L'àrea sota corba és l'àrea tancada per la corba i els eixos de coordenades, es calcula prenent rectangles molt petits i després prenent la seva suma si prenem rectangles infinitament petits llavors la seva suma es calcula prenent el límit de la funció així formada.

Per a una funció donada f(x) definida a l'interval [a, b], l'àrea (A) sota la corba de f(x) de 'a' a 'b' ve donada per A = ∫ _a ^b f(x)dx . L'àrea sota una corba es calcula prenent el valor absolut de la funció sobre l'interval [a, b], sumat en l'interval.

En aquest article, coneixerem l'àrea sota la corba, les seves aplicacions, exemples i altres en detall.

Taula de contingut

• Què és l'àrea sota corba?
• Càlcul de l'àrea sota la corba
• Utilitzant Sumes Reimann
• Utilitzant integrals definides
• Aproximació de l'àrea sota corba
• Càlcul de l'àrea sota corba
• Fórmules d'àrea sota corba

Què és l'àrea sota corba?

L'àrea sota la corba és l'àrea tancada per qualsevol corba amb l'eix x i les condicions de límit donades, és a dir, l'àrea limitada per la funció y = f(x), l'eix x i la línia x = a i x = b. En alguns casos, només hi ha una o cap condició de límit, ja que la corba talla l'eix x una o dues vegades respectivament.

L'àrea sota la corba es pot calcular mitjançant diversos mètodes com la suma de Reimann i Definit integral i també podem aproximar l'àrea utilitzant les formes bàsiques, és a dir, triangle, rectangle, trapezi, etc.

Llegeix amb detall: Càlcul en matemàtiques

Càlcul de l'àrea sota la corba

Per calcular l'àrea sota una corba, podem utilitzar els mètodes següents, com ara:

• Utilitzant Sumes Reimann
• Utilitzant integrals definides
• Utilitzant l'aproximació

Estudiem aquests mètodes en detall de la següent manera:

Utilitzant Sumes Reimann

Sumes Reimann es calcula dividint la gràfica d'una funció donada en rectangles més petits i sumant les àrees de cada rectangle. Com més rectangles considerem subdividint l'interval proporcionat, més precisa serà l'àrea calculada per aquesta aproximació; no obstant això, com més subintervals considerem, més difícils són els càlculs.

La suma de Reimann es pot classificar en tres categories més com ara:

• Esquerra Reimann Sum
• Dret Reimann Sum
• Punt mitjà Suma Reimann

L'àrea que utilitza la suma de Reimann es dóna de la següent manera:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

on,

• f (x _i ) és el valor de la funció que s'està integrant a i ^th punt de mostra
• Δx = (b-a)/n és l'amplada de cada subinterval,
  • a i b són els límits de la integració i
  • n és el nombre de subintervals
• ∑ representa la suma de tots els termes de i=1 a n,

Exemple: Trobeu l'àrea sota la corba de la funció, f(x) = x ² entre els límits x = 0 i x = 2.

Solució:

Volem trobar l'àrea sota la corba d'aquesta funció entre x = 0 i x = 2. Utilitzarem una suma de Reimann esquerra amb n = 4 subintervals per aproximar l'àrea.

Calculem l'àrea sota la corba utilitzant 4 subintervals.

Així, ample dels subintervals, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Tots els 4 subintervals són,

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

x₀= 0, x₁= 0,5, x₂= 1, x₃= 1,5, x₄= 2

Ara podem avaluar la funció en aquests valors x per trobar les altures de cada rectangle:

f (x₀) = (0)²= 0
f (x₁) = (0.5)²= 0.25
f (x₂) = (1)²= 1
f (x₃) = (1.5)²= 2.25
f (x₄) = (2)²= 4

L'àrea sota la corba ara es pot aproximar sumant les àrees dels rectangles formats per aquestes altures:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0.5[0 + 0.25 + 1 + 2.25] = 1.25

Per tant, l'àrea sota la corba de f(x) = x²entre x = 0 i x = 2, aproximada utilitzant una suma de Reimann esquerra amb 4 subintervals, és aproximadament 1,25.

Utilitzant integrals definides

La integral definida és gairebé la mateixa que la suma de Reimann, però aquí el nombre de subintervals s'aproxima a l'infinit. Si la funció es dóna per a l'interval [a, b], la integral definida es defineix com:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Una integral definida dóna l'àrea exacta sota la corba, a diferència de la suma de Reimann. La integral definida es calcula trobant l'antiderivada de la funció i avaluant-la als límits de la integració.

