L'equació d'una recta en un pla es dóna com y = mx + C on x i y són les coordenades del pla, m és el pendent de la recta i C és la intercepció. Tanmateix, la construcció d'una línia no es limita només a un avió.

Sabem que una recta és un camí entre dos punts. Aquests dos punts es poden localitzar a qualsevol lloc, ja sigui en un sol pla o bé a l'espai. En el cas d'un pla, la ubicació de la recta es caracteritza per dues coordenades disposades en un parell ordenat donat com a (x, y), mentre que en el cas de l'espai, la ubicació del punt es caracteritza per tres coordenades expressades com (x). , y, z).

En aquest article, aprendrem les diferents formes d'equacions de línies en l'espai 3D.

Taula de contingut

• Què és l'equació d'una recta?
• Equació de línia en 3D
• Forma cartesiana de l'equació de la recta en 3D
• Forma vectorial d'equació de línia en 3D
• Fórmules de línies 3D
• Exemples resolts sobre l'equació d'una recta en 3D

Què és l'equació d'una recta?

L'equació d'una recta és una manera algebraica d'expressar una recta en termes de les coordenades dels punts que uneix. L'equació d'una recta sempre serà a equació lineal .

Si intentem representar els punts obtinguts a partir d'una equació lineal serà a línia recta . L'equació estàndard d'una recta es dóna com:

ax + per + c = 0

on,

• a i b són coeficients de x i y
• c és un terme constant

Altres formes de l'equació de línia s'esmenten a continuació:

Ara aprendrem l'equació de la recta en 3D.

Equació de línia en 3D

L'equació de la recta en 3D requereix dos punts que es troben a l'espai. La ubicació de cada punt es dóna mitjançant tres coordenades expressades com (x, y, z).

L'equació 3D d'una línia es dóna en dos formats, forma cartesiana i forma vectorial . En aquest article aprendrem l'equació d'una línia en 3D tant en forma cartesiana com vectorial i també aprendrem a derivar l'equació. Els diferents casos d'equació de línia es mostren a continuació:

• Forma cartesiana de la línia
  • Línia que passa per dos punts
  • Línia que passa per un punt donat i paral·lela a un vector donat
• Forma vectorial de línia
  • Línia que passa per dos punts
  • Línia que passa per un punt donat i paral·lela a un vector donat

Forma cartesiana de l'equació de la recta en 3D

La forma cartesiana de la recta es dóna utilitzant les coordenades de dos punts situats a l'espai des del qual passa la recta. En això parlarem de dos casos, quan la recta passa per dos punts i quan la recta passa per punts i és paral·lela a un vector.

Cas 1: Equació 3D de la recta en forma cartesiana que passa per dos punts

Suposem que tenim dos punts A i B les coordenades dels quals es donen com A(x₁, i₁, Amb₁) i B(x₂, i₂, Amb₂).

Llavors l'equació 3D de la recta en forma cartesiana es dóna com

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

on, x, y i z són coordenades rectangulars.

Derivació de l'equació de la recta que passa per dos punts

Podem derivar la forma cartesiana de l'equació 3D de la línia recta mitjançant l'ús dels següents passos esmentats:

• Pas 1: Trobeu els DR (Ràtios de direcció) prenent la diferència de les coordenades de posició corresponents dels dos punts donats. l = (x₂–x₁), m = (i₂– i₁), n = (z₂- Amb₁); Aquí l, m, n són els DR.
• Pas 2: Trieu qualsevol dels dos punts donats, per exemple, nosaltres triem (x₁, i₁, Amb₁).
• Pas 3: Escriu l'equació necessària de la recta que passa pels punts (x₁, i₁, Amb₁) i (x₂, i₂, Amb₂).
• Pas 4: L'equació 3D de la recta en forma cartesiana es dóna com a L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(x₂–x₁) = (y – y₁)/(i₂– i₁) = (z – z₁)/(Amb₂- Amb₁)

On (x, y, z) són les coordenades de posició de qualsevol punt variable situat sobre la recta.

col·lecció java

Exemple: Si una recta passa pels dos punts fixos en la 3-dimensional les coordenades de posició de la qual són P (2, 3, 5) i Q (4, 6, 12), la seva equació cartesiana que utilitza la forma de dos punts ve donada per

Solució:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

l = 2, m = 3, n = 7

Escollint el punt P (2, 3, 5)

L'equació requerida de la recta

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Cas 2: Equació 3D de línia en cartesià que passa per un punt i paral·lela a un vector donat

Suposem que la recta passa per un punt P(x₁, i₁, Amb₁) i és paral·lel a un vector donat comvec n = ahat i + bhat j + chat k .

