Zeros d'un polinomi són aquells valors reals, imaginaris o complexos quan es posen al polinomi en lloc d'una variable, el resultat es converteix en zero (com el seu nom també indica zero). Els polinomis s'utilitzen per modelar alguns fenòmens físics que succeeixen a la vida real, són molt útils per descriure situacions matemàticament.

Els zeros d'un polinomi són tots els valors x que fan que el polinomi sigui igual a zero. Els zeros d'un polinomi ens parlen de les interseccions x de la gràfica del polinomi. En aquest article, parlarem sobre el zeros d'un polinomi, com trobar-los, el teorema del factor, etc.

Taula de contingut

• Què són els zeros dels polinomis?
• Zeros de Fórmula Polinomial
• Com trobar zero d'un polinomi?
• Per a un polinomi lineal
• Per a un polinomi quadràtic
• Per polinomi cúbic
• Teorema del factor
• Relació entre zeros i coeficient
• Relació entre zeros i coeficient per a l'equació quadràtica
• Relació entre zeros i coeficient per a l'equació cúbica
• Formació d'equacions amb zeros de polinomi
• Zeros en el gràfic de polinomis
• Teorema fonamental de l'àlgebra lineal
• Multiplicitat d'una arrel
• Articles relacionats amb zeros de polinomi
• Exemples de problemes sobre zeros de polinomi
• Pràctica de problemes sobre zeros de polinomi

Què són els zeros dels polinomis?

Per a un polinomi P(x), diem que x = a és el zero del polinomi si P(a) = 0, i tots aquests zeros d'un polinomi s'anomenen comunament zeros d'un polinomi. Per exemple, considereu f(x) = 3x – 12. Ara, poseu x = 4 al polinomi, és a dir, f(4) = 3×4 – 12 = 0. Així, x = 4 és un zero del polinomi f( x) = 3x – 12.

Exemple: per a f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, és x = 1 zero?

Solució:

Per comprovar si x = 1 és zero de f(x) = x³– 6x²+ 11x – 6 o no, posa x = 1 a (x)

f(1) = (1)³– 6×(1)²+ 11×(1) – 6

⇒ f(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 12 -12 = 0

Així, x = 1 és un zero de f(x).

Zeros de Fórmula Polinomial

Per a un polinomi lineal de forma ax + b, el seu zero ve donat per x = -b/a.

Per a un polinomi quadràtic de forma ax²+ bx + c, el seu zero ve donat per x = {- b ± √D}/2a on D és discriminant donat per b²– 4ac.

Com trobar zero d'un polinomi?

Podem trobar els zeros del polinomi per a diversos tipus de polinomis mitjançant diversos mètodes que es comenten a continuació.

• Per a un polinomi lineal
• Per a un polinomi quadràtic
• Per polinomi cúbic

Per a un polinomi lineal

Per als polinomis lineals, trobar zero és el més fàcil de tots. ja que només hi ha un zero i que també es pot calcular mitjançant una simple reordenació del polinomi després del polinomi igualant a 0.

Per exemple, trobeu zero per al polinomi lineal f(x) = 2x – 7.

Solució:

Per trobar zero de f(x), igualeu f(x) a 0.

⇒ 2x – 7 = 0

⇒ 2x = 7

⇒ x = 7/2

Per a un polinomi quadràtic

Hi ha diversos mètodes per trobar arrels o zeros d'un polinomi quadràtic, com ara dividir el terme mitjà, una fórmula quadràtica que també es coneix com la fórmula de Shree Dharacharya, i completar el quadrat que és una mica similar a la fórmula quadràtica, ja que la fórmula quadràtica arriba. a partir de completar el quadrat de l'equació quadràtica general.

Aprendre mes sobre resoldre equacions de segon grau o polinomis i com resoldre'ls. Els exemples següents mostren el mètode per trobar zeros de polinomis quadràtics en detall.

Exemple 1: Trobeu els zeros per a P(x) = x ² + 2x – 15.

Resposta:

x²+ 2x – 15 = 0

⇒ x²+ 5x – 3x – 15 = 0

⇒ x(x + 5) – 3(x + 5) = 0

⇒ (x – 3) (x + 5) = 0

⇒ x = 3, -5

Exemple 2: Trobeu els zeros per a P(x) = x ² – 16x + 64.

