Suposem que hi ha dues afirmacions compostes, X i Y, que es coneixeran com a equivalència lògica si i només si la taula de veritat de totes dues conté els mateixos valors de veritat a les seves columnes. Amb l'ajuda del símbol = o ⇔, podem representar l'equivalència lògica. Així, X = Y o X ⇔ Y serà l'equivalència lògica d'aquests enunciats.
Amb l'ajuda de la definició d'equivalència lògica, hem aclarit que si les afirmacions compostes X i Y són equivalències lògiques, en aquest cas, la X ⇔ Y ha de ser tautologia.
Lleis de l'equivalència lògica
En aquesta llei, utilitzarem els símbols 'AND' i 'OR' per explicar la llei de l'equivalència lògica. Aquí, AND s'indica amb l'ajuda del símbol ∧ i OR s'indica amb l'ajuda del símbol ∨. Hi ha diverses lleis d'equivalència lògica, que es descriuen de la següent manera:
Llei idempotent:
mida del vector c++
A la llei idempotent, només fem servir una sola afirmació. Segons aquesta llei, si combinem dos mateixos enunciats amb el símbol ∧(i) i ∨(o), aleshores l'enunciat resultant serà el mateix enunciat. Suposem que hi ha un enunciat compost P. S'utilitza la notació següent per indicar la llei idempotent:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
La taula de veritat d'aquesta llei es descriu de la següent manera:
| P | P | P ∨ P | P ∧ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| F | F | F | F |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P, P ∨ P i P ∧ P.
Per tant podem dir que P ∨ P = P i P ∧ P = P.
Lleis commutatives:
Les dues afirmacions s'utilitzen per mostrar la llei commutativa. Segons aquesta llei, si combinem dos enunciats amb el símbol ∧(i) o ∨(o), aleshores l'enunciat resultant serà el mateix encara que canviem la posició dels enunciats. Suposem que hi ha dos enunciats, P i Q. La proposició d'aquests enunciats serà falsa quan tots dos enunciats P i Q siguin falsos. En tots els altres casos, serà cert. La notació següent s'utilitza per indicar la llei commutativa:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
La taula de veritat d'aquestes notacions es descriu de la següent manera:
| P | Q | P ∨ Q | Q ∨ P |
|---|---|---|---|
| T | T | T | T |
| T | F | T | T |
| F | T | T | T |
| F | F | F | F |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∨ Q i Q ∨ P.
Per tant podem dir que P ∨ Q ? Q ∨ P.
Igual que podem demostrar P ∧ Q ? Q ∧ P.
Dret associatiu:
Els tres enunciats s'utilitzen per mostrar la llei associativa. Segons aquesta llei, si combinem tres enunciats amb l'ajuda de claudàtors mitjançant el símbol ∧(i) o ∨(o), aleshores l'enunciat resultant serà el mateix encara que canviem l'ordre dels claudàtors. Això vol dir que aquesta llei és independent de l'agrupació o associació. Suposem que hi ha tres enunciats P, Q i R. La proposició d'aquests enunciats serà falsa quan P, Q i R siguin falses. En tots els altres casos, serà cert. La notació següent s'utilitza per indicar la llei associativa:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
La taula de veritat d'aquestes notacions es descriu de la següent manera:
| P | Q | R | P ∨ Q | Q ∨ R | (P ∨ Q) ∨ R | P ∨ (Q ∨ R) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T | T | T |
| T | F | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | T | T | T |
| F | F | T | F | T | T | T |
| F | F | F | F | F | F | F |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∨ (Q ∨ R) i (P ∨ Q) ∨ R.
Per tant podem dir que P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R.
