La funció objectiu és l'objectiu del problema de programació lineal com el seu nom indica. En programació lineal o optimització lineal, utilitzem diverses tècniques i mètodes per trobar la solució òptima al problema lineal amb algunes limitacions. La tècnica també pot incloure restriccions de desigualtat. La funció objectiu de la programació lineal és optimitzar per trobar la solució òptima per a un problema determinat.
En aquest article, aprendrem tot sobre la funció objectiva, incloent-hi la seva definició, tipus, com formular una funció objectiu per a un problema determinat, etc. funcions. Per tant, comencem a aprendre sobre aquest concepte fonamental en la programació lineal, és a dir, la funció objectiva.
Què és la funció objectiva?
Com el seu nom indica, la funció objectiu estableix bàsicament l'objectiu del problema. Se centra en la presa de decisions basades en limitacions. És una funció de valor real que s'ha de maximitzar o minimitzar en funció de les restriccions. És com una funció de guanys o pèrdues. Normalment es denota amb Z.
Les terminologies associades a la funció objectiva són les següents:
- Restriccions: Són bàsicament les equacions condicionals que regeixen la funció lineal
- Variables de decisió: Les variables els valors de les quals cal esbrinar. Les equacions es resolen per obtenir el valor òptim d'aquestes variables.
- Regió factible: És la regió del gràfic on es compleixen les restriccions i les variables de decisió es troben a les cantonades de la regió.
- Solució òptima: La millor solució possible que satisfà totes les limitacions i aconsegueixi l'objectiu més alt o més baix.
- Solució inviable: Una solució que infringeix una o més restriccions i no es pot implementar ni executar.
Funció Objectiva en Programació Lineal
En programació lineal, una funció objectiu és una funció lineal que consta de dues variables de decisió. És una funció lineal que s'ha de maximitzar o minimitzar en funció de les restriccions. Si a i b són constants i x i y són variables de decisió on x> 0 i y> 0, aleshores la funció Objectiu és
Z = ax + by
Per tant, per obtenir el valor òptim de la funció d'optimització primer hem de resoldre les restriccions mitjançant qualsevol de les tècniques i esbrinar les variables de decisió. A continuació, posem els valors de les variables de decisió a la funció Objectiu per generar el valor òptim.
Formulació d'una funció objectiva
La programació lineal consisteix a trobar els valors òptims de les variables de decisió i posar aquests valors a la funció objectiu per generar un valor màxim o mínim. Hi ha moltes tècniques com ara el mètode simplex i el mètode gràfic per resoldre la programació lineal. No obstant això, el mètode gràfic sol ser preferit per la seva senzillesa. Els passos per obtenir els valors òptims de la funció objectiu són els següents:
- Generar les equacions de restricció i la funció objectiu a partir del problema.
- Traceu les equacions de restricció al gràfic.
- Ara identifiqueu la regió factible on es compleixen les restriccions.
- Genereu els valors de les variables de decisió que es troben a les cantonades de la regió factible.
- Posa tots els valors generats a la funció objectiu i genera el valor òptim.
Tipus comuns de funcions objectives
Hi ha dos tipus de funcions objectives.
- Funció Objectiu de Maximització
- Funció objectiu de minimització
Comentem aquests dos tipus amb detall de la següent manera:
Funció Objectiu de Maximització
En aquest tipus, normalment pretenem maximitzar la funció objectiu. Els vèrtexs que es troben després de representar gràficament les restriccions tenen tendència a generar el valor màxim de la funció objectiu. Il·lustrem-ho amb l'ajuda d'un exemple
Exemple: un home inverteix com a màxim 8 hores de temps a fer carteres i motxilles escolars. Inverteix 2 hores en fer carteres i 4 hores en motxilles escolars. El seu objectiu és fer com a màxim 5 carteres i motxilles escolars i vol vendre-les i generar un benefici de 20 rupies en una cartera i 100 rupies en una motxilla escolar. Troba la funció objectiu.
Solució:
Sigui x el nombre de rotis i y el nombre de pa.
