Projecció vectorial és l'ombra d'un vector sobre un altre vector. El vector de projecció s'obté multiplicant el vector pel Cos de l'angle entre els dos vectors. Un vector té magnitud i direcció. Es diu que dos vectors són iguals si tenen la mateixa magnitud i la mateixa direcció. La projecció vectorial és essencial per resoldre numèrics en física i matemàtiques.

En aquest article, coneixerem què és la projecció vectorial, l'exemple de fórmula de projecció vectorial, la fórmula de projecció vectorial, la derivació de la fórmula de projecció vectorial, la fórmula de projecció vectorial àlgebra lineal, la fórmula de projecció vectorial 3d i alguns altres conceptes relacionats en detall.

Taula de contingut

• Què és la projecció vectorial?
• Fórmula de projecció vectorial
• Derivació de la fórmula de projecció vectorial
• Exemples de fórmules de projecció vectorial
• Aplicacions pràctiques i significat de la projecció vectorial
• Exemples de resolució de problemes del món real de projecció vectorial

Què és la projecció vectorial?

La projecció vectorial és un mètode per girar un vector i col·locar-lo en un segon vector. Per tant, s'obté un vector quan un vector es resol en dues components, paral·leles i perpendiculars. El vector paral·lel s'anomena vector de projecció. Així, la projecció vectorial és la longitud de l'ombra d'un vector sobre un altre vector.

La projecció vectorial d'un vector s'obté multiplicant el vector pel Cos de l'angle entre els dos vectors. Suposem que tenim dos vectors ‘a’ i ‘b’ i hem de trobar la projecció del vector a sobre el vector b, llavors multiplicarem el vector ‘a’ per cosθ on θ és l’angle entre el vector a i el vector b.

Fórmula de projecció vectorial

Sivec Aes representa com A ivec Bes representa com B, la projecció vectorial de A sobre B es dóna com el producte de A per Cos θ on θ és l'angle entre A i B. L'altra fórmula per a la projecció vectorial d'A sobre B es dóna com el producte de A i B dividit per la magnitud de B. El vector de projecció obtingut és un múltiple escalar de A i té una direcció en la direcció de B.

Derivació de la fórmula de projecció vectorial

La derivació de la fórmula de projecció vectorial es discuteix a continuació:

Suposem, OP =vec Ai OQ =vec Bi l'angle entre OP i OQ és θ. PN dibuixat perpendicularment a OQ.

En el triangle rectangle OPN, Cos θ = ON/OP

⇒ ON = ON Cos θ

⇒ ON = |vec A| Cos θ

ON és el vector de projecció devec Aactivatvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

string comparar amb java

⇒ ON =frac{vec A.vec B}

Per tant, ON =|vec A|.hat B

Així la Projecció Vectorial devec Aactivatvec Bes dóna comfrac{vec A.vec B}

la projecció vectorial devec Bactivatvec Aes dóna comfrac{vec A.vec B}

Comproveu també: Tipus de Vectors

Termes importants de projecció vectorial

Per trobar la projecció vectorial hem d'aprendre a trobar l'angle entre dos vectors i també a calcular el producte escalat entre dos vectors.

Angle entre dos vectors

L'angle entre els dos vectors es dóna com la inversa del cosinus del producte escalat de dos vectors dividit pel producte de la magnitud de dos vectors.

Suposem que tenim dos vectorsvec Aivec Bangle entre ells és θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Producte puntual de dos vectors

Suposem que tenim dos vectorsvec Aivec BDefinit comvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kivec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k llavors el producte escalat entre ells es dóna com

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Article relacionat:

substituir un color a gimp

• Addició de vectors
• Unitat Vector
• Àlgebra vectorial
• Àlgebra linial

Exemples de fórmules de projecció vectorial

Exemple 1. Trobeu la projecció del vector 4hat i + 2hat j + hat k activat 5hat i -3hat j + 3hat k .

Solució:

Aquí,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Sabem, projecció del vector a sobre el vector b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

Exemple 2. Trobeu la projecció del vector 5hat i + 4hat j + hat k activat 3hat i + 5hat j – 2hat k

Solució:

Aquí,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Sabem, projecció del vector a sobre el vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Exemple 3. Trobeu la projecció del vector 5hat i – 4hat j + hat k activat 3hat i – 2hat j + 4hat k

Solució:

Aquí,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Sabem, projecció del vector a sobre el vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Exemple 4. Trobeu la projecció del vector 2hat i – 6hat j + hat k activat 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Solució:

Aquí,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

alineació d'imatges en css

Sabem, projecció del vector a sobre el vector b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Exemple 5. Trobeu la projecció del vector 2hat i – hat j + 5hat k activat 4hat i – hat j + hat k .

Solució:

Aquí,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

Sabem, projecció del vector a sobre el vector b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Comprovar: Operacions vectorials

comanda zip a linux

Aplicacions pràctiques i significat de la projecció vectorial

Física

• Descomposició de força : En física, la fórmula de projecció vectorial és crucial per descompondre les forces en components paral·lels i perpendiculars a les superfícies. Per exemple, entendre la força que exerceix una corda en un joc d'estira i arrossegament requereix projectar el vector de força a la direcció de la corda.

• Càlcul del treball : El treball realitzat per una força durant el desplaçament es calcula mitjançant la projecció vectorial. El treball és el producte escalat del vector de força i el vector de desplaçament, essencialment projectant un vector sobre un altre per trobar la component de la força en la direcció del desplaçament.

