En matemàtiques, la suma és l'addició bàsica d'una successió de nombres qualsevol, anomenada sumands o sumands; el resultat és la seva suma o total. En matemàtiques, els nombres, les funcions, els vectors, les matrius, els polinomis i, en general, els elements de qualsevol objecte matemàtic es poden associar amb una operació anomenada suma/suma, denotada com +.

La suma d'una seqüència explícita es denota com una successió d'addicions. Per exemple, la suma de (1, 3, 4, 7) pot basar-se en 1 + 3 + 4 + 7, i el resultat de la notació anterior és 15, és a dir, 1 + 3 + 4 + 7 = 15. Perquè l'operació d'addició és associativa i commutativa, no hi ha necessitat de parèntesis mentre s'enumeren la sèrie/seqüència, i el resultat serà el mateix independentment de l'ordre dels sumands.

Taula de contingut

• Què és la fórmula de suma?
• On utilitzar la fórmula de suma?
• Propietats de la suma
• Fórmules de suma estàndard
• Exemple de fórmula de suma
• Preguntes freqüents sobre la fórmula de suma

Què és la fórmula de suma?

La suma o notació sigma (∑) és un mètode utilitzat per escriure una suma llarga de manera concisa. Aquesta notació es pot adjuntar a qualsevol fórmula o funció.

Per exemple, _i=1 ∑ ¹⁰(i) és una notació sigma de l'addició de la seqüència finita 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 on el primer element és 1 i l'últim element és 10.

Fórmules de suma

On utilitzar la fórmula de suma?

La notació de suma es pot utilitzar en diversos camps de les matemàtiques:

• Seqüència en sèrie
• Integració
• Probabilitat
• Permutació i combinació
• Estadístiques

Nota: Una suma és una forma curta d'addició repetitiva. També podem substituir la suma per un bucle d'addició.

Propietats de la suma

Propietat 1

_i=1 ∑ ⁿc = c + c + c + .... + c (n) vegades = nc

Per exemple: Trobeu el valor de_i=1 ∑ ⁴c.

Utilitzant la propietat 1 podem calcular directament el valor de_i=1 ∑ ⁴c com 4×c = 4c.

Propietat 2

_c=1 ∑ ⁿkc = (k×1) + (k×2) + (k×3) + …. + (k×n) …. (n) vegades = k × (1 + … + n) = k_c=1 ∑ ⁿc

Per exemple: Trobeu el valor de_i=1 ∑ ⁴5i.

Utilitzant les propietats 2 i 1 podem calcular directament el valor de_{i= 1} ∑ ⁴5i com 5 ×_i=1 ∑ ⁴i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50.

Propietat 3

_c=1 ∑ ⁿ(k+c) = (k+1) + (k+2) + (k+3) + …. + (k+n) …. (n) vegades = (n × k) + (1 + … + n) = nk +_c=1 ∑ ⁿc

Per exemple: Trobeu el valor de_i=1∑⁴(5+i).

Utilitzant les propietats 2 i 3 podem calcular directament el valor de_i=1 ∑ ⁴(5+i) com 5×4 +_i=1 ∑ ⁴i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30.

numpy linspace

Propietat 4

_k=1 ∑ ⁿ(f(k) + g(k)) =_k=1 ∑ ⁿf(k) +_k=1 ∑ ⁿg(k)

Per exemple: Troba el valor de_i=1∑⁴(i + i²).

Utilitzant la propietat 4 podem calcular directament el valor de_i=1 ∑ ⁴(i + i²) com_i=1 ∑ ⁴i +_i=1 ∑ ⁴i²= (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40.

