Donada una matriu arr[0..N-1]. Cal fer les operacions següents.
- actualització (l r val) : Afegeix "val" a tots els elements de la matriu de [l r].
- getRangeSum(l r) : Trobeu la suma de tots els elements de la matriu a partir de [l r].
Inicialment, tots els elements de la matriu són 0. Les consultes poden estar en qualsevol ordre, és a dir, hi pot haver moltes actualitzacions abans de la suma de l'interval.
Exemple:
Entrada: N = 5 // {0 0 0 0 0}
Consultes: actualització: l = 0 r = 4 val = 2
actualització: l = 3 r = 4 val = 3
getRangeSum : l = 2 r = 4Sortida: La suma dels elements del rang [2 4] és 12
Explicació: La matriu després de la primera actualització es converteix en {2 2 2 2 2}
La matriu després de la segona actualització es converteix en {2 2 2 5 5}
Enfocament ingenu: Per resoldre el problema seguiu la idea següent:
En el publicació anterior vam parlar de solucions d'actualització de rang i de consulta de punts mitjançant BIT.
rangeUpdate(l r val): afegim 'val' a l'element a l'índex 'l'. Restem 'val' de l'element a l'índex 'r+1'.
getElement(index) [o getSum()]: tornem la suma d'elements de 0 a index que es pot obtenir ràpidament mitjançant BIT.
Podem calcular rangeSum() mitjançant les consultes getSum().
rangSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)java dormirUna solució senzilla és utilitzar les solucions comentades a la publicació anterior . La consulta d'actualització de l'interval és la mateixa. La consulta de suma d'intervals es pot aconseguir fent una consulta d'obtenció per a tots els elements de l'interval.
Enfocament eficient: Per resoldre el problema seguiu la idea següent:
Obtenim la suma del rang utilitzant sumes de prefix. Com assegurar-se que l'actualització es fa de manera que la suma del prefix es pugui fer ràpidament? Considereu una situació en què el prefix suma [0 k] (on 0<= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.
- Cas 1 : 0< k < l
- La consulta d'actualització no afectarà la consulta de suma.
- Cas 2 : l<= k <= r
- Considereu un exemple: Afegiu 2 a l'interval [2 4] la matriu resultant seria: 0 0 2 2 2
Si k = 3 La suma de [0 k] = 4Com aconseguir aquest resultat?
Simplement afegiu el val de lthíndex a kthíndex. La suma s'incrementa amb "val*(k) - val*(l-1)" després de la consulta d'actualització.
- Cas 3 : k > r
- Per a aquest cas hem d'afegir 'val' de lthíndex a rthíndex. La suma s'incrementa amb 'val*r – val*(l-1)' a causa d'una consulta d'actualització.
Observacions:
Cas 1: és senzill ja que la suma continuaria sent la mateixa que abans de l'actualització.
actor govinda
Cas 2: La suma es va incrementar per val*k - val*(l-1). Podem trobar 'val' és semblant a trobar la ithelement en article d'actualització d'interval i consulta de punts . Per tant, mantenim un BIT per a l'actualització d'interval i les consultes de punts, aquest BIT serà útil per trobar el valor a kthíndex. Ara val * k es calcula com gestionar el terme addicional val * (l-1)?
Per gestionar aquest terme addicional, mantenim un altre BIT (BIT2). Actualitza val * (l-1) a lthíndex de manera que quan es realitzi la consulta getSum a BIT2 donarà el resultat com a val*(l-1).
Cas 3: La suma en el cas que 3 s'ha incrementat per 'val*r - val *(l-1)', el valor d'aquest terme es pot obtenir mitjançant BIT2. En lloc d'afegir, restem 'val*(l-1) - val*r' ja que podem obtenir aquest valor de BIT2 afegint val*(l-1) com vam fer en el cas 2 i restant val*r en cada operació d'actualització.