Resposta:

x²– 16x + 64 = 0

Comparant amb la destral²+ bx + c = 0,

obtenim, a = 1, b = -16 i c = 64.

Així,

⇒ x = 8, 8

Per polinomi cúbic

Per trobar zeros de cúbics hi ha moltes maneres, com ara el teorema de l'arrel racional i la divisió llarga juntes. Un mètode per trobar arrels de polinomis cúbics o de qualsevol grau superior és el següent:

Pas 1: Utilitzeu el teorema de l'arrel racional per trobar les arrels possibles. és a dir, si un polinomi té una arrel racional ha de ser la divisió de p/q, on p és la constant entera i q és el coeficient principal.

Pas 2: Després de trobar una arrel, divideix el polinomi amb el factor format per aquesta arrel utilitzant la divisió llarga i escriu el polinomi com a producte del quocient i del dividend.

Pas 3: Si el quocient és una expressió quadràtica, resol-ho amb els mètodes esmentats anteriorment per als polinomis quadràtics. Si no és un polinomi de grau 2, repetiu els passos 1 i 2 fins que el quocient es converteixi en un polinomi de grau 2.

Pas 4: El resultat del pas 3 són els factors requerits i, igualant el factor a 0, podem trobar els zeros del polinomi.

Exemple: Trobeu els zeros del polinomi cúbic p(x) = x ³ + 2x ² – 5x – 6.

Solució:

p(x) = x³+ 2x²– 5x – 6

Com p/q = -6

Segons el teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals possibles del polunomial són divisors de p/q.

Així, divisors = ±1, ±2, ±3, ±6

x = -1, en p(x), obtenim

p(-1) = (-1)³+ 2(-1)²– 5(-1) – 6

⇒ p(-1) = -1 + 2 + 5 – 6 = 0

Així, segons el teorema del factor, x + 1 és el factor de p(x).

Així, x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x²+x – 6)

⇒ x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x-2)(x+3)

Per a zeros, p(x) = 0,

Els zeros de p(x) són x = -1, x = 2 i x = -3.

Teorema del factor

Per al polinomi P(x), el teorema del factor estableix que si x =a és zero de P(X) si x – a és un factor de P(x). és a dir, les dues condicions següents s'han de complir.

• Si a és zero de P(x), aleshores x−a serà un factor de P(x)
• Si x−a és un factor de P(x), llavors a serà un zero de P(x)

Això es pot comprovar mirant exemples anteriors. El teorema del factor pot donar lloc a alguns resultats interessants, que són els següents:

Resultat 1: Si P(x) és un polinomi de grau n, i r és un zero de P(x), llavors P(x) es pot escriure de la següent forma:

P(x) = (x – r) Q(x)

On Q(x) és un polinomi de grau n-1 i es pot trobar dividint P(x) per (x – r).

Resultat 2: Si P(x) = (x-r)Q(x) i x = t és un zero de Q(x), llavors x = t també serà un zero de P(x).

Per comprovar el fet anterior,

Suposem que t és zero Q(x), el que significa Q(t) = 0.

Sabem que r és un zero del polinomi P(x), on P(x) = (x – r) Q(x),

Per tant, hem de comprovar si x = t també és un zero de P(x), posem x = t a P(x)

⇒ P(t) = (t – r) Q(t) = 0

Per tant, x = t també és un zero P(x).

Per tant, provat.

Relació entre zeros i coeficient

La relació entre els zeros i el coeficient de l'equació quadràtica i cúbica es discuteix a continuació.

Relació entre zeros i coeficient per a l'equació quadràtica

Per a una equació de segon grau de la forma ax²+ bx + c = 0, si els dos zeros de l'equació quadràtica són α i β, aleshores

• Suma de l'arrel = α + β = -b/a
• Producte de les arrels = α × β = c/a

Relació entre zeros i coeficient per a l'equació cúbica

Si α, β i γ són l'arrel de l'eix polinomi cúbic³+ bx²+ cx + d = 0, aleshores la relació entre els seus zeros i coeficients es dóna de la següent manera:

• a + b + c = -b/a
• α × β × γ= -d/a
• αβ + αγ + βγ = c/a

Formació d'equacions amb zeros de polinomi

• Per a un polinomi quadràtic amb zeros α i β, el polinomi quadràtic ve donat per

x ² – (a + b)x + ab .

