L'àlgebra de Boole és un tipus d'àlgebra que es crea operant el sistema binari. L'any 1854, George Boole, un matemàtic anglès, va proposar aquesta àlgebra. Aquesta és una variant de la lògica proposicional d'Aristòtil que utilitza els símbols 0 i 1, o Vertader i Fals. L'àlgebra booleana s'ocupa de les variables binàries i les operacions lògiques.
L'àlgebra de Boole és fonamental en el desenvolupament de sistemes electrònics digitals, ja que tots utilitzen el concepte de Àlgebra de Boole per executar ordres. A part de l'electrònica digital, aquesta àlgebra també troba la seva aplicació en la teoria de conjunts, l'estadística i altres branques de les matemàtiques.
En aquest article, coneixerem en detall les operacions booleanes bàsiques, les expressions booleanes, les taules de veritat, les lleis booleanes i altres.
Taula de contingut
- Operacions d'àlgebra booleana
- Taula de l'Algbera booleà
- Expressió booleana i variables
- Terminologies d'àlgebra booleana
- Taules de veritat en àlgebra booleana
- Regles d'àlgebra booleana
- Lleis per a l'àlgebra de Boole
- Teoremes de l'àlgebra de Boole
- Exemples resolts en àlgebra de Boole
Operacions d'àlgebra booleana
Hi ha diverses operacions que s'utilitzen a l'àlgebra de Boole, però les operacions bàsiques que formen la base de l'àlgebra de Boole ho són.
- Negació o NO Operació
- Conjunció o Operació AND
- Disjunció o Operació O
Expressió àlgebra booleana
Comprovar: Fonaments de l'àlgebra booleana en electrònica digital
Aquestes operacions tenen els seus propis símbols i precedència i la taula afegida a continuació mostra el símbol i la precedència d'aquests operadors.
Operador | Símbol | Precedència delimitador java |
|---|---|---|
NO | ‘ (o) ⇁ | Primer |
I | . (o) ∧ | Segon |
O | + (o) ∨ | Tercer |
Podem definir fàcilment aquestes operacions utilitzant dues variables booleanes.
Prenem dues variables booleanes A i B que poden tenir qualsevol dels dos valors 0 o 1, és a dir, poden estar OFF o ON. A continuació, aquestes operacions s'expliquen com,
Operació de negació o NO
Utilitzant el NO L'operació inverteix el valor de la variable booleana de 0 a 1 o viceversa. Això es pot entendre com:
- Si A = 1, utilitzant l'operació NOT tenim (A)' = 0
- Si A = 0, utilitzant l'operació NOT tenim (A)' = 1
- També representem l'operació de negació com ~A, és a dir, si A = 1, ~A = 0
Comprovar: Propietats de l'àlgebra de Boole
Conjunció o operació AND
Utilitzant el I L'operació compleix la condició si tant el valor de les variables individuals és cert com si algun dels valors és fals, aquesta operació dóna el resultat negatiu. Això es pot entendre com,
- Si A = Vertader, B = Cert, aleshores A . B = cert
- Si A = vertader, B = fals, o A = fals, B = vertader, aleshores A . B = Fals
- Si A = Fals, B = Fals, aleshores A . B = Fals
Comprovar: Teoremes algebraics booleans
Operació de disjunció (OR).
Utilitzant el O L'operació compleix la condició si qualsevol valor de les variables individuals és cert, només dóna un resultat negatiu si tots dos valors són falsos. Això es pot entendre com,
- Si A = vertader, B = vertader, aleshores A + B = vertader
- Si A = vertader, B = fals, o A = fals, B = vertader, aleshores A + B = vertader
- Si A = Fals, B = Fals, aleshores A + B = Fals
Taula d'àlgebra de Boole
A continuació es mostra l'expressió de l'àlgebra de Boole
| Funcionament | Símbol | Definició |
|---|---|---|
| I Operació | ⋅ o ∧ | Retorna cert només si les dues entrades són certes. |
| O Operació | + o ∨ | Retorna cert si almenys una entrada és certa. |
| NO Operació | ¬ o ∼ | Inverteix l'entrada. |
| Operació XOR | ⊕ | Retorna vertader si exactament una entrada és certa. |
| Operació NAND | ↓ | Retorna fals només si les dues entrades són certes. |
| Operació NOR | ↑ | Retorna fals si almenys una entrada és certa. |
| Operació XNOR | ↔ | Retorna cert si les dues entrades són iguals. |
Expressió booleana i variables
L'expressió booleana és una expressió que produeix un valor booleà quan s'avalua, és a dir, produeix un valor vertader o un valor fals. Mentre que les variables booleanes són variables que emmagatzemen nombres booleans.
