logo

TechCodeview

Fórmula d'interpolació de Lagrange

Fórmula d'interpolació de Lagrange troba un polinomi anomenat polinomi de Lagrange que pren certs valors en un punt arbitrari. És un enèsimo grau expressió polinomial de la funció f(x). El mètode d'interpolació s'utilitza per trobar els nous punts de dades dins del rang d'un conjunt discret de punts de dades coneguts.

En aquest article, coneixerem la interpolació de Lagrange, la fórmula d'interpolació de Lagrange, la demostració de la fórmula d'interpolació de Lagrange, els exemples basats en la fórmula d'interpolació de Lagrange i altres en detall.



Què és la interpolació de Lagrange?

La interpolació de Lagrange és una manera de trobar el valor de qualsevol funció en un punt donat quan la funció no està donada. Utilitzem altres punts de la funció per obtenir el valor de la funció en qualsevol punt requerit.

Suposem que tenim una funció y = f(x) en la qual substituint els valors de x dóna diferents valors de y. I ens donen dos punts (x1, i1) i (x2, i2) a la corba, llavors el valor de y en x = a (constant) es calcula mitjançant la fórmula d'interpolació de Lagrange.

Fórmula d'interpolació de Lagrange

Donats pocs valors reals x1, x2, x3, …, xni y1, i2, i3, …, ini hi haurà un polinomi P amb coeficients reals que compleixin les condicions P(xi) = yi, ∀ i = {1, 2, 3, …, n} i el grau del polinomi P ha de ser menor que el recompte de valors reals, és a dir, grau(P)



Fórmula d'interpolació de Lagrange per a l'ordre nè

La fórmula d'interpolació de Lagrange per a nthEl polinomi de grau es mostra a continuació:

Fórmula d'interpolació de Lagrange per al n th l'ordre és,

f(x)=frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} imes y_0+ frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} imes y_1+...+ frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} imes y_n



Fórmula d'interpolació de primer ordre de Lagrange

Si el El grau del polinomi és 1, llavors s'anomena polinomi de primer ordre. Fórmula d'interpolació de Lagrange per a 1stpolinomis d'ordre és,

f(x)~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1

Fórmula d'interpolació de segon ordre de Lagrange

Si el grau del polinomi és 2, s'anomena polinomi de segon ordre. La fórmula d'interpolació de Lagrange per a polinomis de segon ordre és:

f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)} {(x_1-x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2

Demostració del teorema de Lagrange

Considerem un polinomi d'enèsimo grau de la forma donada,

f(x) = A0(x – x1)(x – x2)(x – x3)…(x – xn) + A1(x – x1)(x – x2)(x – x3)…(x – xn) + … + A(n-1)(x – x1)(x – x2)(x – x3)…(x – xn)

Substitueix les observacions xiper aconseguir Ai

Posa x = x0aleshores obtenim A0

f (x0) = y0= A0(x0–x1)(x0–x2)(x0–x3)…(x0–xn)

A 0 = i 0 /(x 0 –x 1 )(x 0 –x 2 )(x 0 –x 3 )…(x 0 –x n )

Substituint x = x1obtenim A1

f (x1) = y1= A1(x1–x0)(x1–x2)(x1–x3)…(x1–xn)

A 1 = i 1 /(x 1 –x 0 )(x 1 –x 2 )(x 1 –x 3 )…(x 1 –x n )

De la mateixa manera, substituint x = xnobtenim An

f (xn) = yn= An(xn–x0)(xn–x1)(xn–x2)…(xn–xn-1)

A n = i n /(x n –x 0 )(x n –x 1 )(x n –x 2 )…(x n –x n-1 )

Si substituïm tots els valors de Aia la funció f(x) on i = 1, 2, 3, … n llavors obtenim la fórmula d'interpolació de Lagrange com,

f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} vegades y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)} imes y_1+... +frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)} imes y_n

Propietats de la fórmula d'interpolació de Lagrange

A continuació es discuteixen diverses propietats de la fórmula d'interpolació de Lagrange,

  • Aquesta fórmula s'utilitza per trobar el valor de la funció en qualsevol moment, fins i tot quan no es dóna la funció en si.
  • S'utilitza encara que els punts donats no estiguin espaiats uniformement.
  • Proporciona el valor de la variable depenent per a qualsevol variable independent pertanyent a qualsevol funció i, per tant, s'utilitza en l'anàlisi numèrica per trobar els valors de la funció, etc.

