FUNCIÓ TOTIENT D'EULER - TECHCODEVIEW.COM

La funció Totient d'Euler Φ(n) per a una entrada n és el recompte de nombres de {1, 2, 3, …, n-1} que són relativament primers a n, és a dir, els nombres el MCD (Màxim Comú Divisor) dels quals amb n és 1.

Exemples :

Φ(1) = 1
mcd(1, 1) és 1

Φ(2) = 1
mcd(1, 2) és 1, però mcd(2, 2) és 2.

Φ(3) = 2
mcd(1, 3) és 1 i mcd(2, 3) és 1

Φ(4) = 2
mcd(1, 4) és 1 i mcd(3, 4) és 1

Φ(5) = 4
mcd(1, 5) és 1, mcd(2, 5) és 1,
mcd(3, 5) és 1 i mcd(4, 5) és 1

Φ(6) = 2
mcd(1, 6) és 1 i mcd(5, 6) és 1,

Pràctica recomanada Funció Euler Totient Prova-ho!

Com calcular Φ (n) per a una entrada n?
A solució senzilla és iterar per tots els nombres de l'1 a n-1 i comptar els nombres amb mcd amb n com a 1. A continuació es mostra la implementació del mètode senzill per calcular la funció Totient d'Euler per a un enter d'entrada n.

 // A simple C program to calculate Euler's Totient Function #include  // Function to return gcd of a and b int gcd(int a, int b) {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a); } // A simple method to evaluate Euler Totient Function int phi(unsigned int n) {  unsigned int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result; } // Driver program to test above function int main() {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // A simple java program to calculate // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  int n;  for (n = 1; n <= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by sunnusingh>

Python 3

 # A simple Python3 program  # to calculate Euler's  # Totient Function # Function to return # gcd of a and b def gcd(a, b): if (a == 0): return b return gcd(b % a, a) # A simple method to evaluate # Euler Totient Function def phi(n): result = 1 for i in range(2, n): if (gcd(i, n) == 1): result+=1 return result # Driver Code for n in range(1, 11): print('phi(',n,') = ', phi(n), sep = '') # This code is contributed # by Smitha>

 // A simple C# program to calculate // Euler's Totient Function using System; class GFG {  // Function to return GCD of a and b  static int gcd(int a, int b)  {  if (a == 0)  return b;  return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate  // Euler Totient Function  static int phi(int n)  {  int result = 1;  for (int i = 2; i < n; i++)  if (gcd(i, n) == 1)  result++;  return result;  }  // Driver code  public static void Main()  {  for (int n = 1; n <= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal>

Javascript >PHP

 <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function // Function to return  // gcd of a and b function gcd($a, $b) {  if ($a == 0)  return $b;  return gcd($b % $a, $a); } // A simple method to evaluate // Euler Totient Function function phi($n) {  $result = 1;  for ($i = 2; $i <$n; $i++)  if (gcd($i, $n) == 1)  $result++;  return $result; } // Driver Code for ($n = 1; $n <= 10; $n++)  echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
'; // This code is contributed by Sam007 Φ>>

C++

 // A simple C++ program to calculate // Euler's Totient Function  #include  using namespace std;  // Function to return gcd of a and b  int gcd(int a, int b)  {   if (a == 0)   return b;   return gcd(b % a, a);  }  // A simple method to evaluate Euler Totient Function  int phi(unsigned int n)  {   unsigned int result = 1;   for (int i = 2; i < n; i++)   if (gcd(i, n) == 1)   result++;   return result;  }  // Driver program to test above function  int main()  {   int n;   for (n = 1; n <= 10; n++)   cout << 'phi('<

Sortida

phi(1) = 1 phi(2) = 1 phi(3) = 2 phi(4) = 2 phi(5) = 4 phi(6) = 2 phi(7) = 6 phi(8) = 4 phi( 9) = 6 phi(10) = 4

El codi anterior crida a la funció gcd O(n) vegades. La complexitat temporal de la funció mcd és O(h) on h és el nombre de dígits en un nombre més petit de dos nombres donats. Per tant, un límit superior al complexitat temporal de la solució anterior és O(N^2 log N) [Com Φ pot haver-hi com a màxim Log₁₀n dígits en tots els nombres de l'1 al n]

Espai auxiliar: O (log N)

A continuació hi ha a Millor Solució . La idea es basa en la fórmula del producte d'Euler que estableix que el valor de les funcions totient està per sota del producte dels factors primers globals p de n.

