La lògica proposicional és una branca de les matemàtiques que estudia les relacions lògiques entre proposicions (o enunciats, oracions, assercions) considerades com un tot i connectades mitjançant connectius lògics.

En aquest article, hem tractat amb detall la lògica proposicional i temes relacionats.

Taula de contingut

• Què és la lògica?
• Lògica proposicional
• Taula de la Veritat
• 1. Negació
• 2. Conjunció
• 3. Disjunció
• 4. Exclusiu O
• 5. Implicació
• 6. Implicació bicondicional o doble

Què és la lògica?

La lògica és la base de tot raonament matemàtic i de tot raonament automatitzat. Les regles de la lògica especifiquen el significat dels enunciats matemàtics. Aquestes regles ens ajuden a entendre i raonar amb afirmacions com ara:

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Que en anglès simple vol dir Hi ha un nombre enter que no és la suma de dos quadrats .

Importància de la lògica matemàtica

Les regles de la lògica donen un significat precís als enunciats matemàtics. Aquestes regles s'utilitzen per distingir entre arguments matemàtics vàlids i no vàlids. A banda de la seva importància en la comprensió del raonament matemàtic, la lògica té nombroses aplicacions en Informàtica, que van des del disseny de circuits digitals fins a la construcció de programes informàtics i la verificació de la correcció dels programes.

Lògica proposicional

Què és una proposició? Una proposició és el bloc bàsic de la lògica. Es defineix com una oració declarativa que és vertader o fals, però no totes dues. El Valor de Veritat d'una proposició és Vertader (indicat com a T) si és un enunciat vertader, i Fals (indicat com a F) si és un enunciat fals. Per exemple,

1. El sol surt per l'est i es pon per l'oest.
2. 1 + 1 = 2
3. 'b' és una vocal.

Totes les frases anteriors són proposicions, on les dues primeres són vàlides (vertader) i la tercera no és vàlida (fals). Algunes frases que no tenen un valor de veritat o poden tenir més d'un valor de veritat no són proposicions. Per exemple,

1. Quina hora es?
2. Sortir i jugar
3. x + 1 = 2

Les frases anteriors no són proposicions ja que les dues primeres no tenen un valor de veritat, i la tercera pot ser vertadera o falsa. Per representar proposicions, variables proposicionals s'utilitzen. Per convenció, aquestes variables es representen amb alfabets petits com arap,:q,:r,:s . L'àrea de la lògica que tracta les proposicions s'anomena càlcul proposicional o lògica proposicional . També inclou la producció de noves propostes utilitzant les existents. Les proposicions construïdes amb una o més proposicions s'anomenen proposicions compostes . Les proposicions es combinen utilitzant Connexions lògiques o Operadors lògics .

Lògica proposicional

estats als EUA

Taula de la Veritat

Com que necessitem conèixer el valor de veritat d'una proposició en tots els escenaris possibles, considerem totes les combinacions possibles de les proposicions que s'uneixen per connectives lògiques per formar la proposició composta donada. Aquesta compilació de tots els escenaris possibles en format tabular s'anomena a taula de veritat . Connections lògiques més habituals-

1. Negació

Sip és una proposició, després la negació dep es denota per eg p , que quan es tradueix a l'anglès simple significa- No és el cas que pàg o simplement no pàg . El valor de veritat de -p és el contrari del valor de veritat de pàg . La taula de la veritat -p és:

Exemple, Negació de Avui plou, és No és el cas que avui plou o simplement avui no plou.

2. Conjunció

Per a dues proposicions qualsevolp iq , la seva conjunció es denota perpwedge q , que significap iq . La conjunciópwedge q és cert quan tots dosp iq són vertaderes, en cas contrari falses. La taula de la veritatpwedge q és:

Exemple, Conjunció de les proposicionsp – Avui és divendres iq —Avui plou,pwedge q és Avui és divendres i avui plou. Aquesta proposició és certa només els divendres plujosos i és falsa en qualsevol altre dia plujós o els divendres en què no plou.

3. Disjunció

Per a dues proposicions qualsevolp iq , la seva disjunció es denota perpvee q , que significap oq . La disjunciópvee q és cert quan tampocp oq és vertader, en cas contrari és fals. La taula de la veritatpvee q és:

Exemple, Disjunció de les proposicionsp – Avui és divendres iq —Avui plou,pvee q és Avui és divendres o avui plou. Aquesta proposició és certa en qualsevol dia que sigui un divendres o un dia plujós (inclosos els divendres plujosos) i és falsa en qualsevol dia que no sigui divendres quan tampoc no plou.