P + Q = R és una frase booleana en què P, Q i R són variables booleanes que només poden emmagatzemar dos valors: 0 i 1. El 0 i l'1 són els sinònims de fals i cert i s'utilitzen en àlgebra booleana, de vegades. també fem servir Sí en lloc de Vertader i No en lloc de Fals.
Així, podem dir que les declaracions que utilitzen variables booleanes i que operen amb operacions booleanes són expressions booleanes. Alguns exemples d'expressions booleanes són:
- A + B = cert
- A.B = cert
- (A)’ = Fals
Comprovar: Axiomes de l'àlgebra de Boole
Terminologies d'àlgebra booleana
Hi ha diverses terminologies relacionades amb l'àlgebra de Boole, que s'utilitzen per explicar diversos paràmetres Àlgebra de Boole . Això inclou,
- Àlgebra de Boole
- Variables booleanes
- Funció booleana
- Literal
- Complement
- Taula de la Veritat
Ara, parlarem de les terminologies importants de l'àlgebra de Boole a l'article següent,
Àlgebra de Boole
La branca de l'àlgebra que s'ocupa de les operacions binàries o operacions lògiques s'anomena àlgebra de Boole. Va ser introduït per George Boole a mitjans del segle XIX. S'utilitza per analitzar i manipular funcions lògiques en variables binàries. S'utilitza àmpliament en diversos camps, com ara el disseny de lògica digital, la informàtica i les telecomunicacions.
Variables booleanes
Les variables utilitzades en àlgebra booleana que emmagatzemen el valor lògic de 0 i 1 s'anomenen variables booleanes. S'utilitzen per emmagatzemar valors vertaders o falsos. Les variables booleanes són fonamentals per representar estats lògics o proposicions en expressions i funcions booleanes.
convertir cadena en enumeració
Funció booleana
Una funció de l'àlgebra booleana que es forma mitjançant l'ús de variables booleanes i operadors booleans s'anomena funció booleana. Es forma combinant variables booleanes i expressions lògiques com AND, OR i NOT. S'utilitza per modelar relacions lògiques, condicions o operacions.
Literal
Una variable o el complement de la variable en àlgebra booleana s'anomena literal. Els literals són els components bàsics de les expressions i funcions booleanes. Representen els operands en operacions lògiques.
Complement
La inversa de la variable booleana s'anomena complement de la variable. El complement de 0 és 1 i el complement d'1 és 0. Es representa amb ‘ o (¬) sobre la variable. Els complements s'utilitzen per representar negacions lògiques en expressions i funcions booleanes.
Taula de la Veritat
La taula que conté tots els valors possibles de les variables lògiques i la combinació de la variable juntament amb l'operació donada s'anomena taula de veritat. El nombre de files de la taula de veritat depèn del total de variables booleanes utilitzades en aquesta funció. S'obté mitjançant la fórmula,
Nombre de files a la taula de veritat = 2 n
on n és el nombre de variables booleanes utilitzades.
Comprovar:
- Teoria de conjunts
- Estadístiques
Taules de veritat en àlgebra booleana
Una taula de veritat representa totes les combinacions de valors d'entrada i sortides de manera tabular. S'hi mostren totes les possibilitats d'entrada i sortida i d'aquí el nom de taula de veritat. En problemes de lògica, les taules de veritat s'utilitzen habitualment per representar diversos casos. T o 1 denota 'vertader' i F o 0 denota 'fals' a la taula de veritat.
Exemple: dibuixeu la taula de veritat de les condicions A + B i A.B on A i b són variables booleanes.
Solució:
La taula de veritat necessària és,
| A | B | X = A + B | I = A.B |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
| F | F | F | F |
Regles d'àlgebra booleana
A l'àlgebra de Boole hi ha diferents regles fonamentals per a l'expressió lògica.
- Representació binària: A l'àlgebra booleana les variables només poden tenir dos valors, 0 o 1, on 0 representa Baix i 1 representa alt. Aquestes variables representen estats lògics del sistema.
