En aquest article, estudiarem l'anàlisi de la transformada de Fourier o la transformada de Fourier en l'anàlisi de circuits. La transformada de Fourier és bàsicament una operació matemàtica que descompon un senyal en els seus components de freqüència constitutius. En paraules senzilles, converteix un senyal del domini del temps al domini de la freqüència. El domini del temps representarà el senyal en funció del temps, mentre que el domini de la freqüència representarà el senyal en funció de la freqüència.
Transformada de Fourier
La transformada de Fourier és una potent eina sorprenent per analitzar el comportament de diferents tipus de circuits, ja que ens permet veure com respon el circuit a diferents freqüències. Això és útil per a diferents tipus de tasques, com ara:
- Analitzar la resposta d'un circuit a senyals d'entrada arbitraris: Això es pot utilitzar fàcilment per dissenyar circuits que puguin gestionar una gran varietat de senyals d'entrada, com ara senyals d'àudio o senyals de vídeo.
- Identificació de les freqüències de ressonància d'un circuit: Les freqüències de ressonància són les freqüències a les quals un circuit amplificarà els senyals. Aquesta informació es pot utilitzar per dissenyar els circuits que haurien de funcionar a freqüències específiques, com ara filtres o oscil·ladors.
- Disseny de filtres per eliminar components de freqüència no desitjats d'un senyal: Els filtres es poden utilitzar principalment per eliminar el soroll o la interferència d'un senyal, o per extreure components de freqüència específics d'un senyal particular.
- Comprendre l'estabilitat d'un circuit: Un circuit estable és aquell que simplement no oscil·larà ni divergirà. La transformada de Fourier es pot utilitzar per analitzar l'estabilitat d'un circuit només mirant la resposta de freqüència del circuit.
La transformada de Fourier també s'utilitza en molts altres camps, com ara el processament de senyals, el processament d'imatges i la mecànica quàntica.
En aquest article, parlarem dels següents temes relacionats amb la transformada de Fourier en l'anàlisi de circuits:
- Tipus de transformades de Fourier
- Propietats de la transformada de Fourier
- Aplicacions de la transformada de Fourier en l'anàlisi de circuits
També parlarem dels exemples i il·lustracions per ajudar a entendre els conceptes d'una manera adequada.
Comprendre la raó de l'evolució
La transformada de Fourier va ser desenvolupada per primera vegada pel conegut matemàtic francès Jean-Baptiste Joseph Fourier a principis del segle XIX. Estava molt interessat a resoldre l'equació de conducció de calor, que és una equació diferencial parcial. Fourier es va adonar que podia resoldre l'equació simplement descomposant la distribució inicial de la temperatura en les ones sinus i cosinus constituents.
Des de llavors, la transformada de Fourier s'ha aplicat a una àmplia gamma de problemes de la física i l'enginyeria, que inclouen l'anàlisi de circuits. En l'anàlisi del circuit, la transformada de Fourier es pot utilitzar per analitzar la resposta d'un circuit a senyals d'entrada arbitraris.
Efectes de la transformada de Fourier
La transformada de Fourier té un gran nombre d'efectes importants en l'anàlisi de circuits. En aquest primer, ens permet analitzar la resposta d'un circuit a senyals d'entrada arbitraris. En segon lloc, ens permet identificar les freqüències de ressonància d'un circuit. Després d'això, en tercer, ens permet dissenyar filtres utilitzats per eliminar components de freqüència no desitjats d'un senyal.
Fórmula de la transformada de Fourier
La transformada de Fourier d'un senyal x(t) es denota amb la X(f) i es defineix de la següent manera:
X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt> Aquí f és la freqüència en el paràmetre de Hertz.
La notació utilitzada en la fórmula de la transformada de Fourier és:
- x(t) és un senyal del domini temporal.
- X(f) és el senyal del domini freqüencial.
- j és una unitat imaginària.
- e −j2πft és una funció exponencial complexa.
Tipus de transformada de Fourier
Hi ha principalment dos tipus de transformades de Fourier:
- Transformada de Fourier contínua (CFT)
- Transformada de Fourier discreta (DFT) .
Transformada de Fourier contínua (CFT)
El CFT es defineix per a senyals de temps continu, que són bàsicament senyals que poden prendre qualsevol valor en qualsevol moment.
