La corda d'una circumferència és la línia que uneix dos punts qualsevol de la circumferència de la circumferència. Un cercle pot tenir diverses cordes i la corda més gran d'un cercle és el diàmetre del cercle. Podem calcular fàcilment la longitud de l'acord mitjançant la fórmula de longitud de l'acord. Com el seu nom indica, és la fórmula per calcular la longitud de la corda en un cercle en Geometria.

En aquest article coneixerem la definició de la corda, els teoremes de les cordes i el cercle, explicarem les seves propietats i les fórmules per calcular la longitud de la corda mitjançant diferents mètodes. L'article també té alguns problemes de mostra resolts per a una millor comprensió.

Taula de contingut

• Definició de cercle
• Definició de l'acord d'un cercle
• Què és la fórmula de la longitud de l'acord?
• Teoremes de la corda d'un cercle
• Propietats dels acords d'un cercle
• Problemes resolts
• Preguntes freqüents

Definició de cercle

Un cercle és una forma rodona perfecta que consta de tots els punts d'un pla que es troben a una distància determinada d'un punt donat. Consisteixen en una línia corba tancada al voltant d'un punt central. Els punts presents a la línia estan a la mateixa distància del punt central. La distància al centre d'un cercle s'anomena radi.

Definició de l'acord d'un cercle

El segment de línia que uneix dos punts qualsevol de la circumferència de la circumferència es coneix com a corda d'una circumferència. Com que el diàmetre també uneix els dos punts de la circumferència d'un cercle, també és una corda a un cercle. De fet, el diàmetre és la corda més llarga del cercle. En altres paraules, la corda és un segment de línia els dos extrems del qual es troben a la circumferència d'un cercle. La il·lustració següent ens pot ajudar a entendre més.

Què és la fórmula de la longitud de l'acord?

Hi ha dos mètodes o fórmules bàsics per calcular la longitud de la corda. La longitud d'una corda es pot determinar utilitzant la distància perpendicular des del centre del cercle així com pel mètode trigonomètric. Així es pot trobar la longitud d'un acord

• Utilitzant el teorema de Pitàgores
• Utilitzant la llei dels coseus

Entenem aquests mètodes en detall de la següent manera:

Mètode 1: Ús del teorema de Pitàgores

En el diagrama següent per a una corda, com sabem, la perpendicular dibuixada des del centre de la circumferència a la corda la divideix en dues meitats.

En triangles OAM, utilitzant Teorema de Pitàgores ,

r²= x²+ d²

⇒ x²= r²– d²

⇒ x = √(r²– d²)

Com que x és la meitat de la longitud de la corda,

Així, la longitud de la corda per a qualsevol cercle amb la seva distància perpendicular al centre es coneix com a

Longitud d'una corda d'un cercle = 2 ×[√(r ² – d ² )]

On,

• r és el radi del cercle, i
• d és la distància perpendicular entre el centre de la circumferència i la corda.

Mètode 2: Ús de la llei dels coseus

Com sabem per a un triangle ABC, amb els costats a, b i c, el Llei del cosinus estats,

c ² = a ² + b ² – 2ab cos C

Utilitzant aquesta llei del diagrama següent d'una corda que subteneix l'angle θ al centre del cercle, podem trobar la longitud de la corda.

En el triangle OAB, utilitzant la llei del cosinus,

⇒ x²= r²+ r²– 2×r×r×cos θ

tipus de referència java

⇒ x²= 2r²– 2r²cos θ

⇒ x²= 2r²(1- cos θ)

⇒ x = sqrt{2r^2(1- cos heta)}

Rightarrow x =rsqrt{2(sin^2 heta/2 + cos^2 heta/2 – cos^2 heta/2 + sin^2 heta/2)}

Rightarrow x =rsqrt{4sin^2 heta/2 }

Rightarrow x =2rsin heta/2

Així, la longitud de l'acord ve donada per:

Longitud de la corda = 2r × sin [θ/2]

On,

• i és l'angle subtetent per la corda al centre, i
• r és el radi del cercle.