Usos de la fórmula d'interpolació de Lagrange

A continuació es discuteixen diversos usos de la fórmula d'interpolació de Lagrange,

  • S'utilitza per trobar el valor de la variable dependent en qualsevol variable independent en particular encara que no es doni la funció en si.
  • S'utilitza en l'escala d'imatges.
  • S'utilitza en el modelatge d'IA.
  • S'utilitza per ensenyar PNL, etc.

Llegeix més,

  • Fórmula d'interpolació
  • Fórmula d'interpolació lineal

Exemples amb la fórmula d'interpolació de Lagrange

Vegem algunes preguntes de mostra sobre la fórmula d'interpolació de Lagrange.

Exemple 1: Trobeu el valor de y en x = 2 per al conjunt de punts donat (1, 2), (3, 4)

classe de matemàtiques java

Solució:

Donat,

  • (x0, i0) = (1, 2)
  • (x1, i1) = (3, 4)

La fórmula d'interpolació de Lagrange de primer ordre és,

y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1

En x = 2

i =~frac{(2-3)}{(1-3)} imes 2+frac{(2-1)}{(3-1)} imes 4

y = (-2/-2) + (4/2)

y = 1 + 2 = 3

El valor de y en x = 2 és 3

Exemple 2: Trobeu el valor de y en x = 5 per al conjunt de punts donat (9, 2), (3, 10)

Solució:

Donat,

  • (x0, i0) = (9, 2)
  • (x1, i1) = (3, 10)

La fórmula d'interpolació de Lagrange de primer ordre és,

y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1

En x = 5

y~=~frac{(5-3)}{(9-3)} imes 2+frac{(5-9)}{(3-9)} imes 10

y = (4/6) + (-40/-6)

y = (2/3) + (20/3)

y = 22/3 = 7.33

El valor de y en x = 5 és 7,33

Exemple 3: Trobeu el valor de y en x = 1 per al conjunt de punts donat (1, 6), (3, 4), (2, 5)

Solució:

Donat,

  • (x0, i0) = (1, 6)
  • (x1, i1) = (3, 4)
  • (x2, i2) = (2, 5)

La fórmula d'interpolació de Lagrange de segon ordre és,

y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2

En x = 1

y~=~frac{(1-3)(1-2)}{(1-3)(1-2)} imes 6+frac{(1-1)(1-2)}{( 3-1)(3-2)}veces 4+frac{(1-1)(1-3)}{(2-1)(2-3)}veces 5 y~=~ frac{(-2)(-1)}{(-2)(-1)} imes 6+frac{(0)(-1)}{(2)(1)} imes 4+frac {(0)(-2)}{(1)(-1)}veces 5

y = (12/2) + 0 + 0

y = 6

El valor de y en x = 1 és 6

Exemple 4: Trobeu el valor de y en x = 10 per al conjunt de punts donat (9, 6), (3, 5), (1, 12)

Solució:

Donat,

  • (x0, i0) = (9, 6)
  • (x1, i1) = (3, 5)
  • (x2, i2) = (1, 12)

La fórmula d'interpolació de Lagrange de segon ordre és,

y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} imes y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} imes y_2

En x = 10

y~=~frac{(10-3)(10-1)}{(9-3)(9-1)} imes 6+frac{(10-9)(10-1)}{( 3-9)(3-1)} imes 5+frac{(10-9)(10-3)}{(1-9)(1-3)} imes 12 y~=~ frac{(7)(9)}{(6)(8)} imes 6+frac{(1)(9)}{(-6)(2)} imes 5+frac{(1) (7)}{(-8)(-2)}veces 12

y = (63/8) + (-15/4) + (21/4)

y = (63-30 + 42)/8

y = 75/8 = 9.375

El valor de y en x = 10 és 9,375

Exemple 5: Trobeu el valor de y en x = 7 per al conjunt de punts donat (1, 10), (2, 4), (3, 4), (5, 7)

Solució:

Donat,

  • (x0, i0) = (1, 10)
  • (x1, i1) = (2, 4)
  • (x2, i2) = (3, 4)
  • (x3, i3) = (5, 7)

La fórmula d'interpolació de Lagrange de tercer ordre és,

y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} imes y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} imes y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1 )(x_3-x_2)}veces y_3

