L'angle entre dos vectors és l'angle entre les seves cues i aquest angle es pot trobar fàcilment mitjançant el producte creuat i el producte puntual de fórmules vectorials. L'angle entre dos vectors sempre està entre 0° i 180°.

En aquest article aprendrem sobre l'angle entre dos vectors, definició, fórmules i exemples en detall.

Què és l'angle entre dos vectors?

L'angle entre dos vectors és l'angle format en la intersecció de les seves cues. L'angle entre dos vectors pot ser, agut, recte o obtus, depenent de la direcció dels vectors.

L'angle entre dos vectors es troba mitjançant dues fórmules:

• Ús del producte puntual de vectors
• Ús del producte creuat de vectors

Això s'explica a la fórmula següent.

Fórmules d'angle entre dos vectors

Angle entre dos vectors es troba fàcilment i amb més freqüència utilitzant el producte escalar de vectors.

Dos vectors A i B

Producte de punts d'A i B ve donada per,

vec{A}.vec{B} = |A| |B| cosθ.

Casos especials

cadena en java

• Quan l'angle entre vectors és de 0 graus.

És a dir θ = 0°

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos0°

⇒ |A| |B| [cos0° = 1]

• Quan l'angle entre vectors és de 180 graus.

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos 180°

⇒ – |A| |B| [cos180° = -1]

• Quan l'angle entre vectors és de 90 graus.

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos90°

⇒ |A| |B| × 0 [cos90° = 0]

⇒ 0

Fórmula per a l'angle entre dos vectors

El cosinus de l'angle entre dos vectors és igual a la suma del producte dels components individuals dels dos vectors, dividit pel producte de la magnitud dels dos vectors.

Dos vectors A i B

vec{A}.vec{B} =| A | | B | cosθ.

cosθ=frac{vec{A}.vec{B}}B

θ= cos^-1 frac{vec{A}.vec{B}}B

En forma cartesiana,

A = A_xi + A_ij + A_Ambk

B = B_xi + B_ij + B_Ambk

cos θ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Propietats del producte Dot

• El producte escalat és commutatiu

vec{A}.vec{B}=vec{B}.vec{A}

• El producte punt és distributiu

vec{A}.(vec{B}+vec{C})=(vec{A}.vec{B}+vec{A}.vec{C})

L'angle entre dos vectors es troba entre 0 ≤ θ ≤ 180. Quan les cues o caps dels dos vectors coincideixen, llavors es calcula l'angle entre vectors.

Coincideix de la cua

Cap coincideix

Exemples de problemes Angle entre dos vectors Fórmula

Problema 1: Trobeu l'angle entre vectors (si formen un triangle equilàter)

• vectors a i b
• vectors b i c
• vectors a i c

Triangle equilàter format per un vector a, b, c

Solució:

• vectors a i b

Per al vector a i b, el cap dels dos vectors coincideix entre si, per tant, l'angle entre el vector a i b és el mateix que l'angle entre dos costats del triangle equilàter = 60°.

• vectors b i c:

A la figura anterior, veiem que el cap o la cua del vector b i c no coincideixen entre si.

Per tant, utilitzant la propietat- Un vector roman sense canvis si es transmet paral·lel a si mateix.

El vector c es desplaça paral·lel a si mateix

índex java de

Ara veiem que la cua dels vectors b i c coincideixen entre si, per tant és el mateix que l'angle exterior que formen amb un triangle equilàter = 120°.

• vectors a i c

La cua de a i c coincideixen

Per als vectors a i c, la cua d'ambdós vectors coincideix entre si, per tant, l'angle entre el vector a i c és el mateix que l'angle entre dos costats del triangle equilàter = 60°.

Problema 2: Trobeu angles entre vectors si formen un triangle rectangle isòsceles.