Àrea respecte a l'eix X

La corba que es mostra a la imatge següent es representa amb y = f(x). Hem de calcular l'àrea sota la corba respecte a l'eix x. Els valors límit de la corba a l'eix x són a i b respectivament. L'àrea A sota aquesta corba respecte a l'eix x es calcula entre els punts x = a i x = b. Considereu la següent corba:

La fórmula per a l'àrea sota la corba w.r.t a l'eix x ve donada per:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

on,

què és l'expressió regular java

• A és l'àrea sota corba
• i o f(x) és l'equació de la corba
• a, i b són valors x o límit d'integració, per als quals hem de calcular l'àrea

Àrea respecte a l'eix Y

La corba que es mostra a la imatge de dalt es representa mitjançant x = f(y). Hem de calcular l'àrea sota la corba respecte a l'eix Y. Els valors límit de la corba a l'eix Y són a i b respectivament. L'àrea A sota aquesta corba respecte a l'eix Y entre els punts y = a i y = b. Considereu la següent corba:

La fórmula per a l'àrea sota la corba w.r.t a l'eix y ve donada per:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

on,

• A és l'àrea sota corba
• x o f(i) és l'equació de la corba
• a, b are i-Intercepts

Aprèn més, Àrea entre dues corbes

Aproximació de l'àrea sota corba

Aproximar l'àrea sota la corba implica utilitzar formes geomètriques simples, com ara rectangles o trapezis, per estimar l'àrea sota la corba. Aquest mètode és útil quan la funció és difícil d'integrar o quan no és possible trobar una antiderivada de la funció. La precisió de l'aproximació depèn de la mida i el nombre de les formes utilitzades.

Càlcul de l'àrea sota corba

Podem calcular fàcilment l'àrea de les diferents corbes utilitzant els conceptes tractats a l'article donat. Considerem ara alguns exemples de càlcul de l'àrea sota la corba per a algunes corbes comunes.

Àrea sota corba: paràbola

Sabem que una paràbola estàndard es divideix en dues parts simètriques per l'eix X o l'eix Y. Suposem que prenem una paràbola y²= 4ax i llavors la seva àrea s'ha de calcular des de x = 0 fins a x = a. I si cal, doblim la seva àrea per trobar l'àrea de la paràbola en tots dos quadrants.

Càlcul d'àrea,

i²= 4ax

y = √(4ax)

A = 2∫₀^ay.dx

A = 2∫₀^a√(4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^a√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Així, l'àrea sota la paràbola de x = 0 a x = a és 8/3a ² unitats quadrades

Àrea sota corba: cercle

Una circumferència és una corba tancada la circumferència de la qual està sempre a la mateixa distància del seu centre. La seva àrea es calcula calculant primer l'àrea del primer quadrant i després multiplicant-la per 4 per als quatre quadrants.

Suposem que prenem una circumferència x²+ i²= a²i llavors la seva àrea s'ha de calcular des de x = 0 fins a x = a en el primer quadrant. I si és necessari multipliquem per quatre la seva àrea per trobar l'àrea del cercle.

Càlcul d'àrea,

x²+ i²= a²

i = √(a²–x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4∫₀^a√(a²–x²).dx

A = 4[x/2√(a²–x²) + a²/2 sense^-1(x/a)]^a₀

A = 4[{(a/2).0 + a²/2.sense^-1} – 0]

A = 4 (a²/2)(p/2)

A = πa²

Així, l'àrea sota el cercle és pa ² unitats quadrades

Àrea sota la corba: el·lipse

Un cercle és una corba tancada. La seva àrea es calcula calculant primer l'àrea del primer quadrant i després multiplicant-la per 4 per als quatre quadrants.

Suposem que prenem una circumferència (x/a)²+ (i/b)²= 1 i llavors la seva àrea s'ha de calcular des de x = 0 fins a x = a en el primer quadrant. I si cal, quadrupliquem la seva àrea per trobar l'àrea de l'el·lipse.

Càlcul d'àrea,

(x/a)²+ (i/b)²= 1

y = b/a√(a²–x²).dx

A = 4∫₀^ay.dx

A = 4b/a∫₀^a√(a²–x²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²–x²) + a²/2 sense^-1(x/a)]^a₀

A = 4b/a[{(a/2).0 + a²/2.sense^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Així, l'àrea sota l'el·lipse és πab unitats quadrades.

Fórmules d'àrea sota corba

La fórmula per a diversos tipus de càlcul de l'àrea sota corba es mostra a continuació:

També, Llegir

• Integrals
• Àrea as Definite Integral

Exemples d'exemple sobre l'àrea sota corba

Exemple 1: Trobeu l'àrea sota la corba y ² = 12x i l'eix X.