Llavors l'equació de la recta es dóna com

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

on, x, y, z són coordenades rectangulars i a, b, c són coseus de direcció.

Derivació de l'equació 3D de la recta en cartesià que passa per un punt i paral·lela a un vector donat

Suposem que tenim un punt P el vector de posició del qual es dóna com avec pdes de l'origen. Sigui la recta que passa per P és paral·lela a un altre vectorvec n. Prenem un punt R de la recta que passa per P, aleshores el vector de posició de R es dóna comvec r .

Ja que, PR és paral·lel avec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Ara, si ens movem per la línia PR, la coordenada de qualsevol punt que es troba a la línia tindrà la coordenada en forma de (x₁+ λa), (i₁+ λb), (z₁+ λc), on λ és un paràmetre el valor del qual oscil·la entre -∞ i +∞ depenent de la direcció des de P on ens movem.

Per tant, les coordenades del nou punt seran

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/a

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/c

patró de disseny del mètode de fàbrica

Comparant les tres equacions anteriors tenim l'equació de línia as

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Exemple: Trobeu l'equació d'una recta que passa per un punt (2, 1, 3) i paral·lela a un vector 3i – 2j + k

Solució:

L'equació de la recta que passa per un punt i paral·lela a un vector es dóna com

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/c

A partir de la pregunta que tenim, x₁= 2, i₁= 1, z₁= 3 i a = 3, b = -2 i c = k. Per tant, l'equació requerida de la recta serà

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Forma vectorial d'equació de línia en 3D

La forma vectorial de l'equació de línia en 3D es dóna mitjançant una equació vectorial que implica el vector de posició dels punts. En aquest encapçalament, obtindrem l'equació 3D de la línia en forma vectorial per a dos casos.

Cas 1: Equació 3D de la línia que passa per dos punts en forma vectorial

Suposem que tenim dos punts A i B el vector de posició dels quals es dóna com avec aivec b.

Llavors l'equació vectorial de la línia L es dóna com

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

on(vec b – vec a)és la distància entre dos punts i λ és el paràmetre que es troba a la linia.

Derivació de l'equació 3D de la línia que passa per dos punts en forma vectorial

Suposem que tenim dos punts A i B el vector de posició dels quals es dóna com avec aivec b. Ara sabem que una recta és la distància entre dos punts qualsevol. Per tant, hem de restar els dos vectors de posició per obtenir la distància.

⇒vec d = vec b – vec a

Ara sabem que qualsevol punt d'aquesta recta es donarà com a suma del vector de posicióvec a space or space vec b amb el producte del paràmetre λ i el vector de posició de la distància entre dos punts és a dir.vec d

Per tant, l'equació de la recta en forma vectorial seràvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)ovec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Exemple: Trobeu l'equació vectorial d'una recta en 3D que passa per dos punts els vectors de posició dels quals es donen com a 2i + j – k i 3i + 4j + k

Solució:

Atès que els dos vectors de posició es donen com a 2i + j – k i 3i + 4j + k

java és una instancia de

Distància d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Sabem que l'equació de la recta es dóna comvec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Per tant, l'equació de la recta seràvec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Cas 2: Forma vectorial de l'equació 3D de la línia que passa per un punt i paral·lela a un vector

Suposem que tenim un punt P el vector de posició del qual es dóna com avec p. Sigui paral·lela aquesta recta a una altra recta el vector de posició de la qual es dóna com avec d .

Llavors l'equació vectorial de la recta 'l' es dóna com a

vec l = vec p + lambda vec d

on λ és el paràmetre que es troba a la línia.

Derivació de la forma vectorial de l'equació 3D de la línia que passa per un punt i paral·lela a un vector

Considereu un punt P el vector de posició del qual es dóna comvec p. Ara suposem que aquesta línia és paral·lela a un vectorvec dllavors, l'equació de la recta seràvec l = lambda vec d. Ara, com que la línia també passa pel punt P, a mesura que ens allunyem del punt P en qualsevol direcció de la línia, el vector de posició del punt tindrà la forma devec p + lambda vec d . Per tant, l'equació de la recta seràvec l = vec p + lambda vec don λ és el paràmetre que es troba a la línia.

