L'arrel quadrada de qualsevol valor numèric és un valor que en la multiplicació automàtica dóna com a resultat el nombre original. '√' és el símbol radical utilitzat per representar l'arrel de qualsevol nombre. Per arrel quadrada, entenem una potència 1/2 d'aquest nombre. Per exemple, suposem que x és l'arrel quadrada de qualsevol nombre enter y, això implica que x=√y. En multiplicar l'eq, també obtenim x2= i.
L'arrel quadrada del quadrat d'un nombre positiu dóna el nombre original.
Per entendre el concepte, sabem que el quadrat de 4 és 16, i l'arrel quadrada de 16, √16 = 4. Ara, com podem veure, 16 és una figura quadrada perfecta. Això fa que sigui fàcil calcular l'arrel quadrada d'aquests nombres. Tanmateix, per calcular l'arrel quadrada d'un quadrat imperfecte com 3, 5, 7, etc., calcular l'arrel és un procés difícil.
Una funció d'arrel quadrada és una funció d'un a un que utilitza com a entrada un nombre positiu i retorna l'arrel quadrada del nombre d'entrada donat.
f(x) = √x
Propietats de les arrels quadrades
Algunes de les propietats importants de l'arrel quadrada són les següents:
- Per a un nombre quadrat perfecte, existeix una arrel quadrada perfecta.
- Per a un nombre que acaba amb un nombre parell de zeros, existeix una arrel quadrada.
- L'arrel quadrada de qualsevol nombre negatiu no està definida.
- Per a un nombre que acaba amb els dígits 2, 3, 7 o 8, aleshores l'arrel quadrada perfecta no existeix.
- Per a un nombre que acabi amb els dígits 1, 4, 5, 6 o 9, llavors el nombre tindrà una arrel quadrada.
Com calcular una arrel quadrada?
Els nombres quadrats perfectes són nombres enters de naturalesa positiva i es poden expressar fàcilment en forma de multiplicació d'un nombre per si mateix. Els nombres quadrats perfectes es representen com el valor de la potència 2 de qualsevol nombre enter. El càlcul de l'arrel quadrada de nombres quadrats perfectes és relativament més fàcil. Hi ha principalment quatre mètodes utilitzats per trobar l'arrel quadrada dels nombres:
- Mètode de resta repetida de l'arrel quadrada
- Arrel quadrada pel mètode de factorització primeres
- Arrel quadrada per mètode d'estimació
- Arrel quadrada pel mètode de divisió llarga
Els tres mètodes anteriors es poden utilitzar en el càlcul de l'arrel quadrada dels nombres quadrats perfectes. L'últim mètode, però, es pot utilitzar per a tots dos tipus de nombres.
Mètode de subtracció repetida d'arrels quadrades
El mètode es basa en la següent seqüència de passos:
Pas 1: Resteu nombres senars consecutius del nombre per al qual estem trobant l'arrel quadrada.
Pas 2: Repetiu el pas 1 fins que s'aconsegueixi un valor de 0.
Pas 3: El nombre de vegades que es repeteix el pas 1 és l'arrel quadrada necessària del nombre donat.
Nota: Aquest mètode només es pot utilitzar per a quadrats perfectes.
Per exemple, per al número 16, el mètode funciona de la següent manera:
16 – 1 = 15
15 – 3 =12
12 – 5 = 7
7- 7 = 0
El procés es repeteix 4 vegades. Així, √16 = 4.
Arrel quadrada pel mètode de factorització primeres
La factorització primeres de qualsevol nombre és la representació d'aquest nombre en forma de producte de nombres primers. El mètode es basa en la següent seqüència de passos:
Pas 1: Dividiu el nombre especificat en els seus factors primers.
Pas 2: Es forma un parell de factors similars de manera que els dos factors de cadascun dels parells formats siguin iguals.
generador de nombres aleatoris en c
Pas 3: Preneu un factor de cadascuna de les parelles.
Pas 4: El producte dels factors s'obté prenent un factor de cada parell.
negreta en css
Pas 5: Aquest producte obtingut és l'arrel quadrada del nombre donat.
Nota: Aquest mètode només es pot utilitzar per a quadrats perfectes.
Per exemple, per al número 64, el mètode funciona de la següent manera:
64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}
64 = 22× 22× 22
64 = (2 × 2 × 2)2
64 = (8)2
√64 = 8
Arrel quadrada per mètode d'estimació
El mètode d'estimació s'utilitza per aproximar l'arrel quadrada d'un nombre donat. Aproxima l'arrel quadrada d'un nombre a una estimació raonable del valor real. Els càlculs són més fàcils amb aquest mètode. Tanmateix, és un procés molt llarg i que requereix molt de temps.