4. Exclusiu O

Per a dues proposicions qualsevolp iq , la seva exclusiva o es denota perpoplus q , que vol dir qualsevolp oq però no tots dos. L'exclusiu opoplus q és cert quan tampocp oq és Vertader i Fals quan tots dos són certs o tots dos són falsos. La taula de la veritatpoplus q és:

Exemple, Exclusiu o de les proposicionsp – Avui és divendres iq —Avui plou,poplus q és O avui és divendres o avui plou, però no tots dos. Aquesta proposició és certa en qualsevol dia que sigui un divendres o un dia plujós (sense incloure els divendres plujosos) i és falsa en qualsevol dia que no sigui divendres quan no plou o divendres plujós.

5. Implicació

Per a dues proposicions qualsevolp iq , la declaració sip aleshoresq s'anomena implicació i es denota perp ightarrow q . En la implicacióp ightarrow q ,p s'anomena el hipòtesi o antecedent o premissa iq s'anomena el conclusió o conseqüència . La implicació ésp ightarrow q també s'anomena a enunciat condicional . La implicació és falsa quanp és cert iq és fals en cas contrari és veritat. La taula de la veritatp ightarrow q és:

Un es podria preguntar per quèp ightarrow q cert quanp és fals. Això és perquè la implicació garanteix que quanp iq són certes, llavors la implicació és certa. Però la implicació no garanteix res quan la premissap és fals. No hi ha manera de saber si la implicació és falsa o nop no va passar. Aquesta situació és similar a l'Innocent fins a la posició de culpabilitat provada, el que significa que la implicacióp ightarrow q es considera vertader fins que no es demostri que és fals. Ja que no podem anomenar la implicacióp ightarrow q fals quanp és fals, la nostra única alternativa és dir-ho vertader.

Això es desprèn del Principi d'explosió que diu: Una afirmació falsa implica qualsevol cosa Les declaracions condicionals tenen un paper molt important en el raonament matemàtic, per tant, s'utilitza una varietat de terminologia per expressarp ightarrow q , alguns dels quals s'enumeren a continuació.

Si p, aleshores qp és suficient per a qq quan pa la condició necessària per a p és qp només si qq tret que ≠pq segueixi de p

Exemple, Si és divendres, avui plou és una proposta que és de la formap ightarrow q . La proposició anterior és certa si no és divendres (la premissa és falsa) o si és divendres i plou, i és falsa quan és divendres però no plou.

llista enllaçada

6. Implicació bicondicional o doble

Per a dues proposicions qualsevolp iq , la declaracióp si i només si (iff)q s'anomena bicondicional i es denota perpleftrightarrow q . La declaraciópleftrightarrow q també s'anomena a bi-implicació .pleftrightarrow q té el mateix valor de veritat que(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) La implicació és certa quanp iq tenen els mateixos valors de veritat, i és fals en cas contrari. La taula de la veritatpleftrightarrow q és:

Algunes altres maneres habituals d'expressar-sepleftrightarrow q són:

p és necessari i suficient per a qif p llavors q, i a la inversa si q

Per exemple, avui plou si i només si avui és divendres. és una proposició que és de la formapleftrightarrow q . La proposició anterior és certa si no és divendres i no plou o si és divendres i plou, i és falsa quan no és divendres o no plou. Exercici:

... en java

1) Considereu les afirmacions següents:

• P: Els bons telèfons mòbils no són barats.
• P: Els telèfons mòbils barats no són bons.
• L: P implica Q
• M: Q implica P
• N: P és equivalent a Q

Quina de les opcions següents sobre L, M i N és CORRECTA? (Gate 2014)

(A) Només L és VERDADERA.

(B) Només la M és VERDADERA.

(C) Només N és VERTADER.

(D) L, M i N són VERTADES.

Per a la solució, vegeu PORTA | GATE-CS-2014-(Conjunt-3) | Pregunta 11

2) Quina de les següents no és equivalent a p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Per a la solució, vegeu PORTA | GATE-CS-2015 (Conjunt 1) | Pregunta 65