Una altra fórmula relacionada per a la longitud de l'acord

Quan dos cercles comparteixen una corda comú, la longitud d'aquesta corda comú es pot calcular mitjançant la fórmula

Longitud d'una corda comuna de dos cercles = 2R ₁ × R ₂ / D

On,

• R ₁ i R ₂ es refereix al radi dels cercles
• D és la distància entre els dos centres del cercle

Teoremes de la corda d'un cercle

La corda del cercle subtendeix l'angle al centre del cercle, cosa que ens ajuda a demostrar diversos conceptes al cercle. Hi ha diversos teoremes basats en la corda d'un cercle,

• Teorema 1: Cordes iguals Teorema dels angles iguals
• Teorema 2: Angles iguals Teorema d'acords iguals (revers del teorema 1)
• Teorema 3: Cordes iguals equidistants del teorema del centre

Ara, parlem del mateix a l'article següent.

Teorema 1: Cordes iguals Teorema d'angles iguals

Declaracions: Les cordes iguals subtenen angles iguals al centre del cercle, és a dir, l'angle que subtendeix la corda són iguals si la corda és igual.

Prova:

A partir de la figura,

En ∆AOB i ∆DOC

• AB = CD … eq(i) (Donat)
• OA = OD … eq(ii) (Radi del cercle)
• OB = OC … eq(iii) (Radi del cercle)

Així, per condicions de congruència SSS, el triangle ∆AOB i ∆COD són congruents.

Així,

∠AOB = ∠DOC (Per CPCT)

Així, es verifica el teorema.

Teorema 2: angles iguals Teorema d'acords iguals (revers del teorema 1)

Declaració: Les cordes que subtenen angles iguals al centre d'un cercle tenen la mateixa longitud. Aquest és el contrari del primer teorema.

A partir de la figura,

En ∆AOB i ∆DOC

• ∠AOB = ∠DOC …eq(i) (Donat)
• OA = OD … eq(ii) (Radi del cercle)
• OB = OC … eq(iii) (Radi del cercle)

Així, per condicions de congruència SAS, el triangle ∆AOB i ∆COD són congruents.

Així,

AB = CD (Per CPCT)

Així, es verifica el teorema.

Teorema 3: Cordes iguals equidistants del teorema del centre

Declaració: Les cordes iguals estan equidistants del centre, és a dir, la distància entre el centre del cercle i la corda igual és sempre igual.

A partir de la figura,

A ∆AOL i ∆COM

• ∠ALO = ∠CMO …eq(i) (90 graus)
• OA = OC … eq(ii) (Radi del cercle)
• OL = OM … eq(iii) (Donat)

Així, per condicions de congruència RHS, el triangle ∆AOB i ∆COD són congruents.

Així,

AL = CM (Per CPCT)…(iv)

Ara, sabem que la perpendicular dibuixada des del centre divideix les cordes.

De l'eq(iv)

2AL=2CM

AB = CD

Així, es verifica el teorema.

Propietats dels acords d'un cercle

Hi ha diverses propietats dels acords en un cercle, algunes d'aquestes propietats són les següents:

• Una corda que passa pel centre d'un cercle s'anomena diàmetre, i és la corda més llarga del cercle.
• La perpendicular a una corda, que es dibuixa des del centre del cercle, divideix la corda.
• Les cordes equidistants del centre d'un cercle tenen la mateixa longitud.
• Només hi ha una circumferència que passa per tres punts colineals.
• Les cordes que tenen la mateixa longitud subtenen angles iguals al centre d'un cercle.
• La mediatriu d'una corda passa pel centre de la circumferència.
• Si un radi és perpendicular a una corda, aleshores divideix la corda i l'arc que intercepta. Això es coneix com el teorema de la bisectriu.
• Quan els angles subtesos per una corda són iguals, la longitud de les cordes també és igual.
• Si dues cordes en un cercle es tallen, el producte dels segments d'una corda és igual al producte dels segments de l'altra corda. Això es coneix com el teorema de les cordes que s'intersequen.
• L'angle subtessant per una corda al centre és el doble de l'angle subtegut per la corda a la circumferència.