La transformada de Fourier contínua (CFT) d'un senyal x(t) es pot definir de la següent manera:
X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt> on f és la freqüència en Hertz.
La notació que s'utilitza a la fórmula CFT és:
- x(t) és el senyal del domini temporal.
- X(f) és el senyal del domini freqüencial.
- j és la unitat imaginària.
- e −j2πft és la funció exponencial complexa.
Derivació del CFT
La CFT es pot derivar fàcilment de la sèrie de Fourier d'un senyal periòdic. La sèrie de Fourier d'un senyal periòdic x(t) amb període T ve donada per:
x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}> Aquí Cn són els coeficients de Fourier del senyal.
La CFT es pot obtenir simplement prenent el límit de la sèrie de Fourier a mesura que el període T s'acosta a l'infinit. En aquest límit, els coeficients de Fourier es converteixen en una funció contínua de la freqüència, i la sèrie de Fourier es converteix en la CFT.
Transformada de Fourier discreta (DFT)
La DFT es defineix per a senyals de temps discret, que són senyals que només poden prendre certs valors en determinats moments.
La transformada de Fourier discreta (DFT) d'un senyal de temps discret x[n] es pot definir de la següent manera:
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}> Aquí k és l'índex de freqüència i N és la longitud del senyal de senyal particular.
La notació que s'utilitza a la fórmula DFT és:
és greix proteic
- x[n] és el senyal de temps discret.
- X[k] és el senyal del domini freqüencial.
- j és la unitat imaginària.
- e −j2πkn/N
- és la funció exponencial complexa.
Derivació de la DFT
En termes simples, CFT es defineix bàsicament per senyals de temps continu , mentre que el DFT es defineix per senyals de temps discret . La DFT s'utilitza principalment com el tipus de transformada de Fourier en l'anàlisi de circuits, com la majoria de circuits electrònics que operen amb senyals de temps discret.
La DFT d'un senyal de temps discret x[n] es denota amb X[k] i es defineix de la següent manera:
X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}> Aquí k és l'índex de freqüència i N és la longitud del senyal.
La DFT es pot derivar de la CFT simplement mostrant la CFT a freqüències discretes:
X[k] = X(f = k/N)>
Exemples de transformada de Fourier amb diagrama
Considerem el següent exemple de circuit:
Circuit RC simple
Aquí l'entrada al circuit és una ona quadrada i la sortida és una ona quadrada filtrada. On la transformada de Fourier de l'ona quadrada d'entrada és una sèrie d'impulsos a les freqüències harmòniques. La transformada de Fourier de l'ona quadrada de sortida és una sèrie d'impulsos atenuats a les freqüències harmòniques.
Aquí teniu el diagrama següent que mostra les transformades de Fourier dels senyals d'entrada i sortida:
Transformada de Fourier Entrada Sortida
Propietats
La transformada de Fourier té una sèrie de propietats importants, que inclouen:
- La transformada de Fourier d'un senyal real és simètrica conjugada.
- La transformada de Fourier d'una combinació lineal de senyals és una combinació lineal de les transformades de Fourier dels senyals individuals.
- La transformada de Fourier d'un senyal desplaçat en el temps és un senyal desplaçat en freqüència.
- La transformada de Fourier d'un senyal amb desplaçament de freqüència és un senyal desplaçat en el temps.
Característiques
La transformada de Fourier d'un senyal té les següents característiques:
- La magnitud de la transformada de Fourier d'un senyal representarà l'amplitud de les components de freqüència del senyal.
- La fase de la transformada de Fourier d'un senyal representarà la fase de les components de freqüència del senyal.
Aplicacions
La transformada de Fourier té un gran nombre d'aplicacions en l'anàlisi de circuits, que inclouen:
- Analitzar la resposta donada d'un circuit a senyals d'entrada arbitraris.
- Identificació de les freqüències de ressonància d'un circuit.
- Disseny de filtres per eliminar els components de freqüència no desitjats d'un senyal.
Avantatges i inconvenients
Alguns dels avantatges i desavantatges de la transformada de Fourier són:
gimp canvia de color
Avantatges:
- La transformada de Fourier és l'eina més potent per analitzar la resposta en freqüència d'un circuit.
- Es pot utilitzar per dissenyar filtres per eliminar components de freqüència no desitjats d'un senyal.
Desavantatges:
- La transformada de Fourier també pot ser molt més complexa d'entendre i utilitzar.