Igual que podem demostrar P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
Dret distributiu:
Els tres enunciats s'utilitzen per mostrar la llei distributiva. D'acord amb aquesta llei, si combinem un enunciat pel símbol ∨(OR) amb els altres dos enunciats que s'uneixen amb el símbol ∧(AND), aleshores l'enunciat resultant serà el mateix encara que estem combinant els enunciats per separat amb el símbol ∨(OR) i combinant les afirmacions unides amb ∧(AND). Suposem que hi ha tres enunciats P, Q i R. S'utilitza la notació següent per indicar la llei distributiva:
P ∨ (Q ∧ R) ? (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
La taula de veritat d'aquestes notacions es descriu de la següent manera:
| P | Q | R | Q ∧ R | P∨(Q ∧R) | P ∨ Q | P ∨ R | (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) |
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∨ (Q ∧ R) i (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
Per tant podem dir que P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
Igual que podem demostrar P ∧ (Q ∨ R) ? (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Llei d'identitat:
S'utilitza una sola declaració per mostrar la llei d'identitat. Segons aquesta llei, si combinem una afirmació i un valor Vertader amb el símbol ∨(o), aleshores generarà el valor Vertader. Si combinem una declaració i un valor Fals amb el símbol ∧(i), aleshores generarà la declaració mateixa. De la mateixa manera, ho farem amb els símbols contraris. Això vol dir que si combinem una declaració i un valor Vertader amb el símbol ∧(i), aleshores generarà la declaració en si, i si combinem una declaració i un valor Fals amb el símbol ∨(o), generarà el Valor fals. Suposem que hi ha una declaració composta P, un valor vertader T i un valor fals F. La notació següent s'utilitza per indicar la llei d'identitat:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
La taula de veritat d'aquestes notacions es descriu de la següent manera:
| P | T | F | P ∨ T | P ∨ F |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T |
| F | T | F | T | F |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∨ T i T. Per tant, podem dir que P ∨ T = T. De la mateixa manera, aquesta taula també conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∨ F i P. Per tant podem dir que P ∨ F = P.
Igual que podem demostrar P ∧ T ? P i P ∧ F ? F
Llei complementària:
A la llei del complement s'utilitza una declaració única. D'acord amb aquesta llei, si combinem un enunciat amb el seu complement amb el símbol ∨(o), aleshores generarà el valor Vertader, i si combinem aquests enunciats amb el símbol ∧(i), aleshores generarà el Fals. valor. Si neguem un valor vertader, generarà un valor fals, i si neguem un valor fals, generarà el valor vertader.
clau primària i clau composta en sql
La notació següent s'utilitza per indicar la llei del complement:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
La taula de veritat d'aquestes notacions es descriu de la següent manera:
| P | ¬P | T | ¬T | F | ¬F | P ∨ ¬P | P ∧ ¬P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | F | T | F | F | T | T | F |
| F | T | T | F | F | T | T | F |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∨ ¬P i T. Per tant, podem dir que P ∨ ¬P = T. De la mateixa manera, aquesta taula també conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∧ ¬P i F. Per tant podem dir que P ∧ ¬P = F.
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de ¬T i F. Per tant, podem dir que ¬T = F. De la mateixa manera, aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de ¬F i T. Per tant, podem dir que ¬F = T.
Llei de doble negació o llei d'involució
Una sola afirmació s'utilitza per mostrar la llei de doble negació. Segons aquesta llei, si fem la negació d'un enunciat negat, aleshores l'enunciat resultant serà el mateix enunciat. Suposem que hi ha un enunciat P i un enunciat negatiu ¬P. La notació següent s'utilitza per indicar la llei de doble negació:
¬(¬P) ? P
La taula de veritat d'aquestes notacions es descriu de la següent manera:
| P | ¬P | ¬(¬P) |
|---|---|---|
| T | F | T |
| F | T | F |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de ¬(¬P) i P. Per tant, podem dir que ¬(¬P) = P.