Fórmules de suma estàndard

Diverses fórmules de suma són,

Suma dels primers n nombres naturals: (1+2+3+…+n) =_i=1 ∑ ⁿ(i) = [n ×(n +1)]/2

Suma del quadrat dels primers n nombres naturals: (1²+2²+3²+…+n²) =_i=1 ∑ ⁿ(i²) = [n × (n +1) × (2n+1)]/6

Suma del cub dels primers n nombres naturals: (1³+2³+3³+…+n³) =_i=1 ∑ ⁿ(i³) = [n²×(n +1)²)]/4

Suma dels primers n nombres naturals parells: (2+4+…+2n) =_i=1 ∑ ⁿ(2i) = [n ×(n +1)]

Suma dels primers n nombres naturals senars: (1+3+…+2n-1) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1) = n²

Suma del quadrat dels primers n nombres naturals parells: (2²+4²+…+(2n)²) =_i=1 ∑ ⁿ(2i)²= [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3

Suma del quadrat dels primers n nombres naturals senars: (1²+3²+…+(2n-1)²) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1)²= [n(2n+1)(2n-1)] / 3

Suma del cub dels primers n nombres naturals parells: (2³+4³+…+(2n)3) =_i=1 ∑ ⁿ(2i)³= 2[n(n+1)]²

Suma del cub dels primers n nombres naturals senars: (1³+3³+…+(2n-1)³) =_i=1 ∑ ⁿ(2i-1)³= n²(2n²– 1)

Articles relacionats:

• Suma de nombres naturals
• Suma en matemàtiques
• Operacions aritmètiques
• Progressió aritmètica i progressió geomètrica

Exemple de fórmula de suma

Exemple 1: Trobeu la suma dels primers 10 nombres naturals, utilitzant la fórmula de suma.

Solució:

Utilitzant la fórmula de suma per a la suma de n nombre natural_i=1∑ⁿ(i) = [n ×(n +1)]/2

Tenim la suma dels 10 primers nombres naturals =_i=1∑¹⁰(i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

Exemple 2: Trobeu la suma dels 10 primers nombres naturals més grans que 5, utilitzant la fórmula de suma.

Solució:

Segons la pregunta:

Suma dels 10 primers nombres naturals superiors a 5 =_i=6∑¹⁵(i)

=_i=1∑¹⁵(i)-_i=1∑⁵(i)

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 15

= 105

Exemple 3: Trobeu la suma de la seqüència finita donada 1 ² + 2 ² + 3 ² + … 8 ² .

Solució:

treball informàtic

La seqüència donada és 1²+ 2²+ 3²+ … 8², es pot escriure com_i=1∑⁸i²utilitzant la propietat/fórmula de suma

_i=1∑⁸i²= [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6

= 204

Exemple 4: simplificar _c=1 ∑ ⁿ kc.

Solució:

Donada la fórmula de suma =_c=1∑ⁿkc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n termes)

nombre sencer doble java

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1∑ⁿkc = k _c=1 ∑ ⁿ c

Exemple 5: Simplifica i avalua x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x).

Solució:

La suma donada és_x=1∑ⁿ(4+x)

Com ho sabem_c=1∑ⁿ(k+c) = nk +_c=1∑ⁿc

La suma donada es pot simplificar com,

4n+ _x=1 ∑ ⁿ (x)

Exemple 6: simplificar _x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² ).

Solució:

La suma donada és_x=1∑ⁿ(2x+x²).

com ho sabem_k=1∑ⁿ(f(k) + g(k)) =_k=1∑ⁿf(k) +_k=1∑ⁿg(k)

la suma donada es pot simplificar com _x=1 ∑ ⁿ (2x) + _x=1 ∑ ⁿ (x ² ).

Preguntes freqüents sobre la fórmula de suma

Què és la fórmula de suma de nombres naturals?

La suma dels nombres naturals de l'1 al n, es troba mitjançant la fórmula n (n + 1) / 2. Per exemple, la suma dels primers 100 nombres naturals és 100 (100 + 1) / 2 = 5050.

Què és la fórmula de suma general?

Fórmula general de suma que s'utilitza per trobar la suma d'una successió {a₁, a₂, a₃,…,a_n} és, ∑a _i = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _n

Com s'utilitza ∑?

∑ és el símbol de la suma i s'utilitza per trobar la suma de sèries.

Quina és la fórmula per a la suma n?

La fórmula per a la suma de n nombres naturals és, la fórmula de la suma de n nombres és [n(n+1)2]