Un home pot invertir un màxim de 8 hores invertint 2 hores en fer una cartera i 4 hores en fer una motxilla. Per tant, la primera equació de restricció és
2x + 4y ⩽ 8
⇒ x + 2y ⩽ 4
El nombre màxim que pot fer és 5
x+y ⩽ 5
Denotem la funció objectiu amb Z
Per tant, Z = 20x + 100y
Funció objectiu de minimització
En aquest tipus, normalment pretenem minimitzar la funció objectiu. Els vèrtexs que es troben després de representar gràficament les restriccions tenen tendència a generar el valor mínim de la funció objectiu. Il·lustrem-ho amb l'ajuda d'un exemple
Exemple: tenint en compte que la suma de les dues variables és almenys 20. Es dóna una variable és major que igual a 9. Dedueix la funció objectiu si el cost d'una variable és de 2 unitats i el cost d'una altra variable és de 9 unitats.
Solució:
Siguin x i y les dues variables. Es dona que la suma de les dues variables ha de ser almenys 20.
x+y ⩾ 20
i x ⩾ 9
Per sobre de dues desigualtats hi ha restriccions per a la funció objectiu següent.
Denotem la funció objectiu amb Z. Per tant, Z és
Z = 2x + 9y
Representació matemàtica de la funció objectiva
Com hem comentat sobre la funció objectiu en el context de la programació lineal, però la funció objectiu també pot ser no lineal.
en java
- Funcions objectives lineals: en aquest tipus de funció objectiva, tant les restriccions com les funcions objectives són de naturalesa lineal. Els exponents de les variables són 1.
- Funcions objectives no lineals: en aquest tipus de funció objectiva, tant les restriccions com les funcions objectives són de naturalesa lineal. Els exponents de les variables són 1 o superiors a 1.
Aplicacions de les Funcions Objectives
Les funcions objectives són importants en escenaris de la vida real. Per exemple, aquestes funcions són utilitzades pels empresaris. Els empresaris l'utilitzen per maximitzar els seus beneficis. Les funcions objectives també són útils per a problemes de transport. Mitjançant la configuració d'una funció, es pot analitzar la quantitat de consum de combustible que s'està produint i com l'usuari pot reduir en conseqüència els preus del mateix. Les funcions objectives també són útils en problemes de distància.
Problemes resolts sobre funció objectiva
Problema 1: una persona vol uns cinturons i carteres. Té un estalvi total de 6.000 rupies i vol gastar tots els seus estalvis en la compra de cinturons i carteres per poder vendre'ls més tard. El valor de la cartera és de 20 rupies i el valor del cinturó de 10 rupies. Vol guardar-los en un armari i la capacitat màxima de l'armari és de 50 unitats. Espera un benefici de 2 Rs al cinturó i 3 Rs a la cartera. Trobeu les restriccions i la funció objectiu resultant.
Solució:
Sigui x el nombre de carteres a comprar i y sigui el nombre de cinturons que s'han de comprar. Cal tenir en compte que sempre que s'esmenta el màxim al problema hauríem d'utilitzar '⩽' per trobar les restriccions
La inversió màxima és de 6.000 rupies. La primera equació de restricció és
20x+10y⩽6000
La capacitat màxima d'emmagatzematge de l'armari és de 50
x+y⩽50
Aquí la funció de benefici és bàsicament la funció objectiu. Denotem això amb P. Per tant, la funció de benefici és
P = 3x + 2y
Problema 2: Identificar les equacions de restricció i la funció objectiu a partir del conjunt donat
- 2x + 3y ⩾ 50
- x + y ⩽ 50
- 5x + 4y ⩽ 40
- Z = 7x + 8y
On x i y són majors que 0.