Consulta d'actualització
Actualització (BITree1 l val)
Actualització (BITree1 r+1 -val)
UpdateBIT2(BITree2 l val*(l-1))
ActualitzaBIT2(BITree2 r+1 -val*r)Suma del rang
getSum(BITTree1 k) *k) - getSum(BITTree2 k)
Seguiu els passos següents per resoldre el problema:
- Creeu els dos arbres d'índex binaris utilitzant la funció donada constructBITree()
- Per trobar la suma en un rang determinat, crida a la funció rangeSum() amb paràmetres com a rang donat i arbres indexats binaris
- Crida una suma de funció que retornarà una suma en l'interval [0 X]
- Retorn suma(R) - suma(L-1)
- Dins d'aquesta funció, crida a la funció getSum() que retornarà la suma de la matriu de [0 X]
- Retorna getSum(arbre1 x) * x - getSum(arbre2 x)
- Dins de la funció getSum() creeu una suma entera igual a zero i augmenteu l'índex en 1
- Si bé l'índex és superior a zero, augmenta la suma per Arbre[índex]
- Disminueix l'índex per (índex i (-índex)) per moure l'índex al node pare de l'arbre
- Retorn la suma
- Imprimeix la suma en l'interval donat
A continuació es mostra la implementació de l'enfocament anterior:
C++// C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include
// Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.*; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum(int BITree[] int index) { int sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT(int BITree[] int n int index int val) { // index in BITree[] is 1 more than the index in // arr[] index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[]) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } static void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[] int n int val int l int r) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } static int rangeSum(int l int r int BITTree1[] int BITTree2[]) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } static int[] constructBITree(int n) { // Create and initialize BITree[] as 0 int[] BITree = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Program to test above function public static void main(String[] args) { int n = 5; // Contwo BIT int[] BITTree1; int[] BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2; r = 4; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1; r = 4; System.out.print('Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is '); System.out.print(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) + 'n'); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
# Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum(BITree: list index: int) -> int: summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0: # Add current element of BITree to sum summ += BITree[index] # Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit(BITTree: list n: int index: int val: int) -> None: # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n: # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree[index] += val # Update index to that of parent in update View index += index & (-index) # Returns the sum of array from [0 x] def summation(x: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x) def updateRange(BITTree1: list BITTree2: list n: int val: int l: int r: int) -> None: # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit(BITTree1 n l val) updateBit(BITTree1 n r + 1 -val) # Update BIT2 updateBit(BITTree2 n l val * (l - 1)) updateBit(BITTree2 n r + 1 -val * r) def rangeSum(l: int r: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation(r BITTree1 BITTree2) - summation( l - 1 BITTree1 BITTree2) # Driver Code if __name__ == '__main__': n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [0] * (n + 1) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [0] * (n + 1) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print('Sum of elements from [%d%d] is %d' % (l r rangeSum(l r BITTree1 BITTree2))) # This code is contributed by # sanjeev2552
// C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System; class GFG { // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] static int getSum(int[] BITree int index) { int sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. static void updateBIT(int[] BITree int n int index int val) { // index in BITree[] is 1 more than // the index in []arr index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of // parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] static int sum(int x int[] BITTree1 int[] BITTree2) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } static void updateRange(int[] BITTree1 int[] BITTree2 int n int val int l int r) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } static int rangeSum(int l int r int[] BITTree1 int[] BITTree2) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } static int[] constructBITree(int n) { // Create and initialize BITree[] as 0 int[] BITree = new int[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Code public static void Main(String[] args) { int n = 5; // Contwo BIT int[] BITTree1; int[] BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] int l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2; r = 4; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1; r = 4; Console.Write('Sum of elements from [' + l + '' + r + '] is '); Console.Write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) + 'n'); } } // This code is contributed by 29AjayKumar
<script> // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum(BITreeindex) { let sum = 0; // Initialize result // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1; // Traverse ancestors of BITree[index] while (index > 0) { // Add current element of BITree to sum sum += BITree[index]; // Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index); } return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT(BITreenindexval) { // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1; // Traverse all ancestors and add 'val' while (index <= n) { // Add 'val' to current node of BI Tree BITree[index] += val; // Update index to that of parent in update View index += index & (-index); } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum(xBITTree1BITTree2) { return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } function updateRange(BITTree1BITTree2nvallr) { // Update Both the Binary Index Trees // As discussed in the article // Update BIT1 updateBIT(BITTree1 n l val); updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val); // Update BIT2 updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1)); updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } function rangeSum(lrBITTree1BITTree2) { // Find sum from [0r] then subtract sum // from [0l-1] in order to find sum from // [lr] return sum(r BITTree1 BITTree2) - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } function constructBITree(n) { // Create and initialize BITree[] as 0 let BITree = new Array(n + 1); for (let i = 1; i <= n; i++) BITree[i] = 0; return BITree; } // Driver Program to test above function let n = 5; // Contwo BIT let BITTree1; let BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0 r = 4 val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4; document.write('Sum of elements from [' + l + '' + r+ '] is '); document.write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)+ '
'); // This code is contributed by rag2127 </script>
Sortida
Sum of elements from [14] is 50
Complexitat temporal : O(q * log(N)) on q és el nombre de consultes.
Espai auxiliar: O(N)