Llegeix més,

• Equació d'un cercle
• Àrea d'un cercle
• Circumferència del cercle

Problemes resolts sobre l'acord d'un cercle

Problema 1: Un cercle és un angle de 70 graus el radi del qual és de 5 cm. Calcula la longitud de la corda del cercle.

Solució:

Donat

• Radi = 5 cm
• Angle = 70°

Ara,

longitud de la corda = 2R × Sin [angle/2]

= 2 × 5 × sense [70/2]

= 10 × sin35°

= 10 × 0.5736

= 5,73 cm

Problema 2: En cercle , el radi és de 7 cm i la distància perpendicular del centre del cercle a les seves cordes és de 6 cm. Calcula la longitud de la corda.

Solució:

Donat

• Radi = 7 cm
• Distància = 6 cm

Ara,

Longitud de la corda = 2 √r²– d²

= 2√7²– 6²

= 2 √ 49-36

= 2√13cm

Problema 3: Un cercle és un angle de 60 graus el radi del qual és de 12 cm. Calcula la longitud de la corda del cercle.

Solució:

Donat

• Radi = 12 cm
• Angle = 60°

Ara,

longitud de la corda = 2R × Sin [angle/2]

⇒ 2 × 12 × sense [60/2]

⇒ 24 × sin30°

⇒ 24 × 0.5

⇒ 12 cm

Problema 4: En una circumferència, el radi és de 16 cm i la distància perpendicular del centre de la circumferència a les seves cordes és de 5 cm. Calcula la longitud de la corda.

Solució:

Donat

• Radi = 16 cm
• Distància = 5 cm

Ara,

Longitud de la corda = 2 √r²– d²

⇒ 2 √(16)²– (5)²

⇒ 2 √ 256-25

⇒ 2 √231

⇒ 2 × 15.1

⇒ 30,2 cm

Problema 6: Calculeu la longitud d'una corda comuna entre els cercles de 6cm i 5cm de radi respectivament. I, la distància entre els dos centres es va mesurar en 8 cm.

Solució:

Donat

Distància entre els dos centres = 8cm

El radi dels dos cercles és R₁i R₂amb longituds de 6 cm i 5 cm respectivament

Ara,

Longitud d'una corda comuna de dos cercles = (2R₁× R₂) / Distància entre dos centres de circumferències

⇒ 2 × 5 × 6/8

⇒ 60/8

⇒ 7,5 cm

Preguntes freqüents sobre Chord of a Circle

Defineix l'acord.

Un segment de línia que uneix dos punts de la circumferència del cercle es coneix com a Corda.

Què és la fórmula de longitud d'acord?

La fórmula de longitud d'acord calcula la longitud d'una corda en un cercle.

La longitud d'una corda pot ser més gran que el diàmetre d'un cercle?

No, la longitud d'una corda no pot ser més gran que el diàmetre, ja que el diàmetre és la corda més llarga del cercle.

Com es veu afectada la longitud d'un acord si està més a prop del centre del cercle?

A mesura que la corda s'acosta al centre del cercle, la seva longitud s'acosta a la longitud màxima, és a dir, al diàmetre.

Com es veu afectada la longitud d'un acord si està més a prop de la vora del cercle?

A mesura que la corda s'acosta a la vora del cercle, la seva longitud s'acosta a 0. Així, la longitud de la corda i la seva distància a la vora tenen una relació inversa.

Quina relació hi ha entre la longitud de la corda i l'angle central d'un cercle?

La relació entre la longitud de la corda e i l'angle central d'un cercle és la següent:

Longitud de la corda = 2r × sin [θ/2]

On,

• i és l'angle subtetent per la corda al centre, i
• r és el radi del cercle.

Es pot utilitzar la fórmula de longitud d'acord per a qualsevol cercle?

Sí, la fórmula de longitud de corda es pot utilitzar per a qualsevol cercle, sempre que es coneguin el radi i l'angle central.

El diàmetre és una corda d'un cercle?

Sí, el diàmetre és una corda d'un cercle. És l'acord més llarg possible d'un cercle. És igual al doble del radi del cercle.

D = 2r

On,

• D és el diàmetre del cercle
• r és el radi del cercle