Exemple: Trobeu la forma vectorial de l'equació de la recta que passa pel punt (-1, 3, 2) i paral·lela a un vector 5i + 7j – 3k.

Solució:

Sabem que la forma vectorial de l'equació d'una recta que passa per un punt i paral·lela a un vector es dóna comvec l = vec p + lambda vec d

Donat que el punt és (-1, 3, 2), per tant, el vector de posició del punt serà -i + 3j + 2k i el vector donat és 5i + 7j – 3k.

Per tant, l'equació requerida de la recta seràvec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Fórmules de línies 3D

Lectures similars

• Equació d'una recta
• Tangent i Normal
• Pendent de la línia

Exemples resolts sobre l'equació d'una recta en 3D

Practica equacions de línia en 3D amb aquestes preguntes pràctiques resoltes.

Exemple 1: Si una recta passa pels dos punts fixos de la 3-dimensional els vectors de posició dels quals són (2 i + 3 j + 5 k) i (4 i + 6 j + 12 k), aleshores la seva equació vectorial utilitza els dos punts. forma ve donada per

Solució:

{vec {p}}= (4 i + 6 j + 12 k ) – (2 i + 3 j + 5 k )

sonu nigam

{vec {p}}= (2 i + 3 j + 7 k ) ; Aquí{vec {p}}és un vector paral·lel a la recta

Selecció del vector de posició (2 i + 3 j + 5 k )

L'equació requerida de la recta

L:{vec {r}}= (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

Exemple 2: si una recta passa pels dos punts fixos de l'espai tridimensional les coordenades de posició del qual són (3, 4, -7) i (1, -1, 6), aleshores la seva equació vectorial utilitza els dos punts. forma ve donada per

Solució:

Els vectors de posició dels punts donats seran (3 i + 4 j – 7 k) i (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k) ; Aquí{vec {p}}és un vector paral·lel a la recta

Escollint el vector de posició (i – j + 6 k)

L'equació requerida de la recta

L:{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

Exemple 3: Si una recta passa pels dos punts fixos de la 3D els vectors de posició dels quals són (5 i + 3 j + 7 k) i (2 i + j – 3 k), aleshores la seva equació vectorial utilitza la forma de dos punts està donat per

Solució:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3 i + 2 j + 10 k) ; Aquí{vec {p}}és un vector paral·lel a la recta

Escollint el vector de posició (2 i + j – 3 k)

L'equació requerida de la recta

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Exemple 4: si una recta passa pels dos punts fixos de la 3-dimensional les coordenades de posició dels quals són A (2, -1, 3) i B (4, 2, 1), aleshores la seva equació cartesiana utilitza els dos punts. forma ve donada per

Solució:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Escollint el punt A (2, -1, 3)

L'equació requerida de la recta

conjunt vs mapa

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 o

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

Exemple 5: Si una recta passa pels dos punts fixos de la 3-dimensional les coordenades de posició són X (2, 3, 4) i Y (5, 3, 10), la seva equació cartesiana que utilitza la forma de dos punts ve donada per

Solució:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Escollint el punt X (2, 3, 4)

L'equació requerida de la recta

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 o

L : (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Equació d'una línia en 3D - Preguntes freqüents

Què és l'equació d'una línia en 3D?

L'equació d'una recta en 3D es dóna com (x – x₁)/(x₂–x₁) = (y – y₁)/(i₂– i₁) = (z – z₁)/(Amb₂- Amb₁)

Quina és la forma cartesiana de l'equació d'una recta en 3D?

La forma cartesiana de l'equació de la recta en 3D es dóna per a dos casos

Cas 1: quan la recta passa per dos punts:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Cas 2: Quan una recta passa per un punt i és paral·lela a un vector:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Quina és la forma vectorial de l'equació d'una línia en 3D?

La forma vectorial de l'equació d'una línia en 3D es dóna per a dos casos:

Cas 1: Línia que passa per dos punts:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Cas 2: la línia passa per un punt i paral·lela a un vector:vec l = vec p + lambda vec d

Què és l'equació del punt de pendent d'una recta?

Punt de pendent L'equació d'una recta es dóna com y = mx + C on m és el pendent

Quina és l'equació estàndard d'una recta?

L'equació estàndard d'una recta és ax + per + c = 0