin(x) i l'eix x de x = 0 a x = π.

Integral de Sin x De 0 a Pi /2

La integral definida representa l'àrea amb signe entre la corba i l'eix x durant l'interval donat.

La integral es dóna com:

∫₀^p/2sense(x) dx

Utilitzant l'antiderivada -cos(x) per avaluar la integral:

cos(x) |[0 a π/2]

Ara, substituïu π/2 en -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Recordeu que cos(π/2) = 0 i cos(0) = 1. Substituïu aquests valors:

-(0) – (-1)

Simplifica:

0 + 1 = 1

La integral definida de sin(x) de 0 a π/2 és igual a 1. Això vol dir que l'àrea amb signe entre la corba sinusoïdal i l'eix x de x = 0 a x = π/2 és 1.

També, comproveu

• Integració de Cos x
• Integració de Tan x
• Fórmules d'integració

Integral de Sin x – Exemples resolts

Exemple 1: Trobeu la integral de sin2(x)

Solució:

paraula clau final en java

For sense²(x), podeu utilitzar la fórmula que implica cos(2x).

∫sin²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Dividiu-lo en dues parts:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

La integral de dx és només x. La integral de cos(2x) implica utilitzar la fórmula sin(2x). Es veu així:

= (1/2)x – (1/4)sense(2x) + C

Combineu els dos resultats i afegiu una constant C per tenir en compte qualsevol constant potencial de la integral original.

(1/2)x – (1/4)sense(2x) + C

Exemple 2: Trobeu la integral del sinus ³ x.

Solució:

La integral del sinus al cub respecte a x es pot escriure com:

∫sin³x dx

Utilitzeu una identitat trigonomètrica per simplificar:

sense³x = [1 – cos²(x)] sense(x)

∫[1 – cos²(x)] sense(x) dx

Distribueix i separa els termes:

∫[sense x – sense x. cos²(x)]dx

Integra cada terme per separat:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Aquí, ( C ) representa la constant d'integració.

Exemple 3: Trobeu la integral de sin x ^-1

Solució:

La integral de sin(x)^-1es pot expressar mitjançant la funció arcsinus. La integral ve donada per:

∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + C

Aquí, (C) és la constant d'integració.

Exemple 4: Trobeu la integral de sin x ²

Solució:

La integral de sin²(x) respecte a x es pot resoldre mitjançant una identitat trigonomètrica.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Ara, integreu cada terme per separat:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

on ( C ) és la constant d'integració.

Exemple 5: Trobeu la integral de sin x ^-3

Solució:

Integral de sin(x)^-3respecte a (x) implica una substitució trigonomètrica. A continuació s'explica com podeu resoldre'l:

producte de punts numpy

Sigui u = sin(x), aleshores du = cos(x)dx

Ara, substituïu aquests a la integral:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³de

Ara, integreu respecte a (u):

∫u⁻³tu = tu⁻²/−2 + C

Substituïu de nou en termes de (x) utilitzant u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Per tant, la integral de sin(x)^-3respecte a (x) és -1/2sin²x , on (C) és la constant d'integració.

Exemple 6: Trobeu la integral de sin invers x

Solució:

Per trobar la integral del pecat^-1(x) respecte a (x), podeu utilitzar la integració per parts. La fórmula per a la integració per parts és:

∫udv=uv−∫vdu

u = sense^-1(x) i dv = dx

Ara, trobeu (du) i (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Aplica la fórmula d'integració per parts:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Ara, integreu el terme restant al costat dret. Podeu utilitzar la substitució deixant (t = 1 – x²), aleshores (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Ara, substituïu de nou en termes de (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Ajuntant-ho tot:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

on (C) és la constant d'integració.

Exemple 7: Trobeu la integral de x sin 2x dx

Solució:

Per trobar la integral de xsin(2x) respecte a (x), podeu utilitzar la integració per parts. La fórmula per a la integració per parts ve donada per:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x i dv = sin(2x)dx

Ara, trobeu (du) i (v):

du = dx i v = -1/2cos(2x)

lectura de fitxers csv en java

Aplica la fórmula d'integració per parts:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Ara, integreu el terme restant al costat dret. La integral de -1/2cos(2x) es pot trobar deixant (u = 2x) i utilitzant una substitució simple:

∫−1/2cos(2x)dx = −1/4sin(2x)

Substituïu aquest resultat a l'equació original:

tipus de dades java

-1/2x cos(2x) + 1/4 sense(2x) + C

Per tant, la integral de xsin(2x) respecte a (x) és -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, on (C) és la constant d'integració.

Exemple 8: Trobeu la integral de sin x cos 2x

Solució:

Per trobar la integral de sin(x) cos(2x) respecte a (x), podeu utilitzar la integració per parts. La fórmula d'integració per parts és:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) i dv = cos(2x)dx

Ara, trobeu (du) i (v):

du = cos(x) dx i v = 1/2 sin(2x)

Aplica la fórmula d'integració per parts:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Ara, integreu el terme restant al costat dret. Podeu tornar a utilitzar la integració per parts:

∫1/2sin(2x)cos(x)dx = 1/4cos(2x)cos(x) − ∫1/4cos(2x)sense(x)dx

Continueu el procés fins que la integral sigui manejable. Després de simplificar, obtindreu el resultat final:

1/2 sense(x)sense(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sense(X) cos(2x) + C

on (C) és la constant d'integració.

Integral de Sin x – Preguntes pràctiques

Q1. Trobeu la integral del sinus de 0 a pi.

P2. Calcula la integral del sinus de -π/2 a π/2.

P3. Trobeu el valor de la integral del sinus més el cosinus respecte a x.

P4. Avalueu la integral de sinus(2x) de 0 a π/3.

P5. Trobeu l'antiderivada del sinus(3x) respecte a x.

P6. Calculeu la integral del sinus (2x) de π a 2π.

P7. Integra la funció sinus al quadrat respecte a x.

P8. Avalueu la integral del sinus al quadrat de -π/4 a π/4.

Integral de Sin x - Preguntes freqüents

Què és la integral de Sin x?

La integral de sin x és -cos x

Què és Sin x?

Sin(x), és una funció de trigonometria que representa la relació entre la longitud del costat oposat a un angle i la longitud de la hipotenusa en un triangle rectangle.

Què és el rang de Sin x?

El rang de Sin x és [-1, 1].

Què és la integral i la derivada de Sin x?

La integral de sin x és -cos x i la derivada de si x és cos x

Què és la integral de Sin x i Cos x?

La integral de sin x és -cos x + C i la inegral de cos x és sin x

Què és la integral de Sin 2x?

La integració de sin 2x és (-cos2x)/2 + c