De la llei de Morgan:
Les dues afirmacions s'utilitzen per mostrar la llei de De Morgan. Segons aquesta llei, si combinem dos enunciats amb el símbol ∧(AND) i després fem la negació d'aquests enunciats combinats, aleshores l'enunciat resultant serà el mateix encara que combinem la negació d'ambdós enunciats per separat amb el símbol ∨( O). Suposem que hi ha dos enunciats compostos, P i Q. S'utilitza la notació següent per indicar la llei de De Morgan:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
La taula de veritat d'aquestes notacions es descriu de la següent manera:
| P | Q | ¬P | ¬Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬ P ∨ ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | F | F |
| T | F | F | T | F | T | T |
| F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | T | T | F | T | T |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de ¬(P ∧ Q) i ¬ P ∨ ¬Q. Per tant podem dir que ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
Igual que podem demostrar ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
Llei d'absorció:
Les dues afirmacions s'utilitzen per mostrar la llei d'absorció. Segons aquesta llei, si combinem un enunciat P amb el símbol ∨(OR) amb el mateix enunciat P i un altre enunciat Q, que s'uneixen amb el símbol ∧(AND), aleshores l'enunciat resultant serà el primer enunciat P. El mateix resultat es generarà si intercanviem els símbols. Suposem que hi ha dos enunciats compostos, P i Q. S'utilitza la notació següent per indicar la Llei d'absorció:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
La taula de veritat d'aquestes notacions es descriu de la següent manera:
| P | Q | P ∧ Q | P ∨ Q | P ∨ (P ∧ Q) | P ∧ (P ∨ Q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∨ (P ∧ Q) i P. Per tant podem dir que P ∨ (P ∧ Q) ? P.
De la mateixa manera, aquesta taula també conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ∧ (P ∨ Q) i P. Per tant, podem dir que P ∧ (P ∨ Q) ? P.
va dir Madhuri
Exemples d'equivalència lògica
Hi ha diversos exemples d'equivalència lògica. Alguns d'ells es descriuen de la següent manera:
Exemple 1: En aquest exemple, establirem la propietat d'equivalència per a una declaració, que es descriu de la següent manera:
p → q ? ¬p ∨ q
Solució:
Ho demostrarem amb l'ajuda d'una taula de veritat, que es descriu de la següent manera:
| P | Q | ¬p | p → q | ¬p ∨ q |
| T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de p → q i ¬p ∨ q. Per tant podem dir que p → q ? ¬p ∨ q.
Exemple 2: En aquest exemple, establirem la propietat d'equivalència per a una declaració, que es descriu de la següent manera:
P ↔ Q ? ( P → Q ) ∧ ( Q → P )
Solució:
cadena com a matriu
| P | Q | P → Q | Q → P | P ↔ Q | ( P → Q ) ∧ ( Q → P ) |
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | T | F | F | F |
| F | F | T | T | T | T |
Aquesta taula conté els mateixos valors de veritat a les columnes de P ↔ Q i (P → Q) ∧ (Q → P). Per tant podem dir que P ↔ Q ? (P → Q) ∧ (Q → P).
Exemple 3: En aquest exemple, utilitzarem la propietat equivalent per demostrar la següent afirmació:
p ↔ q ? ( p ∧ q ) ∨ ( ¬ p ∧ ¬q )
Solució:
Per demostrar-ho, utilitzarem algunes de les lleis descrites anteriorment i d'aquesta llei tenim:
p ↔ q ? (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p) ...........(1)
Ara utilitzarem la llei commutativa a l'equació anterior i obtindrem el següent:
? (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Ara utilitzarem la llei distributiva en aquesta equació i obtindrem el següent:
? (¬ p ∧ (p ∨ ¬q)) ∨ (q ∧ (p ∨ ¬q))
Ara utilitzarem la llei distributiva en aquesta equació i obtindrem el següent:
? (p ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)
Ara utilitzarem la llei del complement en aquesta equació i obtindrem el següent:
? F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
Ara farem servir la llei d'identitat i obtindrem el següent:
? (¬ p ∧ ¬ q) ∨ (q ∧ p)
Ara utilitzarem la llei commutativa en aquesta equació i obtindrem el següent:
? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Finalment, l'equació (1) es converteix en la següent:
p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ¬q)
Finalment, podem dir que l'equació (1) esdevé p ↔ q ? (p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q)