Les regles de logaritme o les regles de registre són fonamentals per simplificar formulacions complicades que inclouen funcions logarítmiques. Les regles de registre faciliten el càlcul i la manipulació de logaritmes en una varietat d'aplicacions matemàtiques i científiques. De totes aquestes regles de registre, tres de les més habituals són la regla del producte, la regla del quocient i la regla del poder. A part d'aquestes, tenim moltes regles del logaritme, que tractarem més endavant a l'article. Aquest article explora totes les regles dels registres, incloses les derivades i les integrals, en detall amb els exemples de regles de logaritmes. Per tant, comencem a conèixer totes les regles que tenen els logaritmes.

Taula de contingut

• Què són les regles de registre?
• Tipus de logaritmes
• Llista de regles de logaritme
• Regles de registre natural
• Aplicacions del logaritme
• Regla dels logaritmes del producte
• Regla del poder del logaritme
• Regla del quocient dels logaritmes
• Exemples resolts de Regles de registre
• Preguntes pràctiques sobre regles de registre

Què són les regles de registre?

Les regles logarítmiques en matemàtiques són les regles i lleis que s'utilitzen en la simplificació i manipulació d'expressions de funcions logarítmiques. Aquests principis creen relacions entre formes exponencials i logarítmiques i donen una tècnica sistemàtica per gestionar càlculs logarítmics complicats.

Les regles clau són les següents: regla del producte : que ens permet dividir un producte dins d'un logaritme en una suma de logaritmes separats; regla del quocient : que ens permet dividir un quocient dins d'un logaritme en una diferència de logaritmes; regla de poder: que ens permet extreure exponents dins d'un logaritme; regla de canvi de base o canvi de regla de base : que ens permet canviar la base d'un logaritme.

Aquestes lleis són crucials en moltes aplicacions matemàtiques i científiques, fent dels logaritmes una eina valuosa per resoldre equacions, modelar el creixement exponencial i analitzar grans quantitats de dades.

Tipus de logaritmes

Normalment tractem amb dos tipus de logaritmes:

• Logaritme comú
• Logaritme natural

Nota: Pot haver-hi un logaritme amb qualsevol nombre real com a base, però aquests dos, és a dir, el logaritme comú i el natural, són els més comuns i estàndard.

Parlem d'aquests tipus en detall.

Logaritme comú

Un logaritme comú, sovint conegut com a base logarítmica 10 o simplement logaritme, és una funció matemàtica que representa l'exponent al qual s'ha d'augmentar un nombre donat per arribar a un nombre determinat. Calcula la potència de deu necessària per obtenir un nombre determinat.

Per exemple, registre₁₀(100) és igual a 2, perquè 10 elevat a la potència de 2 és igual a 100. El logaritme comú de 100 en aquest cas és 2, mostrant que 10²= 100. Els logaritmes comuns s'utilitzen en molts sectors, com ara la ciència, l'enginyeria i les finances, per simplificar les representacions de nombres enormes i ajudar en càlculs que requereixen potències de 10.

Logaritme natural

El logaritme natural és una funció matemàtica que expressa el logaritme a la base 'e' (número d'Euler, aproximadament 2,71828). És la inversa de la funció exponencial i representa la quantitat de temps necessària perquè una magnitud creixi o disminueixi en un factor constant.

Per exemple, ln (10) ≈ 2,30259 significa que e multiplicada per 2,30259 és igual a 10. El logaritme natural s'utilitza en molts dominis, incloses les matemàtiques, la física i les finances, per descriure fenòmens que mostren un creixement o decadència exponencial, com ara l'expansió de la població, desintegració radioactiva i càlculs d'interès compost.

Què són les regles de logaritme?

Les operacions logarítmiques es poden dur a terme segons regles específiques. Aquestes regles es coneixen com:

• Regla del producte
• Regla del quocient
• Regla Zero
• Regla d'identitat
• Regla de potència o regla exponencial
• Canvi de regla base
• Regla recíproca

A part d'aquestes regles comunes, també podem tenir algunes regles poc comunes, com ara:

• Propietat inversa del logaritme
• Derivada de Log
• Integració de Log

Regla de registre del producte

Segons la regla del producte, el logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes dels seus elements.

