El triangle de Pascal és un patró numèric disposat en forma triangular. Aquest triangle proporciona els coeficients per a l'expansió de qualsevol expressió binomial, amb nombres organitzats de manera que formen una forma triangular. és a dir, la segona fila del triangle de Pascal representa els coeficients en (x+y)²etcètera.

En el triangle de Pascal, cada nombre és la suma dels dos nombres anteriors. El triangle de Pascal té diverses aplicacions en teoria de probabilitats, combinatòria, àlgebra i diverses altres branques de les matemàtiques.

Aprenem més sobre El triangle de Pascal, la seva construcció i diversos patrons en el triangle de Pascal en detall en aquest article.

Taula de contingut

• Què és el triangle de Pascal?
• Què és el triangle de Pascal?
• Definició del triangle de Pascal
• La construcció del triangle de Pascal
• Fórmula del triangle de Pascal
• Expansió binomial del triangle de Pascal
• Com utilitzar el triangle de Pascal?
• Patrons triangulars de Pascal
• Suma de files
• Nombres primers en el triangle de Pascal
• Diagonals en el triangle de Pascal
• Seqüència de Fibonacci en el triangle de Pascal
• Propietats del triangle de Pascal
• Exemples del triangle de Pascal

Què és el triangle de Pascal?

Porta el nom del famós filòsof i matemàtic Balise 'Pascal' que va desenvolupar un patró de nombres que comença per l'1 i els nombres de sota són la suma dels números anteriors. Primer, escriu el número 1 per començar a fer el triangle de Pascal. La segona fila s'anota de nou amb dos 1. Es generen altres files utilitzant les files anteriors per fer un triangle de nombres. Cada fila comença i acaba amb un 1.

Una estructura bàsica del triangle de Pascal es mostra a la imatge afegida a continuació,

Què és el triangle de Pascal?

Definim el triangle de Pascal com el conjunt bàsic de nombres disposats en una matriu triangular de manera que cada element del triangle de Pascal és la suma dels dos nombres que hi ha a sobre. El triangle de Pascal comença amb 1 i això va ser proposat per primera vegada pel famós matemàtic francès Balise Pascal i, per tant, el va anomenar Triangle de Pascal.

Aquest triangle representa els coeficients de l'expansió binomial per a diverses potències. (hem d'assegurar-nos que la potència en l'expansió binomial és només un nombre natural, llavors només el triangle de Pascal representa els coeficients en l'expansió binomial).

Definició del triangle de Pascal

El triangle de Pascal és una matriu triangular de nombres en què cada nombre és la suma dels dos que hi ha a sobre.

La construcció del triangle de Pascal

Podem construir fàcilment el triangle de Pad=scal afegint els dos números de la fila anterior per obtenir el següent número de la fila de sota. Podem suposar que la fila zero comença amb un sol element 1 i després l'element de la segona fila és 1 1 que es forma sumant 1+0 i 1+0. De la mateixa manera, els elements de la segona fila són, 1 2 1 2, que es formen sumant, 1+0, 1+1 i 1+0, i així s'obtenen els elements de la tercera fila. Ampliant aquest concepte a l'enèsima fila, obtenim un triangle de Pascal amb n+1 files.

El triangle de Pascal fins a la 3a fila es mostra a la imatge següent,

A la figura anterior, observem fàcilment que el primer i l'últim element de cada fila és 1.

Fórmula del triangle de Pascal

La fórmula del triangle de Pascal és la fórmula que s'utilitza per trobar el nombre que s'ha d'omplir a la columna mth i la fila enèsima. Com sabem que els termes del triangle de Pascal són la suma dels termes de la fila anterior. Per tant, necessitem els elements de la fila (n-1) i les columnes (m-1) i enèsima per obtenir el nombre requerit a la columna m-esima i l'enèsima fila.

Llegeix amb detall: Fórmula del triangle de Pascal

Es donen els elements de la fila enèsima del triangle de Pascal,ⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂, …,ⁿC_n.

La fórmula per trobar qualsevol nombre en el triangle de Pascal és:

ⁿ Cm = ^n-1 C _m-1 + ^n-1 C _m

On,

• ⁿ C _m representa el (m+1)è element de la fila enèsima., i
• n és un nombre enter no negatiu [0 ≤ m ≤ n]

Podem entendre aquesta fórmula utilitzant l'exemple que es comenta a continuació,

Exemple: Trobeu el tercer element a la tercera fila del triangle de Pascal.

Solució:

Hem de trobar el 3r element a la 3a fila del triangle de Pascal.

La fórmula del triangle de Pascal és,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

onⁿC_krepresentar (k+1)^thelement en n^thfila.

Així, el tercer element de la tercera fila és,

linux quin comanda

³C₂=²C₁+²C₂

⇒³C₂= 2 + 1

⇒³C₂= 3

Així, el tercer element de la tercera fila del triangle de Pascal és 3.

Expansió binomial del triangle de Pascal

Podem trobar fàcilment el coeficient de la expansió binomial utilitzant el triangle de Pascal. Els elements de la (n+1)a fila del triangle Pascal representen el coeficient de l'expressió expandida del polinomi (x + y)ⁿ.