- La transformada de Fourier pot ser computacionalment més costosa de calcular.
Diferència entre la transformada de Laplace i la transformada de Fourier
Bàsicament, la transformada de Fourier és similar a la transformada de Laplace, però hi ha algunes diferències clau. En el fet que la transformada de Fourier es defineix per a senyals de temps continu, és a dir, mentre que la transformada de Laplace es defineix tant per a senyals de temps continu com de temps discret. A més, la transformada de Fourier no és adequada per analitzar senyals transitoris, mentre que la transformada de Laplace és útil.
| Propietat | Transformada de Laplace | Transformada de Fourier |
|---|---|---|
| Domini | Temps i freqüència | Només freqüència |
| Definició | X(s)=∫ −∞ ∞ x(t)e −st dt | X(f)=∫ −∞ ∞ x(t)e −j2πft dt |
| Aplicacions | Anàlisi de circuits, processament del senyal, teoria del control | Anàlisi de circuits, processament de senyals, processament d'imatges, mecànica quàntica |
Transformada de Fourier directa i inversa
La transformada de Fourier directa pot convertir un senyal del domini del temps al domini de la freqüència. La transformada de Fourier inversa hauria de convertir un senyal del domini de la freqüència al domini del temps.
La transformada de Fourier inversa es defineix de la següent manera:
x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df> Transformada sinusoïdal directa i transformada del cosinus de Fourier
La transformada sinusoïdal directa i la transformada cosinus directe són bàsicament dues variants de la transformada de Fourier. La transformada sinusoïdal directa es defineix de la següent manera:
S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt> La transformada del cosinus directe es defineix de la següent manera:
C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt> La transformada de sinus directe i la transformada de cosinus directe són molt útils per analitzar senyals amb la simetria parell i senar, respectivament.
Conclusió
En general, la transformada de Fourier és una eina essencial per a l'anàlisi del circuit. Ens dóna el permís per entendre com els circuits responen a diferents freqüències, cosa més essencial per dissenyar i analitzar circuits electrònics. La transformada de Fourier té un tipus d'aplicacions diferents en l'anàlisi de circuits, inclosa l'anàlisi de la resposta d'un circuit a senyals d'entrada arbitraris, la identificació de les freqüències de ressonància d'un circuit determinat, el disseny de filtres per eliminar components de freqüència no desitjats del senyal i la comprensió de l'estabilitat de un circuit.
La transformada de Fourier també s'utilitza en molts altres camps, que inclouen el processament del senyal, el processament d'imatges i la mecànica quàntica. És una eina molt versàtil i potent amb una àmplia gamma d'aplicacions.
Aquí hi ha algunes reflexions addicionals sobre la importància de la transformada de Fourier en l'anàlisi de circuits:
puntuació de precisió de sklearn
- La transformada de Fourier simplement ens permet analitzar circuits lineals i no lineals.
- La transformada de Fourier es pot utilitzar per analitzar diferents tipus de circuits en el domini del temps o en el domini de la freqüència.
- La transformada de Fourier es pot utilitzar per analitzar circuits amb múltiples entrades i sortides.
- La transformada de Fourier es pot utilitzar per analitzar circuits amb els bucles de retroalimentació.
La transformada de Fourier és una eina poderosa que es pot utilitzar per analitzar una àmplia gamma de problemes de circuits. És una eina essencial per a qualsevol enginyer de circuits.
Preguntes freqüents
1. Quina diferència hi ha entre la transformada de Fourier i la transformada de Laplace?
L'ús de Laplace tant per a CFT com per a DFT però no per a la transformada de Fourier
2. Per què és important la transformada de Fourier en l'anàlisi de circuits?
La transformada de Fourier és més important en l'anàlisi de circuits només perquè ens permet analitzar la resposta en freqüència dels circuits. La resposta en freqüència
3. Quines són algunes aplicacions de la transformada de Fourier en l'anàlisi de circuits?
La transformada de Fourier es pot utilitzar per a una varietat de tasques en l'anàlisi de circuits, com ara:
Anàlisi de la resposta d'un circuit a senyals d'entrada arbitraris.
Identificació de les freqüències de ressonància d'un circuit.
Disseny de filtres per eliminar components de freqüència no desitjats d'un senyal.
Comprendre l'estabilitat d'un circuit.