Solució:

Donada l'equació de la corba és y²= 12x

Aquesta és una equació de paràbola amb a = 3, per tant, y²= 4(3)(x)

A continuació es mostra el gràfic de l'àrea requerida:

L'eix X divideix la paràbola anterior en 2 parts iguals. Així, podem trobar l'àrea al primer quadrant i després multiplicar-la per 2 per obtenir l'àrea requerida

Així, podem trobar l'àrea requerida com:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 unitats quadrats

Exemple 2: Calcula l'àrea sota la corba x = y ³ – 9 entre els punts y = 3 i y = 4.

Solució:

Donada, l'equació de la corba és x = y³– 9

Els punts límit són (0, 3) i (0, 4)

Com que l'equació de la corba té la forma x = f(y) i els punts també es troben a l'eix Y, utilitzarem la fórmula,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

⇒ A = 139/4 unitats quadrats

Exemple 3: Calcula l'àrea sota la corba y = x ² – 7 entre els punts x = 5 i x = 10.

Solució:

Donat, la corba és y = x²−7 i els punts límit són (5, 0) i (10, 0)

Així, l'àrea sota la corba ve donada per:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 unitats quadrats

Exemple 4: Trobeu l'àrea tancada per la paràbola y ² = 4ax i la recta x = a al primer quadrant.

Solució:

La corba i la línia indicada es poden dibuixar de la següent manera:

Ara, l'equació de la corba és y²= 4ax

Els punts límit resulten ser (0, 0) i (a, 0)

Així, l'àrea respecte a l'eix X es pot calcular com:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Exemple 5: Trobeu l'àrea coberta pel cercle x ² + i ² = 25 al primer quadrant.

Solució:

Donat, x²+ i²= 25

La corba es pot dibuixar com:

L'àrea requerida s'ha ombrejat a la figura anterior. A partir de l'equació podem veure que el radi del cercle és de 5 unitats.

Com, x²+ i²= 25

y = sqrt{25-x^2}

Per trobar l'àrea, utilitzarem:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 unitats quadrats

Preguntes freqüents sobre l'àrea sota corba

Definir l'àrea sota una corba.

La regió tancada per la corba, l'eix i els punts límit s'anomena àrea sota la corba. Utilitzant els eixos de coordenades i la fórmula d'integració, l'àrea sota la corba s'ha determinat com una àrea bidimensional.

Com calcular l'àrea sota una corba?

Hi ha tres mètodes per trobar l'àrea sota la corba, que són:

• Sumes Reimann consisteixen en dividir la corba en rectangles més petits i sumar les seves àrees, amb el nombre de subintervals afectant la precisió del resultat.
• Integrals definides són similars a les Sumes de Reimann però utilitzen un nombre infinit de subintervals per proporcionar un resultat exacte.
• Mètodes d'aproximació S'utilitzen formes geomètriques conegudes per aproximar l'àrea sota la corba.

Quina diferència hi ha entre una integral definida i una suma de Reimann?

La diferència clau entre una integral definida i una suma de Reimann és que una integral definida representa l'àrea exacta sota una corba donada, mentre que una suma de Reimann representa el valor aproximat de l'àrea i la precisió de la suma depèn de la mida de la partició escollida.

L'àrea sota corba pot ser negativa?

Si la corba està per sota de l'eix o es troba als quadrants negatius de l'eix de coordenades, l'àrea sota la corba és negativa. En aquest cas també, l'àrea sota la corba es calcula utilitzant l'enfocament convencional, i després es modula la solució. Fins i tot en els casos en què la resposta és negativa, només es té en compte el valor de l'àrea, no el signe negatiu de la resposta.

Què representa l'àrea sota corba a les estadístiques?

L'àrea sota corba (ROC) és la mesura de la precisió d'una prova de diagnòstic quantitatiu.

Com s'interpreta el signe de l'àrea sota una corba?

El signe d'àrea mostra que l'àrea sota la corba està per sobre de l'eix x o per sota de l'eix x. Si l'àrea és positiva, l'àrea sota la corba està per sobre de l'eix x i si és negativa, l'àrea sota la corba està per sota de l'eix x.

Com s'aproxima l'àrea sota corba?

En segmentar la regió en petits rectangles, es pot estimar aproximadament l'àrea sota la corba. I afegint les àrees d'aquests rectangles, es pot obtenir l'àrea sota la corba.