Fórmula: registre_a(XY) = registre_aX + registre_aI

Exemple: registre₂(3 × 5) = logaritme₂(3) + registre₂(5)

Regla del quocient del registre

La regla del quocient afirma que el logaritme d'un quocient és igual a la diferència dels logaritmes del numerador i del denominador.

Fórmula: registre_a(X/Y) = log_aX - registre_aI

Exemple: registre₃(9/3) = log₃(9) – registre₃(3)

Regla zero del registre

Segons la regla del zero, el logaritme d'1 a qualsevol base és sempre 0.

Fórmula: registre_a(1) = 0

Exemple: registre₄(1) = 0

Regla d'identitat del registre

Segons la regla d'identitat, el logaritme d'una base és sempre 1.

Fórmula: registre_a(a) = 1

Exemple: registre₇(7) = 1

Regla recíproca

Segons la regla recíproca dels logaritmes, el logaritme del recíproc d'un nombre (1 dividit per aquest nombre) és igual al negatiu del logaritme del nombre original. En notació matemàtica:

Fórmula: registre_a(1/X) = – log_a(X)

Exemple: registre_a(1/2) = – log_a(2)

Regla de potència o regla de registre exponencial

Segons la regla de la potència, el logaritme d'un nombre elevat a un exponent és igual a l'exponent multiplicat pel logaritme de la base.

Fórmula: registre_a(Xⁿ) = n × log_aX

Exemple: registre₅(9²) = 2 × log₅(9)

Canvi de la regla base del registre

La regla de canvi de base us permet calcular el logaritme d'un nombre en una base diferent utilitzant un logaritme comú (normalment base 10 o base e). També s'anomena canvi de regla base Regla de canvi de base.

Fórmula: registre_a(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Exemple: registre₃(7) = registre₁₀(7) / registre₁₀(3)

Propietat inversa del logaritme

La propietat inversa del logaritme afirma que calculant el logaritme d'un valor exponenciat s'obté l'exponent original.

Fórmula: registre_a(aⁿ) = n

Exemple: log₄(4²) = 2

Derivada de Log

La derivada del logaritme natural d'una funció és el recíproc de la funció multiplicat per la derivada de la funció.

Fórmula: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Exemple: Si y = ln(x²), aleshores dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integració de Log

A part de la diferenciació, també podem calcular la integral del logaritme. La integral de la funció Log es dóna de la següent manera:

Fórmula: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Regles de registre natural

Com que els registres naturals i comuns només tenen una diferència de base, les regles per als registres naturals són les mateixes que els registres comú, que ja s'han comentat. L'única diferència és que a les regles de registre natural, en comptes de log (símbol de registre comú amb base 10) utilitzem ln (símbol de la base de registre natural e). Aquestes regles es poden enunciar de la següent manera:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• ln mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• És^{ln x}= x

Aplicacions del logaritme

Vegem algunes de les aplicacions de log.

• Utilitzem logaritmes per calcular l'acidesa i l'alcalinitat de les solucions químiques.
• L'escala de Richter s'utilitza per calcular la intensitat del terratrèmol.
• La quantitat de soroll es mesura en decibels (dB) en una escala logarítmica.
• Els logaritmes s'utilitzen per analitzar processos exponencials com ara la decadència d'isòtops actius, el desenvolupament bacterià, la propagació d'una epidèmia en una població i el refredament d'un cadàver mort.
• S'utilitza un logaritme per calcular el temps d'amortització d'un préstec.
• El logaritme s'utilitza en càlcul per diferenciar equacions difícils i calcular l'àrea sota corbes.

Regla dels logaritmes del producte

Segons la regla del producte per als logaritmes, el logaritme d'una multiplicació de dos termes és el mateix que l'addició dels logaritmes d'aquests termes individuals. En altres paraules, aquesta regla s'expressa com a log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Anem a derivar aquesta regla.