• vector a i b
• vector b i c
• vectors a i c

Solució:

• vector a i b

Angle recte Triangle isòsceles

A la figura anterior, veiem que el cap o la cua del vector a i b no coincideixen entre si. Per tant, utilitzant la propietat- Un vector roman sense canvis si es transmet paral·lel a si mateix.

un vector es desplaça paral·lel a si mateix

Ara, les cues dels vectors a i b coincideixen entre si i formen un angle igual que l'angle exterior d'un triangle isòsceles angle recte = 135°.

• vector b i c

Angle recte Triangle isòsceles

A la figura anterior, el cap o les cues del vector b i c no coincideixen entre si. Per tant, utilitzant la propietat, un vector roman sense canvis si es transmet paral·lel a si mateix.

El vector b es desplaça paral·lel a si mateix

Ara, les cues dels vectors b i c coincideixen entre si i formen un angle igual que l'angle exterior d'un triangle isòsceles angle recte = 135°.

• vectors a i c

Angle recte Triangle isòsceles

A la figura anterior, el cap o les cues vectorials a i c no coincideixen entre si. Per tant, utilitzant la propietat- Un vector roman sense canvis si es transmet paral·lel a si mateix.

El vector c es mou paral·lel a si mateix

Ara, les cues dels vectors a i c coincideixen entre si i formen un angle igual que l'angle recte del triangle isòsceles = 90°.

programes python

Problema 3: Trobeu l'angle entre els vectors A = i + j + k i el vector B = -2i – 2j – 2k.

Solució:

A partir de la fórmula,

A = A_xi + A_ij + A_Ambk

B = B_xi + B_ij + B_Ambk

cosθ=frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Aquí a la pregunta donada,

A= i + j + k

B= -2i -2j -2k

Substituint els valors de la fórmula

⇒ cosθ =frac{(1.(-2)+1.(-2)+1.(-2))}{(sqrt{1^2+1^2+1^2}×sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2})}

⇒ cosθ =frac{(-2-2-2)}{(sqrt{1+1+1}×sqrt{4+4+4})}

⇒ cosθ =frac{-6}{(sqrt{3}×sqrt{12})}

⇒ cosθ =frac{-6}{(sqrt{36})}

⇒ cosθ = -6/6

⇒ cosθ= -1

⇒ θ = 180°

Problema 4: Trobeu l'angle entre el vector A = 3i + 4j i B = 2i + j

Solució:

A = A_xi + A_ij + A_Ambk

B = B_xi + B_ij + B_Ambk

cosθ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Aquí donat,

A= 3i + 4j + 0k

B= 2i + j + 0k

Substituint els valors de la fórmula,

⇒ cosθ =frac{(3.2+4.1+0.0)}{(sqrt{3^2+4^2+0^2}×sqrt{2^2+1^2+0^2})}

⇒ cosθ =frac{(6+4+0)}{(sqrt{9+16+0}×sqrt{4+1+0})}

⇒ cosθ =frac{(10)}{(sqrt{25}×sqrt{5})}

⇒ cosθ =frac{(10)}{(sqrt{125})}

⇒ θ = cos^-1(frac{(10)}{5.(sqrt{5})})

⇒ θ = cos^-1(frac{2}{(sqrt{5})})

Problema 5: Trobeu l'angle entre el vector A = i + j i el vector B = j + k.

Solució:

A partir de la fórmula,

A = A_xi + A_ij + A_Ambk

B = B_xi + B_ij + B_Ambk

cosθ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Aquí a la pregunta donada,

⇒ A = i + j

⇒ B = j + k

⇒ cosθ =frac{(1.0+1.1+0.1)}{(sqrt{1^2+1^2+0^2}×sqrt{0^2+1^2+1^2})}

⇒ cosθ =frac{(1)}{(sqrt{1+1+0}×sqrt{0+1+1})}

⇒ cosθ =frac{1}{(sqrt{2}×sqrt{2})}

⇒ θ = cos^-1(1/2)

marc de primavera

⇒ θ = 60°