La llei de la probabilitat total és important per trobar la probabilitat que succeeixi un esdeveniment. Si se sap que la probabilitat que es produeixi un esdeveniment és 1, llavors per a un esdeveniment impossible és probable que sigui 0. Una regla fonamental en la teoria de la probabilitat que està interconnectada amb la probabilitat marginal i probabilitat condicional s'anomena llei de la probabilitat total o teorema de la probabilitat total.

Després de diversos esdeveniments, se sap que s'ha de conèixer la probabilitat de totes les possibilitats. El teorema de la probabilitat total és el fonament bàsic del teorema de Baye. En aquest article, hem tractat conceptes importants relacionats amb la probabilitat total, inclosa la llei de la probabilitat total , afirmacions, proves i alguns exemples.

Llei de la probabilitat total

Donats n esdeveniments mútuament exclusius A1, A2, …Ak tals que la seva suma de probabilitats és la unitat i la seva unió és l'espai d'esdeveniments E, aleshores Ai ∩ Aj= NULL, per tot I no és igual a j, i

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Aleshores el Teorema de la probabilitat total, o llei de la probabilitat total, és: on B és un esdeveniment arbitrari, i P(B/Ai) és la probabilitat condicional de B assumint que A ja s'ha produït.

Demostració del teorema de la probabilitat total

Siguin A1, A2, …, Ak esdeveniments disjunts que formen una partició de l'espai mostral i suposem que P(Ai)> 0, per i = 1, 2, 3….k, de manera que:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Aleshores, per a qualsevol esdeveniment B, tenim,

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Com que la intersecció i la unió són distributives. Per tant,

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Atès que totes aquestes particions són discontinues. Així doncs, tenim,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

Aquest és el teorema d'addició de probabilitats per a una unió d'esdeveniments disjunts. Ús de la probabilitat condicional

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

O per la regla de la multiplicació,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Aquí es diu que els esdeveniments A i B són esdeveniments independents si P(B|A) = P(B), on P(A) no és igual a Zero(0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

on P(B|A) és la probabilitat condicional que dóna la probabilitat d'ocurrència de l'esdeveniment B quan l'esdeveniment A ja s'ha produït. Per tant,

porció de matriu java

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Aplicant aquesta regla anterior obtenim,

Aquest és el llei de la probabilitat total . També es coneix com a llei de probabilitat total el teorema de la probabilitat total o llei d'alternatives.

Nota:

La llei de la probabilitat total s'utilitza quan no coneixeu la probabilitat d'un esdeveniment, però coneixeu la seva ocurrència en diversos escenaris discontinus i la probabilitat de cada escenari.

Aplicació del Teorema de la Probabilitat Total

S'utilitza per a l'avaluació del denominador en Teorema de Bayes . El teorema de Bayes per a n conjunt d'esdeveniments es defineix com,

Sigui E₁, I₂,…, I_nser un conjunt d'esdeveniments associats a l'espai mostral S, en el qual tots els esdeveniments E₁, I₂,…, I_ntenen una probabilitat d'ocurrència diferent de zero. Tots els actes E₁, I₂,…, E formen una partició de S. Sigui A un esdeveniment de l'espai S per al qual hem de trobar la probabilitat, llavors segons el teorema de Bayes,

P (E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

per a k = 1, 2, 3, …., n

Exemple

1. Traiem dues cartes d'una baralla de cartes barrejades amb reemplaçaments. Troba la probabilitat d'aconseguir que la segona carta sigui un rei.

Explicació: - Deixar, A: representa l'esdeveniment d'obtenir la primera carta d'un rei. B: representa l'esdeveniment que la primera carta no és un rei. E - representa l'esdeveniment que la segona carta és un rei. Aleshores, la probabilitat que la segona carta sigui un rei o no es representarà per la llei de la probabilitat total com:

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

On, P(E) és la probabilitat que la segona carta sigui un rei, P(A) és la probabilitat que la primera carta sigui un rei, P(E|A) és la probabilitat que la segona carta sigui un rei donat que la primera carta és un rei, P(B) és la probabilitat que la primera carta no sigui un rei, P(E|B) és la probabilitat que la segona carta sigui un rei però la primera carta extreta no sigui un rei. Segons la pregunta:

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

Per tant,

què és f5 al teclat

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

Preguntes freqüents sobre la llei de la probabilitat total

P.1: Per a què serveix la probabilitat total?

Resposta:

La llei de la probabilitat total s'utilitza per calcular la probabilitat d'un esdeveniment donat qualsevol nombre d'esdeveniments relacionats. Ús del teorema de Baye per actualitzar la probabilitat d'una hipòtesi donada una nova evidència.

P.2: La probabilitat total sempre és 1?

Resposta:

La suma de les probabilitats de tots els esdeveniments és sempre 1.

P.3: La probabilitat total pot ser superior a 1?

Resposta:

No, la probabilitat total no pot ser superior a 1.