- Representació del complement: El complement de les variables es representa amb (¬) o (‘) sobre la variable. Això indica una negació lògica o inversió del valor de la variable. Així que el complement de la variable A es pot representar per
overline{A} , si el valor de A=0, el seu complement és 1. - O Operació: L'operació OR es representa amb (+) entre les variables. L'operació OR retorna cert si almenys un dels operands és cert. Per exemple, prenem tres variables A,B,C, l'operació OR es pot representar com A+B+C.
- I Operació: L'operació AND es denota amb (.) entre les variables. L'operació AND retorna cert només si tots els operands són certs. Per exemple, prenem tres variables A,B,C, l'operació AND es pot representar A.B.C o ABC.
Lleis per a l'àlgebra de Boole
Les lleis bàsiques de l'àlgebra de Boole s'afegeixen a la taula que s'afegeix a continuació,
| Llei | forma OR | I forma |
|---|---|---|
| Llei d'identitat | P + 0 = P | P.1 = P |
| Llei idempotent | P + P = P | P.P = P |
| Dret commutatiu | P + Q = Q + P | P.Q = Q.P |
| Dret associatiu | P + (Q + R) = (P + Q) + R | P.(Q.R) = (P.Q).R |
| Dret distributiu | P + QR = (P + Q). (P + R) | P.(Q + R) = P.Q + P.R |
| Llei d'inversió | (A’)’ = A | (A’)’ = A |
| De Morgan’s Law | (P + Q)’ = (P)’.(Q)’ | (P.Q)’ = (P)’ + (Q)’ |
Coneixem amb detall aquestes lleis.
Llei d'identitat
A l'àlgebra de Boole, tenim elements d'identitat per a les operacions AND(.) i OR(+). La llei d'identitat estableix que a l'àlgebra booleana tenim tals variables que en operar amb l'operació AND i OR obtenim el mateix resultat, és a dir.
- A + 0 = A
- A.1 = A
Dret commutatiu
Les variables binàries en àlgebra de Boole segueixen la llei commutativa. Aquesta llei estableix que les variables booleanes operatives A i B són similars a les variables booleanes operatives B i A. És a dir,
- A.B = B.A
- A + B = B + A
Dret associatiu
La llei associativa estableix que l'ordre d'execució de l'operador booleà és il·lògic, ja que el seu resultat és sempre el mateix. Això es pot entendre com,
- (A.B). C = A. (B.C)
- ( A + B ) + C = A + ( B + C)
Dret distributiu
Les variables booleanes també segueixen la llei distributiva i l'expressió de la llei distributiva es dóna com:
- A . ( B + C) = (A . B) + (A . C)
Llei d'inversió
La llei d'inversió és l'única llei de l'àlgebra de Boole. Aquesta llei estableix que el complement del complement de qualsevol nombre és el nombre en si.
- (A’)’ = A
A part d'aquestes altres lleis s'esmenten a continuació:
I Dret
La llei AND de l'àlgebra booleana utilitza l'operador AND i la llei AND és,
- A . 0 = 0
- A . 1 = A
- A . A = A
O Dret
La llei OR de l'àlgebra booleana utilitza l'operador OR i la llei OR és,
- A + 0 = A
- A + 1 = 1
- A + A = A
També es diuen les lleis de De Morgan De morgan’s Theorem . Són les lleis més importants Àlgebra de Boole i aquests s'afegeixen a continuació sota l'encapçalament Teorema de l'àlgebra de Boole
Teoremes de l'àlgebra de Boole
Hi ha dos teoremes bàsics de gran importància en l'àlgebra de Boole, que són les primeres lleis de De Morgan i les segones lleis de De Morgan. Aquests també s'anomenen teoremes de De Morgan. Ara aprendrem sobre tots dos en detall.
Primeres lleis de De Morgan
La taula de veritat del mateix es presenta a continuació:
| P | Q | (P)' | (Q)' | (P.Q)' | (P)' + (Q)' |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Podem veure clarament que els valors de veritat de (P.Q)' són iguals als valors de veritat de (P)' + (Q)', corresponents a la mateixa entrada. Per tant, la primera llei de De Morgan és certa.
De Morgan's Second laws
Declaració: El complement de la suma (OR) de dues variables (o expressions) booleanes és igual al producte (AND) del complement de cada variable (o expressió booleana).
