Un període es defineix com l'interval de temps entre dos punts en el temps, i una funció periòdica es defineix com una funció que es repeteix a intervals regulars o períodes de temps. En altres paraules, una funció periòdica és una funció els valors de la qual es repeteixen després d'un interval de temps específic. Una funció periòdica es representa com f(x + p) = f(x), on p és el període de la funció. L'ona sinusoïdal, l'ona triangular, l'ona quadrada i l'ona de dent de serra són alguns exemples de funcions periòdiques. A continuació es mostren gràfics d'algunes funcions periòdiques, i podem observar que la gràfica de cada funció periòdica té simetria translacional.

Període fonamental d'una funció

El domini d'una funció periòdica abasta tots els valors de nombres reals mentre que el seu rang s'especifica per a un interval fix. Una funció periòdica és aquella en què existeix un nombre real positiu P tal que f (x + p) = f (x), perquè tots x són nombres reals. El període fonamental d'una funció és el menor valor del nombre real positiu P o el període durant el qual una funció es repeteix.

f(x + P) = f(x)

on,

P és el període de la funció i f és la funció periòdica.

Com determinar el període d'una funció?

1. Una funció periòdica es defineix com una funció que es repeteix a intervals o períodes regulars.
2. Es representa com f(x + p) = f(x), on p és el període de la funció, p ∈ R.
3. Període significa l'interval de temps entre les dues ocurrències de l'ona.

Períodes de funcions trigonomètriques

Les funcions trigonomètriques són funcions periòdiques i el període de les funcions trigonomètriques és el següent

• El període de Sin x i Cos x és 2 p .

és a dir, sin(x + 2π) = sin x i cos (x + 2π) = cos x

• El període de Tan x i Cot x és Pi.

és a dir, tan(x + π) = tan x i cot(x + π) = cot x

• El període de Sec x i Cosec x és 2 p.

és a dir, sec(x + 2π) = sec x i cosec(x + 2π) = cosec x

El període de la funció es coneix com la distància entre les repeticions de qualsevol funció. El període d'una funció trigonomètrica és la durada d'un cicle complet. L'amplitud es defineix com el desplaçament màxim d'una partícula en una ona des de l'equilibri. En paraules senzilles, és la distància entre el punt més alt o més baix i el punt mitjà de la gràfica d'una funció. En trigonometria, hi ha tres funcions fonamentals, a saber, sin, cos i tan, els períodes de les quals són períodes 2π, 2π i π, respectivament. El punt inicial de la gràfica de qualsevol funció trigonomètrica es pren com x = 0.

Per exemple, si observem el gràfic cosinus que es mostra a continuació, podem veure que la distància entre dues ocurrències és 2π, és a dir, el període de la funció cosinus és 2π. La seva amplitud és 1.

Gràfic de coseus

Fórmules periòdiques

• Si p és el període de la funció periòdica f (x), aleshores 1/f (x) també és una funció periòdica i tindrà el mateix període fonamental de p que f(x).

Si f (x + p) = f (x),

F (x) = 1/f (x) , doncs F (x + p) = F (x).

• Si p és el període de la funció periòdica f(x), aleshores f (ax + b), a>0 també és una funció periòdica amb un període de p/|a|.

• El període de Sin (ax + b) i Cos (ax + b) és 2π/|a|.
• El període de Tan (ax + b) i Cot (ax + b) és π/|a|.
• El període de Sec (ax + b) i Cosec (ax + b) és 2π/|a|.

• Si p és el període de la funció periòdica f(x), aleshores af(x) + b, a>0 també és una funció periòdica amb un període de p.

• El període de [a Sin x + b] i [a Cos x + b] és 2π.
• El període de [a Tan x + b] i [a Cot x + b] és π.
• El període de [a Sec x + b] i [a Cosec x + b] és 2π.

Pràctica de problemes basats en la funció periòdica

Problema 1: Determineu el període de la funció periòdica cos(5x + 4).

Solució:

Funció donada: cos (5x + 4)

El coeficient de x = a = 5.

Ho sabem,

El període de cos x és 2π.

Per tant, el període de cos(5x + 4) és 2π/ |a| = 2π/5.

factorial al c

Per tant, el període de cos(5x + 4) és 2π/5.

Problema 2: Trobeu el període de f(x) = cot 4x + sin 3x/2.

Solució:

Donada funció periòdica: f(x) = cot 4x + sin 3x/2

Ho sabem,

El període de cot x és π i el període de sin x és 2π.

Per tant, el període de cot 4x és π/4.

Per tant, el període de sin 3x/2 és 2π/(3/2) = 4π/3.

Ara, el càlcul del període de la funció f(x) = cot 4x + sin 3x/2 és,

Període de f(x) = (LCM de π i 4π)/(HCF de 3 i 4) = 4π/1 = 4π.

Per tant, el període de cot 4x + sin 3x/2 és 4π.

Problema 3: Dibuixa la gràfica de y = 3 sin 3x+ 5.

Solució:

Donat que y = 3 sin 3x + 5

L'ona donada té la forma de y = a sin bx + c

A partir del gràfic anterior, podem escriure el següent:

1. Període = 2π/|b| = 2π/3
2. Axis: y = 0 [x-axis ]
3. Amplitud: 3
4. Valor màxim = (3 × 1) + 5 = 8
5. Valor mínim = (3 × -1) + 5 = 2
6. Domini: { x : x ∈ R }
7. Interval = [8, 2]

Problema 4: Determineu el període de la funció periòdica donada 5 sin(2x + 3).

Solució:

Funció donada: 5 sin(2x + 3)

El coeficient de x = a = 2.

Ho sabem,

El període de cos x és 2π.

Per tant, el període de 5 sin(2x + 3) és 2π/ |a| = 2π/2 = π.

Per tant, el període de 5 sin(2x + 3) és π.

Problema 5: Trobeu el període de f (x) = tan 3x + cos 5x.

Solució:

Donada funció periòdica: f(x) =tan 3x + cos 6x.

Ho sabem,

El període de tan x és π i el període de cos x és 2π.

Per tant, el període de tan 3x és π/3.

Per tant, el període de cos 6x és 2π/5.

Ara, el càlcul del període de la funció f(x) = tan 3x + cos 6x és,

Període de f(x) = (LCM de π i 2π)/(HCF de 3 i 5) = 2π/1 = 2π.

Per tant, el període de f (x) = tan 3x + cos 5x és 2π.