Solució:
Les restriccions poden ser en format de desigualtat o desigualtat. Però una funció objectiva sempre té un símbol d'igualtat
Per tant, les equacions de restricció són
2x + 3y ⩾ 50
x + y ⩽ 50
5x + 4y ⩽ 40
L'equació objectiva és Z = 7x + 8y
Problema 3: una dona inverteix com a màxim 7 hores de temps a fer rotis i pa. Inverteix 2 hores en rotis i 4 hores en pa. Té com a objectiu fer un màxim de 20 pa i rotis i vol vendre'ls i generar un benefici de 2 Rs en roti i 1 Rs en pa. Troba la funció objectiu.
Solució:
Sigui x el nombre de rotis i y el nombre de pa.
Una dona pot invertir un màxim de 7 hores invertint 2 hores en fer un roti i 4 hores en fer un pa. Per tant, la primera equació de restricció és
2x + 4y ⩽ 7
El nombre màxim de pa i rotis que pot fer és de 20
x + y ⩽ 20
Denotem la funció objectiu amb Z
Per tant, Z = 2x + y.
Problema 4: L'empresa vol fabricar el producte A i el producte B. El producte A requereix 4 unitats de cacau en pols i 1 unitat de llet en pols El producte B requereix 3 unitats de cacau en pols i 2 unitats de llet en pols. Hi ha 87 unitats de cacau en pols disponibles i 45 unitats de llet en pols disponibles. El benefici que s'obté amb cada producte és de 3 $ i 5 $ respectivament. Troba la funció objectiu.
Solució:
Sigui x el nombre de producte A i y el nombre d'articles de tipus B.
La quantitat màxima de cacau en pols és de 87 unitats. Per tant, la primera equació de restricció és
4x + 3y ⩽ 87
La quantitat màxima de llet en pols disponible és de 45 unitats. Per tant, la segona equació de restricció és
x + 2y ⩽ 45
Aquí el nostre objectiu és maximitzar els beneficis. Per tant, la nostra funció de benefici és la funció Objectiu. Deixar-lo denotar amb Z
Z = 3x + 5y
Problema 5: S'han de generar dos tipus de paquets d'aliments A i B que contenen vitamines. Hi ha almenys 45 unitats de paquet d'aliments A per estar disponibles i la fabricació d'ambdós paquets d'aliments ha de ser com a mínim 30. Genereu la funció objectiu que es generarà quan el paquet d'aliments A tingui 6 unitats de vitamines i el paquet d'aliments B en tingui 8 unitats. .
Solució:
Sigui x el nombre de paquets d'aliments A i y sigui el nombre de paquets d'aliments B
S'han de disposar com a mínim de 45 paquets d'aliments. Per tant, la primera equació de restricció és
x ⩾ 45
La segona equació de restricció és
x + y ⩾ 30
La funció objectiu és la següent:
Z = 6x + 8y
Preguntes freqüents sobre la funció Objectiva
P1: Quina és la funció objectiu en el problema de programació lineal?
Resposta:
Una funció objectiu és una funció de valor real que s'ha de maximitzar o minimitzar en funció de les restriccions. Comprèn dues variables de decisió.
P2: Quin és l'objectiu de la funció objectiu?
Resposta:
L'objectiu de la funció objectiu és maximitzar o minimitzar el valor resultant. És una equació que s'expressa en termes de variables de decisió i té un paper crucial en la Programació Lineal.
P3: Com entenem si una funció s'ha de maximitzar o minimitzar?
Resposta:
Per comprovar si una funció s'ha de maximitzar o no, hauríem d'estar familiaritzats amb termes com 'com a màxim', 'almenys'. Si es posa en qüestió el terme 'almenys', la funció objectiu s'ha de minimitzar. Per al terme 'com a màxim', la funció s'hauria de maximitzar.
P4: Anomeneu els tipus comuns de funcions objectives.
Resposta:
Hi ha dos tipus de funcions Objectives:
- Funció objectiu de maximització
- Funció objectiu de minimització
P5: Quines són les aplicacions de la funció objectiu?
Resposta:
Hi ha diferents aplicacions de la funció Objectiu. Són útils en escenaris de la vida real. S'utilitzen bàsicament per estimar el benefici o la pèrdua en cada cas. Les funcions objectives són útils en problemes de transport, problemes de restricció de temps, etc.