En x = 7

y~=~frac{(7-2)(7-3)(7-5)}{(1-2)(1-3)(1-5)} imes 10+frac{(7- 1)(7-3)(7-5)}{(2-1)(2-3)(2-5)}veces 4+frac{(7-1)(7-2)(7- 5)}{(3-1)(3-2)(3-5)} imes 4+frac{(7-1)(7-2)(7-3)}{(5-1)( 5-2)(5-3)} imes 7 y~=~frac{(5)(4)(2)}{(-1)(-2)(-4)} imes 10+ frac{(6)(4)(2)}{(1)(-1)(-3)} imes 4+frac{(6)(5)(2)}{(2)(1) (-2)}veces 4+frac{(6)(5)(4)}{(4)(3)(2)}veces 7

y = -50 + 64 – 60 + 35

y = 99 – 110 = -11

El valor de y en x = 7 és -11

Exemple 6: Trobeu el valor de y en x = 10 per al conjunt de punts donat (5, 12), (6, 13), (7, 14), (8, 15)

Solució:

Donat,

  • (x0, i0) = (5, 12)
  • (x1, i1) = (6, 13)
  • (x2, i2) = (7, 14)
  • (x3, i3) = (8, 15)

La fórmula d'interpolació de Lagrange de tercer ordre és,

y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} imes y_0+frac{(x-x_0 )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)} imes y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} imes y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1 )(x_3-x_2)}veces y_3

En x = 10,

y~=~frac{(10-6)(10-7)(10-8)}{(5-6)(5-7)(5-8)} imes 12+frac{(10- 5)(10-7)(10-8)}{(6-5)(6-7)(6-8)}veces 13+frac{(10-5)(10-6)(10- 8)}{(7-5)(7-6)(7-8)} imes 14+frac{(10-5)(10-6)(10-7)}{(8-5)( 8-6)(8-7)} imes 15 y~=~frac{(4)(3)(2)}{(-1)(-2)(-3)} imes 12+ frac{(5)(3)(2)}{(1)(-1)(-2)} imes 13+frac{(5)(4)(2)}{(2)(1) (-1)}veces 14+frac{(5)(4)(3)}{(3)(2)(1)}veces 15

y = -48 + 195 – 280 + 150

y = 17

El valor de y en x = 10 és 17

Exemple 7: Trobeu el valor de y en x = 0 per al conjunt de punts donat (-2, 5), (1, 7)

Solució:

Donat,

  • (x0, i0) = (-2, 5)
  • (x1, i1) = (1, 7)

La fórmula d'interpolació de Lagrange de primer ordre és,

y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)} imes y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)} imes y_1

En x = 0,

y~=~frac{(0-1)}{(-2-1)} imes 5+frac{(0+2)}{(1+2)} imes 7

y = (5/3) + (14/3)

y = 19/3 = 6.33

El valor de y en x = 0 és 6,33

Preguntes freqüents sobre la fórmula d'interpolació de Lagrange

1. Què és la fórmula d'interpolació de Lagrange?

La fórmula d'interpolació de Lagrange és una fórmula que s'utilitza per trobar el valor de la variable dependent de la funció per a qualsevol variable independent encara que la funció en si no es doni.

2. Quines són les aplicacions de la fórmula d'interpolació de Lagrange?

La fórmula de Lagranges té diverses aplicacions en matemàtiques modernes i ciències de dades,

  • S'utilitza per modelar AI Traning.
  • S'utilitza en el processament d'imatges.
  • S'utilitza en la representació gràfica de corbes 3D i superiors, etc.

3. Què és la fórmula d'interpolació de Lagrange de primer ordre?

La fórmula d'interpolació de Lagranges de primer ordre és,

f(x) = (x – x 1 )/(x 0 –x 1 )×f 0 + (x – x 0 )/(x 1 –x 0 )×f 1

4. Què és la fórmula d'interpolació de Lagrange de segon ordre?

La fórmula d'interpolació de Lagranges de segon ordre és,

f(x) = [(x – x 1 )(x – x 2 )/(x 0 –x 1 )(x 0 –x 2 )]×f 0 + [(x – x 0 )(x – x 2 )/(x 1 –x 0 )(x 1 –x 2 )]×f 1 + [(x – x 0 )(x – x 1 )/(x 2 –x 0 )(x 2 –x 2 )]×f 0