• Per a un polinomi cúbic amb tres zeros α, β i γ, el polinomi cúbic ve donat per

x ³ – (a + b + c )x ² + (ab + ag + bg)x – abg

Zeros en el gràfic de polinomis

A la gràfica de qualsevol polinomi y = f(x), els zeros reals són el punt pel qual la gràfica talla o toca l'eix x. (com un gràfic amb un zero imaginari mai talla l'eix x). En altres paraules, si hi ha 3 solucions reals d'un polinomi cúbic, aleshores la gràfica d'aquest polinomi cúbic talla l'eix x tres vegades, però si només hi ha una solució real per a algun polinomi cúbic, la gràfica només talla l'eix x. un cop.

Teorema fonamental de l'àlgebra lineal

Si P(x) és un polinomi de grau n, llavors P(x) tindrà exactament n zeros, alguns dels quals es poden repetir.

Això vol dir que si enumerem tots els zeros i enumerem cadascun k vegades quan k és la seva multiplicitat. Tindrem exactament n nombres a la llista. Això pot ser útil, ja que ens pot donar una idea de quants zeros hi hauria d'haver en un polinomi. Així que podem deixar de buscar zeros un cop arribem al nostre nombre de zeros requerit.

Multiplicitat d'una arrel

Suposem que tenim un polinomi P(x) = 0 que es factoritza en,

P(x) = (x – r) ^k (x – a) ^m

Si r és un zero d'un polinomi i l'exponent del seu terme que va produir l'arrel és k, diem que r té multiplicitat k . Sovint s'anomenen zeros amb una multiplicitat d'1 senzill els zeros i els zeros amb una multiplicitat de 2 s'anomenen arrels dobles del polinomi.

Exemple: P(x) és un polinomi de grau 5, que s'ha factoritzat per a vostè. Enumera les arrels i la seva multiplicitat.

P(x) = 5x ⁵ −20x ⁴ +5x ³ +50x ² −20x−40=5(x+1) ² (x−2) ³

Solució:

Donat, P(x) = 5(x+1)²(x−2)³

⇒ P(x) = 5(x+1)(x+1)(x+1)(x−2)(x−2)

Per trobar zeros, P(x) = 0

⇒ x = -1, -1, 2, 2, 2

Observeu que -1 apareix dues vegades com a zero, de manera que la seva multiplicitat és 2 mentre que la multiplicitat del zero 2 és 3.

Articles relacionats amb zeros de polinomi

• Polinomi
• Arrels de l'equació quadràtica
• Expressió algebraica

Exemples de problemes sobre zeros de polinomi

Problema 1: donat que x = 2 és un zero de P(x) = x ³ +2x ² −5x−6. Troba els altres dos zeros.

Solució:

A partir del teorema fonamental que hem estudiat anteriorment, podem dir que P(x) tindrà 3 zeros perquè és un polinomi de tres graus. Un d'ells és x = 2.

Així que podem reescriure P(x),

P(x) = (x – 2) Q(x)

Per trobar els altres dos zeros, hem d'esbrinar la Q(x).

Q(x) es pot trobar dividint P(x) per (x-2).

Després de dividir, la Q(x) resulta ser,

Q(x) = x²+ 4x + 3

Els dos zeros restants es poden trobar a partir d'això,

Q(x) = x²+ 3x + x + 3

⇒ x(x + 3) + 1(x + 3)

⇒ (x + 1) (x + 3)

Q(x) = 0,

x = -1, -3

Així, els altres dos zeros són x = -1 i x = -3.

Problema 2: donat que x = r és un zero d'un polinomi, esbrineu els altres zeros del polinomi.

cadenes de concatenació java

P(x) = x ³ -6x ² −16x; r = −2

Solució:

Sabem que x = -2 és zero,

Per tant, P(x) es pot reescriure com, P(x) = (x + 2) Q(x) {Utilitzant l'algoritme de divisió}

Ara per trobar Q(x), fem el mateix que vam fer a la pregunta anterior, dividim P(x) amb (x + 2).

Obtenim,

Q(x) = x²– 8x

Ara per trobar els altres dos zeros, factoritzar Q(x)

Q(x) = x (x – 8) = 0

Per tant, els zeros són x = 0, 8.

Així, tenim tres zeros, x = -2, 0, 8.