La fórmula diu bàsicament que el valor de Φ(n) és igual al subproducte multiplicat per n de (1 – 1/p) per a tots els factors primers p de n. Per exemple, el valor de Φ(6) = 6 * (1-1/2) * (1 – 1/3) = 2.
Podem trobar tots els factors primers utilitzant la idea utilitzada a això publicació.

1) Inicialitzar: resultat = n
2) Executeu un bucle de 'p' = 2 a sqrt(n), feu el següent per a cada 'p'.
a) Si p divideix n, aleshores
Conjunt: resultat = resultat * (1,0 - (1,0 / (float) p));
Dividiu totes les ocurrències de p en n.
3) Torna el resultat

A continuació es mostra la implementació de la fórmula del producte d'Euler.

C++

 // C++ program to calculate Euler's  // Totient Function using Euler's // product formula #include  using namespace std; int phi(int n) {    // Initialize result as n  float result = n;     // Consider all prime factors of n   // and for every prime factor p,  // multiply result with (1 - 1/p)  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)  {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultat -= resultat / n;  //Com que en el conjunt {1,2,....,n-1}, tots els nombres són relativament primers amb n //si n és un nombre primer retorna (int)resultat; } // Codi del controlador int main() { int n;    per (n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) <

 // C program to calculate Euler's Totient Function // using Euler's product formula #include  int phi(int n) {  float result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and for every prime  // factor p, multiply result with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultat -= resultat / n;  //Com que en el conjunt {1,2,....,n-1}, tots els nombres són relativament primers amb n //si n és un nombre primer retorna (int)resultat; } // Programa controlador per provar la funció anterior int main() { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>

Java

 // Java program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula import java.io.*; class GFG {  static int phi(int n)  {  // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors of n and for  // every prime factor p, multiply result  // with (1 - 1/p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {  // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {  // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultat -= resultat / n;  //Com que en el conjunt {1,2,....,n-1}, tots els nombres són relativament primers amb n //si n és un nombre primer retorna (int)resultat;  } // Programa de controlador per provar la funció anterior public static void main(String args[]) { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by Nikita Tiwari.>