Sabem que l'expansió de (x + y)ⁿés,

ordenar una llista de matrius

(x + y)ⁿ= a₀xⁿ+ a₁x^n-1i + a₂x^n-2i²+ … + a_n-1xy^n-1+ a_niⁿ

Aquí, a₀, a₁, a₂, a₃, …., a_nsón el terme de la (n+1)a fila del triangle de Pascal

Per exemple, vegeu l'expansió de (x+y)⁴

(x + y)⁴=⁴C₀x⁴+⁴C₁x³i +⁴C₂x²i²+⁴C₃xy³+⁴C₄x⁰i⁴

⇒ (x + y)⁴= (1)x⁴+ (4)x³y + (6)x²i²+ (4)xy³+ (1)i⁴

Aquí, els coeficients 1, 4, 6, 4 i 1 són els elements de la quarta fila del triangle de Pascal

Com utilitzar el triangle de Pascal?

Utilitzem el triangle de Pascal per trobar els diferents casos dels possibles resultats en condicions de probabilitat. Això es pot entendre amb l'exemple següent, llançant una moneda una vegada obtenim dos resultats, és a dir, H i T, això està representat per l'element de la primera fila del triangle de Pascal.

De la mateixa manera, llançant una moneda dues vegades, obtenim tres resultats, és a dir, {H, H}, {H, T}, {T, H} i {T, T}, aquesta condició està representada per l'element de la segona fila del triangle de Pascal.

Per tant, podem saber fàcilment el nombre possible de resultats en llançar un experiment de moneda simplement observant els elements respectius del triangle Pascal.

La taula següent ens informa sobre els casos en què es llança una moneda una vegada, dues vegades, tres vegades i quatre vegades, i la seva conformitat amb el triangle de Pascal

Patrons triangulars de Pascal

Observem diversos patrons en el triangle de Pascal que són:

• Suma de files
• Nombres primers en triangle
• Diagonals en el triangle de Pascal
• Patró de Fibonacci

Suma de files

En observar de prop el triangle de Pascal podem concloure que la suma de qualsevol fila del triangle de Pascal és igual a una potència de 2. La fórmula per a la mateixa és, Per a qualsevol (n+1)^thfila del triangle de Pascal la suma de tots els elements és 2ⁿ

Aplicant aquesta fórmula a les 4 primeres files del triangle de Pascal obtenim,

1 = 1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

Nombres primers en el triangle de Pascal

Un altre patró molt interessant del triangle de Pascals és que si una fila comença amb un nombre primer (descuidant l'1 al començament de cada fila), aleshores tots els elements d'aquesta fila són divisibles per aquest nombre primer. Aquest patró no és cert per als nombres compostos.

Per exemple, la vuitena fila del triangle de Pascal és,

1 7 21 35 35 21 7 1

Aquí, tots els elements són divisibles per 7.

Per a les files que comencen amb nombres compostos, com ara la cinquena fila,

1 4 6 4 1

El patró no és cert, ja que 4 no divideix 6.

Diagonals en el triangle de Pascal

Cada diagonal cap a la dreta del triangle de Pascal, quan es considera com una seqüència representa els diferents nombres, com ara la primera diagonal dreta representa una seqüència del número 1, la segona diagonal dreta representa nombres triangulars, la tercera diagonal dreta representa els nombres tetraèdrics, la quarta diagonal dreta. representa els nombres de Penèlope i així successivament.

Seqüència de Fibonacci en el triangle de Pascal

Podem obtenir fàcilment la seqüència de Fibonacci simplement sumant els nombres de les diagonals del triangle de Pascal. Aquest patró es mostra a la imatge afegida a continuació,

Propietats del triangle de Pascal

Diverses propietats del triangle de Pascal són:

• Cada nombre del triangle Pascal és la suma del nombre que hi ha a sobre.
• El nombre inicial i final del triangle de Pascal sempre són 1.
• La primera diagonal del triangle de Pascal representa el nombre natural o nombres comptadors.
• La suma d'elements de cada fila del triangle de Pascal es dóna amb una potència de 2.
• Els elements de cada fila són els dígits de la potència d'11.
• El triangle de Pascal és un triangle simètric.
• Els elements de qualsevol fila del triangle de Pascal es poden utilitzar per representar els coeficients d'expansió binomial.
• Al llarg de la diagonal del triangle de Pascal, observem els nombres de Fibonacci.

Articles relacionats amb el triangle de Pascal:

• Teorema del binomi
• Variables aleatòries binomials i distribució binomial

Exemples del triangle de Pascal

Exemple 1: Trobeu el cinquena fila del triangle de Pascal.

Solució:

El triangle de Pascal amb 5 files es mostra a la imatge següent,

Exemple 2: Amplieu amb el triangle Pascal (a + b) ² .

Solució:

Primer escriu les expressions genèriques sense els coeficients.

(a + b)²= c₀a²b⁰+ c₁a¹b¹+ c₂a⁰b²

Ara construïm un triangle de Pascal per a 3 files per esbrinar els coeficients.