Procés de derivació:

Comencem suposant un registre_b(m) = x i log_b(n) = y. Convertint tots dos a les seves formes exponencials, obtenim:

registre_b(m) = x implica m = b^x… (1)

registre_b(n) = y implica n = bⁱ… (2)

Quan multipliquem les equacions (1) i (2) juntes,

mn = b^{x .}bⁱ

Utilitzant les regles per multiplicar exponents,

mn = b^{x + y}

Convertint de nou en forma logarítmica els rendiments,

registre_b(mn) = x + y

Substituint de nou per x i y,

registre_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Així, hem derivat la regla del producte dels logaritmes. Aquesta regla es pot utilitzar de diverses maneres, com ara:

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b És important tenir en compte que la regla del producte per als logaritmes no s'aplica al registre (m + n), que no es poden dividir en logaritmes separats. Aquesta regla es refereix estrictament al logaritme d'un producte, log(mn).

Regla del poder del logaritme

La regla de la potència del logaritme estableix que quan l'argument d'un logaritme s'eleva a una potència, aquest exponent es pot moure al capdavant del logaritme. En altres paraules, logb mn = n logb m. Explorem la derivació d'aquesta regla.

Procés de derivació:

Comenceu assumint el registre_bm és igual a x. Convertint això a la seva forma exponencial ens dóna:

b^x= m

Aleshores, eleva els dos costats a la potència de n, donant com a resultat:

dormir en javascript

(b^x)ⁿ= mⁿ

Aplicant la regla de la potència exponent s'obté:

b^nx= mⁿ

Convertint de nou a forma logarítmica, obtenim:

registre_bmⁿ= nx

Substituint x per log_bm, arribem a:

registre_bmⁿ= n log_bm

Això conclou la derivació de la regla de potència del logaritme. A continuació es mostren diversos exemples de com s'aplica aquesta regla:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Regla del quocient dels logaritmes

Segons la regla del quocient per als logaritmes, el logaritme d'una divisió entre dos nombres és la resta dels logaritmes de cada nombre.

Concretament, la norma estableix aquest registre_b(m/n) = log_bm - registre_bn. Anem a derivar aquesta regla.

Procés de derivació:

Suposem registre_bm és igual a x i log_bn és igual a y. Els expressarem en les seves formes exponencials.

registre_bm = x implica m = b^x… (1)

registre_bn = y implica n = bⁱ… (2)

Quan dividim l'equació (1) per l'equació (2),

m/n = b^x/ bⁱ

Aplicant la regla del quocient per als exponents,

m/n = b^{x – y}

Tornant a convertir en forma logarítmica,

registre_b(m/n) = x – y

Substituint de nou per x i y,

registre_b(m/n) = log_bm - registre_bn

Així, hem derivat la regla del quocient per als logaritmes. Aquesta regla es pot utilitzar de la següent manera:

log (i/3) = log y – log 3

registre 25 = registre (125/5) = registre 125 – registre 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

És important tenir en compte que la regla del quocient no implica res per al log (m – n).

Temes relacionats:

• Taula Antilog
• Calculadora de registre
• Registre natural
• Taula de registre

Exemples resolts de Regles de registre

Exemple 1: simplificar el registre ₂ (4 × 8).

Solució:

Utilitzant la regla del producte, dividim el producte en una suma de logaritmes:

registre₂(4 × 8) = log₂(4) + registre₂(8) = 2 + 3 = 5.

Exemple 2: simplificar el registre ₄ (16/2).

Solució:

Utilitzant la regla del quocient, dividim el quocient en una diferència de logaritmes:

registre₄(16 / 2) = log₄(16) – registre₄(2) = 2 – 0.5 = 1.5.

Exemple 3: simplificar el registre ₅ (25 ³ ).

Solució:

Utilitzant la regla de la potència, podem reduir l'exponent com a coeficient:

registre₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Exemple 4: Converteix el registre ₃ (7) en una expressió amb base 10.