Python 3

 # Python 3 program to calculate # Euler's Totient Function # using Euler's product formula def phi(n) : result = n # Initialize result as n # Consider all prime factors # of n and for every prime # factor p, multiply result with (1 - 1 / p) p = 2 while p * p<= n : # Check if p is a prime factor. if n % p == 0 : # If yes, then update n and result while n % p == 0 : n = n // p result = result * (1.0 - (1.0 / float(p))) p = p + 1 # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most one # such prime factor) if n>1 : resultat -= resultat // n #Com que al conjunt {1,2,...,n-1}, tots els nombres són relativament primers amb n #si n és un nombre primer return int(resultat) # Controlador programa per provar la funció anterior per a n en el rang (1, 11): print('phi(', n, ') = ', phi(n)) # Aquest codi és aportat per Nikita Tiwari.>>>C# // C# program to calculate Euler's Totient // Function using Euler's product formula using System; class GFG {    static int phi(int n)  {    // Initialize result as n  float result = n;  // Consider all prime factors  // of n and for every prime   // factor p, multiply result  // with (1 - 1 / p)  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (float)(1.0 - (1.0 / (float)p));  }  }  // If n has a prime factor   // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultat -= resultat / n;  //Com que en el conjunt {1,2,....,n-1}, tots els nombres són relativament primers amb n //si n és un nombre primer retorna (int)resultat;  } // Codi del controlador public static void Main() { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n + ') = ' + phi(n));  } } // This code is contributed by nitin mittal.>Javascript // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi(n) {  // Initialize result as n  let result = n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for (let p = 2; p * p <= n; ++p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result *= (1.0 - (1.0 / p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if (n>1) resultat -= resultat / n;  //Com que en el conjunt {1,2,....,n-1}, tots els nombres són relativament primers amb n //si n és un nombre primer retorna parseInt(resultat); } // Codi del controlador per a (deixar n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed by _saurabh_jaiswal>PHP <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function  // using Euler's product formula function phi($n) {  // Initialize result as n  $result = $n;   // Consider all prime factors  // of n and for every prime  // factor p, multiply result   // with (1 - 1/p)  for ($p = 2; $p * $p <= $n; ++$p)   {    // Check if p is  // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while ($n % $p == 0)  $n /= $p;  $result *= (1.0 - (1.0 / $p));  }  }  // If n has a prime factor greater   // than sqrt(n) (There can be at-most  // one such prime factor)  if ($n>1) $resultat -= $resultat / $n;  //Com que en el conjunt {1,2,....,n-1}, tots els nombres són relativament primers amb n //si n és un nombre primer return intval($resultat); } // Codi del controlador per a ($n = 1; $n<= 10; $n++) echo 'phi(' .$n. ') =' . phi($n).'
';   // This code is contributed by Sam007 Φ>>  
  Sortida  Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4
     Complexitat temporal:    O(Φ n log n)  
    Espai auxiliar:    O(1)
 Podem evitar els càlculs de coma flotant amb el mètode anterior. La idea és comptar tots els factors primers i els seus múltiples i restar aquest recompte de n per obtenir el valor de la funció totient (els factors primers i els múltiples de factors primers no tindran mcd com a 1)
 1) Inicialitzar el resultat com n  
2) Considereu cada nombre 'p' (on 'p' varia de 2 a Φ(n)).  
Si p divideix n, feu el següent  
a) Resteu tots els múltiples de p d'1 a n [tots els múltiples de p  
tindrà mcd més d'1 (almenys p) amb n]  
b) Actualitzeu n dividint-lo repetidament per p.  
3) Si la n reduïda és superior a 1, elimineu tots els múltiples  
de n a partir del resultat.
A continuació es mostra la implementació de l'algorisme anterior.
C++ // C++ program to calculate Euler's // Totient Function #include  using namespace std; int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;     // Consider all prime factors of n   // and subtract their multiples   // from result  for(int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;    result -= result / p;  }  }    // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultat -= resultat / n;    retornar el resultat; } // Codi del controlador int main() { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  {  cout << 'Phi' << '('   << n << ')' << ' = '  << phi(n) << endl;  }  return 0; } // This code is contributed by koulick_sadhu>C // C program to calculate Euler's Totient Function #include  int phi(int n) {  int result = n; // Initialize result as n  // Consider all prime factors of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p) {    // Check if p is a prime factor.  if (n % p == 0) {    // If yes, then update n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor greater than sqrt(n)  // (There can be at-most one such prime factor)  if (n>1) resultat -= resultat / n;  retornar el resultat; } // Programa controlador per provar la funció anterior int main() { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  printf('phi(%d) = %d
', n, phi(n));  return 0; }>Java // Java program to calculate  // Euler's Totient Function import java.io.*; class GFG  { static int phi(int n) {  // Initialize result as n  int result = n;   // Consider all prime factors   // of n and subtract their  // multiples from result  for (int p = 2; p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultat -= resultat / n;  retornar el resultat; } // Codi del controlador public static void main (String[] args) { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  System.out.println('phi(' + n +   ') = ' + phi(n)); } } // This code is contributed by ajit>Python 3 # Python3 program to calculate  # Euler's Totient Function def phi(n): # Initialize result as n result = n; # Consider all prime factors # of n and subtract their # multiples from result p = 2; while(p * p <= n): # Check if p is a  # prime factor. if (n % p == 0): # If yes, then  # update n and result while (n % p == 0): n = int(n / p); result -= int(result / p); p += 1; # If n has a prime factor # greater than sqrt(n) # (There can be at-most  # one such prime factor) if (n>1): resultat -= int(resultat / n); retornar el resultat; # Codi del controlador per a n en el rang (1, 11): print('phi(',n,') =', phi(n)); # Aquest codi és aportat # per mits>>>C# // C# program to calculate  // Euler's Totient Function using System; class GFG {   static int phi(int n) { // Initialize result as n int result = n;  // Consider all prime  // factors of n and  // subtract their  // multiples from result for (int p = 2;  p * p <= n; ++p) {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then update  // n and result  while (n % p == 0)  n /= p;  result -= result / p;  } } // If n has a prime factor // greater than sqrt(n) // (There can be at-most  // one such prime factor) if (n>1) resultat -= resultat / n; retornar el resultat; } // Codi del controlador static public void Main () { int n;  per (n = 1; n<= 10; n++)  Console.WriteLine('phi(' + n +   ') = ' +  phi(n)); } } // This code is contributed  // by akt_mit>Javascript // Javascript program to calculate  // Euler's Totient Function function phi(n) {  // Initialize   // result as n  let result = n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for (let p = 2;   p * p <= n; ++p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if (n % p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while (n % p == 0)  n = parseInt(n / p);  result -= parseInt(result / p);  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if (n>1) resultat -= parseInt(resultat / n);  retornar el resultat; } // Codi del controlador per a (deixar n = 1; n<= 10; n++)  document.write(`phi(${n}) = ${phi(n)} `);   // This code is contributed  // by _saurabh_jaiswal>PHP <Φphp // PHP program to calculate  // Euler's Totient Function function phi($n) {  // Initialize   // result as n  $result = $n;   // Consider all prime   // factors of n and subtract   // their multiples from result  for ($p = 2;   $p * $p <= $n; ++$p)  {    // Check if p is   // a prime factor.  if ($n % $p == 0)   {    // If yes, then   // update n and result  while ($n % $p == 0)  $n = (int)$n / $p;  $result -= (int)$result / $p;  }  }  // If n has a prime factor  // greater than sqrt(n)  // (There can be at-most   // one such prime factor)  if ($n>1) $resultat -= (int)$resultat / $n;  retornar $resultat; } // Codi del controlador per a ($n = 1; $n<= 10; $n++)  echo 'phi(', $n,') =',   phi($n), '
';   // This code is contributed  // by ajit Φ>>  
  Sortida  Phi(1) = 1 Phi(2) = 1 Phi(3) = 2 Phi(4) = 2 Phi(5) = 4 Phi(6) = 2 Phi(7) = 6 Phi(8) = 4 Phi( 9) = 6 Phi(10) = 4
     Complexitat temporal:    O(Φ n log n)  
    Espai auxiliar:    O(1)
 Prenguem un exemple per entendre l'algorisme anterior.
 n = 10.  
Inicialitzar: resultat = 10  
  