Enginyeria

• Anàlisi Estructural : Els enginyers utilitzen la projecció vectorial per analitzar les tensions dels components. En projectar vectors de força sobre eixos estructurals, poden determinar els components de la tensió en diferents direccions, ajudant en el disseny d'estructures més segures i eficients.

• Dinàmica de fluids : En dinàmica de fluids, la projecció vectorial ajuda a analitzar el flux de fluids al voltant dels objectes. En projectar vectors de velocitat del fluid a les superfícies, els enginyers poden estudiar patrons i forces de flux, crucials per al disseny aerodinàmic i l'enginyeria hidràulica.

Grafics d'ordinador

• Tècniques de renderització : La projecció vectorial és fonamental en gràfics per ordinador per representar ombres i reflexos. Projectant vectors de llum a les superfícies, el programari de gràfics calcula els angles i les intensitats de les ombres i els reflexos, millorant el realisme dels models 3D.

• Animació i desenvolupament de jocs : En animació, la projecció vectorial s'utilitza per simular moviments i interaccions. Per exemple, determinar com es mou un personatge sobre un terreny irregular implica projectar vectors de moviment a la superfície del terreny, permetent animacions realistes.

Comprovar: Vectors bàsics en àlgebra lineal

Exemples de resolució de problemes del món real de projecció vectorial

Exemple 1: Navegació GPS

• Context : En els sistemes de navegació GPS, la projecció vectorial s'utilitza per calcular el camí més curt entre dos punts de la superfície terrestre.
• Aplicació : En projectar el vector de desplaçament entre dues ubicacions geogràfiques sobre el vector de la superfície terrestre, els algorismes GPS poden calcular amb precisió distàncies i direccions, optimitzant les rutes de viatge.

Exemple 2: Analítica esportiva

• Context : En l'analítica esportiva, especialment en el futbol o el bàsquet, la projecció vectorial ajuda a analitzar els moviments dels jugadors i les trajectòries de la pilota.
• Aplicació : En projectar els vectors de moviment dels jugadors al camp de joc o a la pista, els analistes poden estudiar patrons, velocitats i eficiència dels moviments, contribuint a la planificació estratègica i a la millora del rendiment.

Exemple 3: Enginyeria d'Energies Renovables

• Context : En el disseny d'aerogeneradors, la comprensió dels components de la força del vent és essencial per optimitzar la producció d'energia.
• Aplicació : Els enginyers projecten vectors de velocitat del vent sobre el pla de les pales de la turbina. Aquesta anàlisi ajuda a determinar l'angle i l'orientació òptims de les pales per maximitzar la captura d'energia eòlica.

Exemple 4: realitat augmentada (AR)

• Context : En aplicacions de realitat augmentada, la projecció vectorial s'utilitza per col·locar amb precisió objectes virtuals en espais del món real.
• Aplicació : Projectant vectors d'objectes virtuals a plans del món real capturats per dispositius AR, els desenvolupadors poden assegurar-se que els objectes virtuals interactuen de manera realista amb l'entorn, millorant l'experiència de l'usuari.

Comprovar: Components del vector

Preguntes freqüents sobre projecció vectorial

Definir el vector de projecció.

El vector de projecció és l'ombra d'un vector sobre un altre vector.

Què és la fórmula de projecció vectorial?

La fórmula per a la projecció del vector es dóna comfrac{vec A.vec B}

Com trobar el vector de projecció?

El vector de projecció es troba calculant el producte escalat dels dos vectors dividit pel sobre el qual es projecta l'ombra.

Quins són els conceptes necessaris per calcular el vector de projecció?

Hem de conèixer l'angle entre dos vectors i el producte escalat de dos vectors per calcular la projecció vectorial.

On s'utilitza el vector de projecció?

El vector de projecció s'utilitza per resoldre diverses físiques numèriques que requereixen que la quantitat vectorial es divideixi en els seus components.

Quina és la importància de la projecció vectorial en física?

En física, la projecció vectorial és crucial per descompondre forces, calcular el treball realitzat per una força en una direcció específica i analitzar el moviment. Ajuda a entendre com els diferents components d'un vector contribueixen als efectes en diverses direccions.

La projecció vectorial pot ser negativa?

Sí, la component escalar d'una projecció vectorial pot ser negativa si l'angle entre els dos vectors és superior a 90 graus, la qual cosa indica que la projecció va en la direcció oposada al vector base.

Com s'utilitza la projecció vectorial en enginyeria?

Els enginyers utilitzen la projecció vectorial per analitzar les tensions estructurals, optimitzar els dissenys descomposant forces en components manejables i en dinàmica de fluids per estudiar els patrons de flux contra superfícies.

Quina diferència hi ha entre la projecció escalar i la projecció vectorial?

La projecció escalar dóna la magnitud d'un vector en la direcció d'un altre i pot ser positiva o negativa. La projecció vectorial, en canvi, no només considera la magnitud sinó que també dóna la direcció de la projecció com a vector.

Quines són les aplicacions del món real de la projecció vectorial?

La projecció vectorial té aplicacions en navegació GPS, anàlisis esportives, gràfics per ordinador per a la representació d'ombres i reflexos, i en realitat augmentada per col·locar objectes virtuals en espais del món real.