Els valors de l'última fila ens donen el valor dels coeficients.

c₀= 1, c₁= 2, c₂=1

(a + b)²= a²b⁰+ 2a¹b¹+ a⁰b²

Així comprovat.

sistema operatiu

Exemple 3: Amplieu amb el triangle Pascal (a + b) ⁶ .

Solució:

Primer escriu les expressions genèriques sense els coeficients.

(a + b)⁶= c₀a⁶b⁰+ c₁a⁵b¹+ c₂a⁴b²+ c₃a³b³+ c₄a²b⁴+ c₅a¹b⁵+ c₆a⁰b⁶

Ara construïm un triangle de Pascal per a 7 files per esbrinar els coeficients.

Els valors de l'última fila ens donen el valor dels coeficients.

c₀= 1, c₁= 6, c₂= 15, c₃= 20, c₄=15, c₅= 6 i c₆= 1.

(a + b)⁶= 1a⁶b⁰+ 6a⁵b¹+ 15a⁴b²+ 20a³b³+ 15a²b⁴+ 6a¹b⁵+ 1a⁰b⁶

Exemple 4: Trobeu el segon element a la tercera fila del triangle de Pascal.

Solució:

Hem de trobar el 2n element a la 3a fila del triangle de Pascal.

Sabem que l'enèsima fila del triangle de Pascal ésⁿC₀,ⁿC₁,ⁿC₂,ⁿC_3…

La fórmula del triangle de Pascal és,

ⁿC_k=^n-1C_k-1+^n-1C_k

onⁿC_krepresentar (k+1)^thelement en n^thfila.

Així, el segon element de la tercera fila és,

.04 com a fracció

³C₁=²C₀+²C₁

= 1 + 2

= 3

Així, el segon element de la tercera fila del triangle de Pascal és 3.

Exemple 5: es llança una moneda quatre vegades, troba la probabilitat d'obtenir exactament 2 cues.

Solució:

Utilitzant la fórmula del triangle de Pascal,

Nombre total de resultats = 2⁴= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Aquí tenim quatre casos en què obtenim 2 cues,

Així,

Probabilitat d'obtenir dues cues = Resultat favorable/Resultat total

= 4/16 = 1/4

Així que la probabilitat d'obtenir exactament dues cues és 1/4 o 25%

Resum: el triangle de Pascal

El triangle de Pascal és una disposició triangular de nombres on cada nombre és la suma dels dos nombres que hi ha a sobre. El nom del matemàtic Blaise Pascal, aquest triangle comença amb un 1 a la part superior, i cada fila comença i acaba amb 1. Els nombres del triangle de Pascal corresponen als coeficients de l'expansió binomial, el que el fa útil en àlgebra, probabilitat i combinatòria. Els patrons dins del triangle inclouen sumes de files que són potències de 2, connexions amb la seqüència de Fibonacci i la presència de nombres primers. El triangle de Pascal també és útil per calcular combinacions i comprendre els resultats en experiments de probabilitat, com ara llançaments de monedes.

Preguntes freqüents sobre el triangle de Pascal

Què és el triangle de Pascal?

La matriu triangular del nombre proposada pel famós matemàtic Balise Pascal s'anomena Triangle de Pascal. Aquest triangle comença amb 1 i a la línia següent els números inicials i finals es fixen en 1 i després es genera el nombre central sumant els dos nombres anteriors.

Quins són els usos del triangle de Pascal?

Els triangles de Pascal tenen diversos usos,

• S'utilitza per trobar el coeficient binomial de l'expansió binomial.
• Proporciona una manera alternativa d'ampliar els termes binomials.
• S'utilitza en àlgebra, teoria de probabilitats, permutació i combinació i altres branques de les matemàtiques.

Quin és l'ús del triangle de Pascal en l'expansió binomial?

Utilitzem el triangle de Pascal per trobar fàcilment el coeficient de qualsevol terme de l'expansió binomial. Qualsevol fila del triangle de Pascal (diguem nth) representa el coeficient de l'expansió binomial del (x+y)ⁿ. Per exemple, la segona fila del triangle de Pascal és, 1 2 1 i l'expansió de (x+y)²

(x+y)²= x²+ 2xy + y²

Aquí, el coeficient de cada terme és 1 2 1 que s'assembla a la segona fila del triangle de Pascal.

Quins són els diferents patrons que es troben al triangle de Pascal?

Diversos patrons que trobem fàcilment al triangle de Pascal són:

• Patró triangular
• Patró parell i parell
• Patró de Fibonacci
• Patró simètric

Què és el 5^thFila del triangle de Pascal?

La cinquena fila del triangle de Pascal es representa a continuació,

1 5 10 10 5 1

Sabem que la suma de tots els elements de qualsevol fila es dóna amb 2ⁿon n representa el nombre de files. Així, la suma de tots els termes de la 5a fila és,

2⁵= 32

Quin és el primer element de cada fila del triangle de Pascal?

El primer element de cada fila del triangle de Pascal és 1. Anomenem aquest terme el 0è terme de la fila.