2 és un factor primer, per tant n = n/i = 5, resultat = 5  
3 no és un factor primer.  
  
El bucle for s'atura després de 3, ja que 4*4 no és menor o igual  
a 10.  
  
Després del bucle for, resultat = 5, n = 5  
Com que n> 1, resultat = resultat - resultat/n = 4
    Algunes propietats interessants de la funció Totient d'Euler       
    1)    Per a    nombre primer p    ,phi(p) = p – 1
     Prova:    
 on k és qualsevol nombre aleatori ik 
eq pNombre total d'1 a p = p Nombre per al qualgcd(p, k) = 1és1, és a dir, el nombre p mateix, per tant, restant 1 de pphi(p) = p - 1
    Exemples :     
 phi(5) = 5 - 1 = 4phi(13) = 13 - 1 = 12phi(29) = 29 - 1 = 28
  
    2)    Per    dos nombres primers a i b     phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) = (a – 1) cdot (b – 1) , utilitzat en  Algoritme RSA  
     Prova:    
 phi(acdot b) = phi(a) cdot phi(b), on a i b són nombres primersphi(a) = a - 1,phi(b) = b - 1Nombre total d'1 a ab = ab Múltiples totals de a de 1 a ab =frac{a cdot b} {a}=bMúltiples totals de b de 1 a ab =frac{a cdot b} {b}=a    Exemple:    a = 5, b = 7, ab = 35Múltiples de a =frac {35} {5}= 7 {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}Múltiples de b =frac {35} {7}= 5 {7, 14, 21, 28, 35}    Hi pot haver un doble recompte?    (Mireu l'exemple anterior amb atenció, proveu-ho amb un altre    nombres primers    també per a més comprensió) Per descomptat, hem comptatab     dues vegades    en múltiples de a i múltiples de b, per tant, Múltiples totals = a + b - 1 (amb la qual cosagcd 
eq 1ambab)phi(ab) = ab - (a + b - 1), eliminant tots els números ambgcd 
eq 1ambab phi(ab) = a(b - 1) - (b - 1)phi(ab) = (a - 1) cdot (b - 1)phi(ab) = phi(a) cdot phi(b)
    Exemples :    
 phi(5 cdot 7) = phi(5) cdot phi(7) = (5 - 1) cdot (7 - 1) = 24phi(3 cdot 5) = phi(3) cdot phi(5) = (3 - 1) cdot (5 - 1) = 8phi(3 cdot 7) = phi(3) cdot phi(7) = (3 - 1) cdot (7 - 1) = 12
  