(P + Q)’ = (P)’.(Q)’
Prova:
La taula de veritat del mateix es presenta a continuació:
| P | Q | (P)' | (Q)' | (P + Q)' | (P)’.(Q)’ |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | F |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Podem veure clarament que els valors de veritat de (P + Q)' són iguals als valors de veritat de (P)'.(Q)', corresponents a la mateixa entrada. Per tant, la segona llei de De Morgan és certa.
Llegeix més,
Exemples resolts en àlgebra de Boole
Dibuixa la taula de veritat per a P + P.Q = P
Solució:
La taula de veritat per a P + P.Q = P
P Q P.Q P + P.Q T T T T T F F T F T F F F F F F A la taula de veritat, podem veure que els valors de veritat de P + P.Q són exactament els mateixos que P.
Dibuixa la taula de veritat per a P.Q + P + Q
Solució:
La taula de veritat per a P.Q + P + Q
P Q P.Q P.Q + P + Q T T T T T F F T F T F T F F F F
Resol
Solució:
Utilitzant la llei de De Morgan
overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C) Ús de la llei distributiva
tutorial c#
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C Per tant, l'expressió simplificada de l'equació donada
overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C
Conclusió
L'àlgebra booleana serveix com a marc fonamental per representar i manipular expressions lògiques mitjançant variables binàries i operadors lògics. Té un paper crucial en diversos camps com el disseny de lògica digital, la programació d'ordinadors i l'anàlisi de circuits. En proporcionar una manera sistemàtica de descriure i analitzar relacions lògiques, l'àlgebra de Boole permet el desenvolupament de sistemes i algorismes complexos. Els seus principis i operacions, inclosos AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR i XNOR, formen els blocs de construcció per dissenyar circuits lògics, escriure codi eficient i resoldre problemes lògics.
Àlgebra de Boole - Preguntes freqüents
Què és l'àlgebra de Boole?
També es diu àlgebra booleana Àlgebra lògica és una branca de les matemàtiques que tracta les variables booleanes com ara 0 i 1.
Què són els operadors booleans principals?
Hi ha tres operadors booleans principals que són,
- AND (conjunció)
- OR (disjunció)
- NO (negació)
Com minimitzar la funció booleana?
Hi ha diversos mètodes per minimitzar les funcions booleanes, com ara:
- Simplificació algebraica:
- Mapes de Karnaugh (K-Maps):
- Algoritme Quine-McCluskey:
- Mètode de tabulació:
- Condicions de no preocupació:
Quines són les aplicacions de l'àlgebra booleana?
Àlgebra de Boole té diverses aplicacions. S'utilitza per simplificar circuits lògics que són la columna vertebral de la tecnologia moderna.
Què representa 0 en àlgebra booleana?
El 0 polzada Àlgebra de Boole representa una condició falsa o representa la condició d'apagada.
Què representa 1 en àlgebra booleana?
El 1 in Àlgebra de Boole representa una condició veritable o representa la condició d'encesa.
Què són les lleis de l'àlgebra de Boole?
Les lleis d'àlgebra booleana són regles per manipular expressions lògiques amb variables binàries, assegurant la coherència i la simplificació en operacions com la suma, la multiplicació i la complementació, crucials en camps com l'electrònica digital i la informàtica.
Quines són les 5 lleis de l'àlgebra de Boole?
Àlgebra de Boole es regeix per cinc lleis primàries, que serveixen de base per manipular expressions lògiques:
1. Llei d'identitat per a AND
2. Llei d'identitat per a quiròfans
3. Llei complementària per a AND
4. Llei complementària per a OR
5. Llei idempotent
Quines són les 3 lleis de la lògica booleana?
Les tres lleis fonamentals de la lògica booleana són
- La Llei d'Identitat (afegir zero o multiplicar per un manté la variable sense canvis)
- La llei de dominació (afegir una variable al seu complement resulta 1 i multiplicar-la pel seu complement resulta 0)
- La llei commutativa (l'ordre de les variables es pot canviar en suma o multiplicació sense canviar el resultat).
Quin és el teorema de De Morgan?
El teorema de De Morgan afirma que t el complement d'una operació AND lògica és equivalent a l'operació OR dels complements dels termes individuals, i viceversa. És un principi fonamental de l'àlgebra booleana que s'utilitza per simplificar expressions lògiques i optimitzar circuits lògics.