Pas 1: Troba el quadrat perfecte més proper que es produeix abans i després del nombre donat.
Pas 2: Troba els nombres enters més propers i arrodoneix-los cada cop per arribar a la resposta més propera.
Per exemple, per al número 15, el mètode funciona de la següent manera:
9 i 16 són els nombres quadrats perfectes abans i després més propers a 15. Ara, ho sabem,
√16 = 4 i √9 = 3. Això implica que l'arrel quadrada del nombre 15 es produeix entre 3 i 4. Ara, el procés implica l'avaluació de si l'arrel quadrada del nombre 15 està més propera a 3 o 4.
El primer cas pren 3,5 i 4. Quadrat de 3,5 = 12,25 i l'arrel quadrada de 4 = 16. Per tant, l'arrel quadrada de l'enter 15 es troba entre 3,5 i 4 i és més propera a 4.
A més, trobem els quadrats de 3,8 i 3,9, que són equivalents a 3,82= 14,44 i 3,92= 15,21 respectivament. Això implica que √15 es troba entre 3,8 i 3,9. En una avaluació posterior, obtenim que √15 = 3,872.
Arrel quadrada pel mètode de divisió llarga
El mètode de divisió llarga per al càlcul de l'arrel quadrada dels nombres implica la divisió de grans nombres en passos o parts, trencant així el problema en una seqüència de passos més fàcils.
Per exemple, per al número 180, el mètode funciona de la següent manera:
Pas 1: Es col·loca una barra sobre cada parell de dígits del número que comença amb el lloc de la unitat.
Pas 2: Aleshores, el nombre més a l'esquerra es divideix pel nombre més gran de manera que el quadrat sigui menor o igual que el nombre de la parella més a l'esquerra.
Pas 3: Ara, el número sota la barra següent a la dreta de la resta es redueix. L'últim dígit del quocient obtingut s'afegeix al divisor. Ara, el següent pas és trobar un nombre a la dreta de la suma obtinguda, de manera que juntament amb el resultat de la suma, formi un nou divisor per al nou dividend.
Pas 4: El nombre obtingut en el quocient és equivalent al nombre seleccionat al divisor.
Pas 5: El mateix procés es repeteix utilitzant un punt decimal i afegint zeros per parelles a la resta.
Pas 6: El quocient forma l'arrel quadrada del nombre.
Preguntes de mostra
Pregunta 1. Calculeu l'arrel quadrada de 144 mitjançant el mètode de factorització primeres?
Solució:
egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array} mètodes matemàtics en java144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}
144 = 22× 22× 32
144 = (2 × 2 × 3)2
144 = (12)2
√144 = 12
Pregunta 2. Quina és la manera de simplificar l'arrel quadrada?
Solució:
Es pot calcular la factorització primeres d'un nombre donat. En cas que el factor no es pugui agrupar, s'utilitza un símbol d'arrel quadrada per agrupar-los. Per simplificar s'utilitza la següent regla:
√xy = √(x × y), on x i y són nombres enters positius.
Per exemple, √12 =
sqrt{2 × 2 × 3} = 2√3En el cas de fraccions, s'utilitza la següent regla:
frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}} Per exemple:
frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10} = √5
Pregunta 3. Resol: √(x + 2) = 4
Solució:
Sabem,
√(x + 2) = 4
En quadrar ambdós costats, obtenim;
x + 2 = √4
x + 2 = ±4
x = ±4 – 2
Per tant, tenim,
x = 2 o x = -6
Pregunta 4. L'arrel quadrada d'un nombre negatiu pot ser un nombre enter? Explica.
Solució:
Sabem que els nombres negatius no poden tenir arrel quadrada. El motiu d'això és que si es multipliquen dos nombres negatius junts, el resultat obtingut sempre serà un nombre positiu. Per tant, l'arrel quadrada d'un nombre negatiu estarà en forma de nombre complex.
Pregunta 5. Calcula l'arrel quadrada de 25 pel mètode de la resta repetida?
Solució:
Seguint els passos indicats anteriorment, tenim,
25 – 1 = 24
24 – 3 = 21
21 – 5 = 16
16 – 7 = 9
9 – 9 = 0
Com que el procés es repeteix 5 vegades, tenim, √25 = 5.
Pregunta 6. Calcula l'arrel quadrada de 484 per la mètode de divisió llarga?
Solució:
Pel mètode de la divisió llarga, tenim,
Ara,
La resta és 0, per tant, 484 és un nombre quadrat perfecte, de manera que,
conversió de cadena java a int√484 = 22