Problema 3: Trobeu els zeros del polinomi, 4x ³ -3x ² -25x-6 = 0

Solució:

Truc per resoldre equacions polinomials de grau 3,

Trobeu el nombre enter més petit que pot fer que el valor del polinomi sigui 0, comenceu per 1, -1,2, i així successivament...

trobem que per a x = -2 obtenim que el valor de l'expressió sigui zero.

Per tant, una de les arrels és -2.

Segons el teorema del factor si a és un dels zeros del polinomi, per tant (x-a) és el factor d'un polinomi donat.

Així, seguint aquest {x – (-2)} = (x+2) hi ha un factor pof per sobre del polinomi.

Obtenim una equació de segon grau i ja hi ha zeros.

(4x²-11x-3)(x+2) = 0

Factoritzar l'equació de segon grau,

(4x²-12x+x-3)(x+2) = 0

[4x(x-3)+1(x-3)](x+2) = 0

(4x+1)(x-3)(x+2) = 0

x = -2, x = 3, x = -1/4

Problema 4: Trobeu els zeros del polinomi, 4x ⁶ – 16x ⁴ = 0

Solució:

El polinomi té fins al grau 6, per tant, existeixen 6 zeros del polinomi.

4x⁴(x²-4) = 0

4x⁴(x²-2²) = 0

4x⁴[(x+2)(x-2)] = 0

Per tant, x= 0, 0, 0, 0, 2, -2

Problema 5: Trobeu els zeros de la funció polinomial f(x) = x ³ – 2x ² – 5x + 6

Solució:

Per trobar els zeros d'aquest polinomi, posem f(x) = 0 i resolem x:

f(x) = x³– 2x²– 5x + 6 = 0

Com d/a = 6

Segons el teorema de l'arrel racional, totes les arrels racionals possibles del polunomial són,

Divisors de d/a = ±1, ±2, ±3, ±6

x = 1, en p(x), obtenim

f(1) = (1)³– 2(1)²– 5(1) – 6

f(-1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

Així, segons el teorema del factor, x – 1 és el factor de p(x).

Així, x³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1)(x²-x – 6)

x³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1)(x+2)(x-3)

Per a zeros, p(x) = 0,

Els zeros de p(x) són x = 1, x = -2 i x = 3.

Pràctica de problemes sobre zeros de polinomi

1. Troba tots els zeros del polinomi f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6

2. Determineu tots els zeros del polinomi g(x) = 2x ⁴ – 7x ³ + 3x ² + 4x – 4

3. Troba els zeros del polinomi h(x) = x ⁵ – 3x ⁴ + 2x ³ – 6x ² + x + 2

4. Determineu tots els zeros del polinomi p(x) = 3x ⁴ – 16x ³ + 18x ² + 16x – 12.

Preguntes freqüents sobre zeros de polinomi

Què són els zeros d'un polinomi?

Aquests valors reals, perquè el valor del polinomi esdevé 0, és a dir, si p(x) és un polinomi i p(a) = 0, aleshores x = a és el zero de p(x).

Com trobar els zeros d'un polinomi?

Hi ha diversos mètodes per a diversos polinomis diferents per trobar zeros, com per exemple per a quadràtics vessar el terme mitjà i la fórmula quadràtica. Per a la reordenació lineal i simple de variables i per a cúbics, fem servir una combinació de teorema de l'arrel racional, divisió llarga, teorema del factor i teorema de la resta.

Un polinomi pot tenir més d'un zero?

Sí, un polinomi pot tenir més d'un zero, de fet, el polinomi de n graus pot tenir com a màxim n zeros reals.

Quina és la multiplicitat d'un zero d'un polinomi?

En el procés de factorització, un factor o un zero d'un polinomi i després un nombre de vegades un factor o un zero, que s'anomena multiplicitat d'aquesta arrel.

Què és el teorema fonamental de l'àlgebra?

El teorema fonamental de l'àlgebra estableix que Si P(x) és un polinomi de grau n, llavors P(x) tindrà exactament n zeros, alguns dels quals es poden repetir.

Un polinomi amb un grau n sempre té n arrels reals?

No, un polinomi de grau n no sempre té n arrels reals, ja que algunes arrels poden ser nombres imaginaris o complexos.

Quin és el grau de polinomi zero?

El grau de polinomi zero és zero.