Solució:

Utilitzant la regla del canvi de base, dividim pel logaritme de la nova base:

registre₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Exemple 5: avaluar el registre ₇ (49) utilitzant la regla de canvi de base amb la base 2.

Solució:

Utilitzant la regla de canvi de base amb la base 2:

registre₇(49) = registre₂(49) / registre₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (aprox).

Preguntes pràctiques sobre regles de registre

Problema 1: Simplifica l'expressió: log₂(4) + registre₂(8).

Problema 2: Simplifica: registre₅(25) – registre₅(5).

Problema 3: Simplifica l'expressió: log₃(9²).

Problema 4: Registre exprés₄(25) en termes de logaritmes comuns.

Problema 5: Simplifica l'ús de Regles de registre: registre₇(49) + 2 log₇(3).

Problema 6: Resol per x: log₂(x) = 3.

Problema 7: Resol per x: 2^{3x - 1}= 8.

Regles de registre - Preguntes freqüents

Què són les regles de logaritme?

Les regles logarítmiques són una col·lecció de recomanacions per manipular i simplificar fórmules mitjançant funcions logarítmiques. Ofereixen un mètode sistemàtic per fer front a càlculs complicats i interaccions entre exponencials i logaritmes.

Quantes regles de logaritme clau hi ha?

La regla del producte, la regla del quocient, la regla de potència, la regla de canvi de base i la regla de canvi de base són totes les regles de logaritmes principals. Aquests principis permeten càlculs i modificacions d'expressió logarítmica.

Què és la regla del producte logarítmic?

Segons la regla del producte, el logaritme d'un producte és igual a la suma dels logaritmes dels factors individuals: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Quins són dos tipus de logaritmes?

Els dos tipus de logaritmes més utilitzats són:

• Logaritme comú o logaritme de base 10
• Logaritme natural o base i logaritme

Què és la regla de registre per al canvi de base?

Segons el canvi de la regla base del registre, registre_a(b)=[log_c(b)]/[log_c(a)], on c és qualsevol nombre real positiu.

Què és el registre 0?

Es desconeix el logaritme de zero. Mai adquirim el número 0 elevant cap valor al poder de qualsevol altre valor.

Què és el registre 1?

A causa de la regla zero, el logaritme d'1 a qualsevol base és sempre 0, és a dir, logaritme_a(1) = 0.

Què és el logaritme de qualsevol nombre com a base?

Segons la regla d'identitat, el logaritme d'una base per si mateixa és sempre 1, és a dir, logaritme_a(a) = 1.

Quina és la relació entre logaritmes i exponencials?

Els logaritmes i les exponencials són operacions inverses. Un logaritme us indica l'exponent necessari per arribar a un nombre determinat, mentre que un exponencial eleva una base a un exponent.

Quines són les 7 regles dels logaritmes?

Les 7 regles dels logaritmes inclouen

c programa per a la comparació de cadenes

• Regla del producte
• Regla del quocient
• Regla de poder
• Canvi de normes de base
• Regla Zero
• Regla d'identitat
• Regla negativa

Aquestes regles s'utilitzen per simplificar expressions logarítmiques.

Què és la regla d'exponent de registre?

La regla de l'exponent de registre estableix que la base logarítmica b de a^xés igual a x vegades la base logarítmica b d'a, és a dir, logaritme_ba^x= x log_ba.

Quina és la diferència clau entre el registre comú i el registre natural?

La diferència clau entre el registre comú i el natural és que els registres comuns utilitzen la base 10, mentre que els registres naturals utilitzen la constant matemàtica 'e' com a base.

Quina és la regla derivada del registre?

La regla de derivada per a les funcions de registre és: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), on 'b' és la base del logaritme.

Què és la regla de canvi de base?

Segons la regla del canvi de base, la base de qualsevol logaritme es pot canviar a qualsevol altra base desitjada mitjançant la fórmula: loga(X) = logb(X) / logb(a).