    3)    Per    un nombre primer p    ,phi(p ^ k) = p ^ k – p ^ {k – 1}
     Prova:    
 phi(p^k) = p ^ k - p ^{k - 1}, on p és un nombre primerNombre total de l'1 alp ^ k = p ^ kMúltiples totals dep = frac {p ^ k} {p} = p ^ {k - 1}Eliminant aquests múltiples com amb ellsgcd 
eq 1    Exemple:    p = 2, k = 5,p ^ k= 32Múltiples de 2 (com amb ellsgcd 
eq 1) = 32 / 2 = 16 {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32}phi(p ^ k) = p ^ k - p ^ {k - 1}
    Exemples :    
 phi(2 ^ 5) = 2 ^ 5 - 2 ^ {5 - 1} = 32 - 16 = 16phi(5 ^ 3) = 5 ^ 3 - 5 ^ {3 - 1} = 125 - 25 = 100phi(3 ^ 5) = 3 ^ 5 - 3 ^ {5 - 1} = 243 - 81 = 162
  
    4)    Per    dos números a i b     phi(a cdot b)  = phi(a) cdot phi(b)  cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}
     Cas especial: mcd(a, b) = 1    
 phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {1} {phi(1)} = phi(a) cdot phi(b)
     Exemples :    
     Cas especial :    gcd(a, b) = 1    ,    phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b)         phi(2 cdot 9) = phi(2) cdot phi(9) = 1 cdot 6 = 6phi(8 cdot 9) = phi(8) cdot phi(9) = 4 cdot 6 = 24phi(5 cdot 6) = phi(5) cdot phi(6) = 4 cdot 2 = 8     Cas normal:    gcd(a, b) 
eq 1    ,    phi(a cdot b) = phi(a) cdot phi(b) cdot frac {gcd(a, b)} {phi(gcd(a, b))}phi(4 cdot 6) = phi(4) cdot phi(6) cdot frac {gcd(4, 6)} {phi(gcd(4, 6))} = 2 cdot 2 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 2 cdot 2 = 8phi(4 cdot 8) = phi(4) cdot phi(8) cdot frac {gcd(4, 8)} {phi(gcd(4, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{4}{2} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16phi(6 cdot 8) = phi(6) cdot phi(8) cdot frac {gcd(6, 8)} {phi(gcd(6, 8))} = 2 cdot 4 cdot frac{2}{1} = 2 cdot 4 cdot 2 = 16
    5)    La suma de valors de les funcions totient de tots els divisors de n és igual a n.  
 
  
   
    Exemples :    
 n = 6  
factors = {1, 2, 3, 6}  
n =phi(1) + phi(2) + phi(3) + phi(6)= 1 + 1 + 2 + 2 = 6n = 8factors = {1, 2, 4, 8}n =phi(1) + phi(2) + phi(4) + phi(8)= 1 + 1 + 2 + 4 = 8n = 10factors = {1, 2, 5, 10}n =phi(1) + phi(2) + phi(5) + phi(10)= 1 + 1 + 4 + 4 = 10
    6)    La característica més famosa i important s'expressa en        Teorema d'Euler        :
 El teorema diu que si n i a són copprims  
Aleshores, nombres enters positius (o primers relativament primers).  
  
a^Φ(n)Φ 1 (mod n)
El  Criptosistema RSA  es basa en aquest teorema:  
En el cas particular quan m és primer diem p, el teorema d'Euler es converteix en l'anomenat        El petit teorema de Fermat        :
 a^p-1Φ 1 (contra p)
     7)      El nombre de generadors d'un grup cíclic finit sota l'addició mòdul n és Φ(n) .
     Article relacionat:       
 Funció Totient d'Euler per a tots els nombres menors o iguals a n    
 Funció Euler Totient optimitzada per a avaluacions múltiples 
com revelar aplicacions ocultes
     Referències:       
  http://e-maxx.ru/algo/euler_function   
  http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function  
   https://cp-algorithms.com/algebra/phi-function.html  
   http://mathcenter.oxford.memory.edu/site/math125/chineseRemainderTheorem/