Regla 2

Si s'intercanvien els LHS i RHS de les expressions, aleshores la desigualtat s'inverteix. S'anomena propietat inversa.

• Si a> b, aleshores b
• Si a a
• Si a ≥ b, aleshores b ≤ a
• Si a ≤ b, aleshores b ≥ a

Regla 3

Si s'afegeix o es resta la mateixa constant k dels dos costats de la desigualtat, aleshores tots dos costats de la desigualtat són iguals.

• Si a> b, aleshores a + k> b + k
• Si a> b, aleshores a – k> b – k

De la mateixa manera, per a altres desigualtats.

• Si a
• Si a
• Si a ≤ b, aleshores a + k ≤ b + k
• Si a ≤ b, aleshores a – k ≤ b – k
• Si a ≥ b, aleshores a + k ≥ b + k
• Si a ≥ b, aleshores a – k ≥ b – k

La direcció de la desigualtat no canvia després de sumar o restar una constant.

Regla 4

Si k és una constant positiva que es multiplica o es divideix pels dos costats de la desigualtat, aleshores no hi ha cap canvi en la direcció de la desigualtat.

• Si a> b, aleshores ak> bk
• Si a
• Si a ≤ b, aleshores ak ≤ bk
• Si a ≥ b, aleshores ak ≥ bk

Si k és una constant negativa que es multiplica o es divideix pels dos costats de la desigualtat, aleshores la direcció de la desigualtat s'inverteix.

• Si a> b, aleshores ak
• Si a> b, aleshores ak
• Si a ≥ b, aleshores ak ≤ bk
• Si a ≤ b, aleshores ak ≥ bk

Regla 5

El quadrat de qualsevol nombre és sempre major o igual a zero.

• a²≥ 0

Regla 6

Prendre arrels quadrades als dos costats de la desigualtat no canvia la direcció de la desigualtat.

• Si a> b, aleshores √a> √b
• Si a
• Si a ≥ b, aleshores √a ≥ √b
• Si a ≤ b, aleshores √a ≤ √b

Gràfic de desigualtats

Les desigualtats són amb una o dues variables o tenim un sistema de desigualtats, totes es poden representar gràficament al pla cartesià si només conté dues variables. Les desigualtats d'una variable es representen en rectes reals i dues variables es representen en el pla cartesià.

Notació d'intervals per a desigualtats

Punts importants per escriure intervals per a desigualtats:

• En cas de major que i igual a ( ≥ ) o menys que igual a ( ≤ ), s'inclouen els valors finals, de manera que s'utilitzen claudàtors tancats o [ ].
• En cas de ser superior a ( > ) o inferior a ( < ), s'exclouen els valors finals, de manera que s'utilitzen claudàtors oberts ().
• Tant per a l'infinit positiu com negatiu s'utilitzen claudàtors oberts ().

La taula següent representa intervals per a diferents desigualtats:

Gràfic per a desigualtats lineals amb una variable

A la taula següent podem entendre com representar diverses desigualtats lineals amb una variable en una línia real.

Desigualtat	Interval	Gràfic
x> 1	(1, ∞)	Desigualtats lineals amb una variable
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Gràfic per a desigualtats lineals amb dues variables

Prenguem un exemple de desigualtats lineals amb dues variables.

Considereu la desigualtat lineal 20x + 10y ≤ 60, ja que les solucions possibles per a una desigualtat donada són (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0). ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0), i també tots els punts més enllà d'aquests punts també són la solució de la desigualtat.

Tracem el gràfic a partir de les solucions donades.

La regió ombrejada del gràfic representa les possibles solucions per a la desigualtat donada.

Llegiu també

• Solució gràfica de desigualtats lineals en dues variables

Tipus de desigualtats

Hi ha diferents tipus de desigualtats que es poden classificar de la següent manera:

• Desigualtats polinomials: Les desigualtats polinomials són desigualtats que es poden representar en forma de polinomis. Exemple: 2x + 3 ≤ 10.
• Desigualtats de valors absoluts: Les desigualtats de valor absolut són les desigualtats dins del signe de valor absolut. Exemple- |y + 3| ≤ 4.
• Desigualtats racionals: Les desigualtats racionals són desigualtats amb fraccions juntament amb les variables. Exemple- (x + 4) / (x – 5) <5.

Com resoldre desigualtats

Per resoldre les desigualtats, podem seguir els passos següents:

• Pas 1: Escriu la desigualtat en forma de l'equació.
• Pas 2: Resoldre l'equació i obtenir les arrels de les desigualtats.
• Pas 3: Representa els valors obtinguts a la recta numèrica.
• Pas 4: Representeu els valors exclosos també a la recta numèrica amb els cercles oberts.
• Pas 5: Troba els intervals a partir de la recta numèrica.
• Pas 6: Agafeu un valor aleatori de cada interval i poseu aquests valors a la desigualtat i comproveu si compleix la desigualtat.
• Pas 7: La solució de la desigualtat són els intervals que satisfan la desigualtat.

Com resoldre desigualtats polinomials

Les desigualtats polinomials inclouen desigualtats lineals, desigualtats quadràtiques, desigualtats cúbiques, etc. Aquí aprendrem a resoldre desigualtats lineals i quadràtiques.

Resolució de desigualtats lineals

Les desigualtats lineals es poden resoldre com equacions lineals però segons la regla de les desigualtats. Les desigualtats lineals es poden resoldre mitjançant operacions algebraiques senzilles.

Desigualtats en un o dos passos

Les desigualtats d'un sol pas són les desigualtats que es poden resoldre en un sol pas.

Exemple: Resol: 5x <10

Solució:

⇒ 5x <10 [Divisió dels dos costats per 5]

⇒ x <2 o (-∞, 2)

Les desigualtats de dos passos són desigualtats que es poden resoldre en dos passos.

Exemple: Resol: 4x + 2 ≥ 10

Solució:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Resta 2 d'ambdós costats]

⇒ 4x ≥ 8 [Divisió dels dos costats per 4]

⇒ x ≥ 2 o [2, ∞)

Desigualtats compostes

Les desigualtats compostes són desigualtats que tenen múltiples desigualtats separades per i o o. Per resoldre desigualtats compostes, resol les desigualtats per separat, i per a la solució final realitza la intersecció de les solucions obtingudes si les desigualtats estan separades per i i realitza la unió de les solucions obtingudes si les desigualtats estan separades per o.

Exemple: Resol: 4x + 6 <10 i 5x + 2 < 12

Solució:

Primer resol 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Resta 6 dels dos costats]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 o (-∞, 1) —–(i)

Segon resol 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Resta 2 d'ambdós costats]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 o (-∞, 2) ——-(ii)

De (i) i (ii) tenim dues solucions x <1 i x < 2.

Prenem la intersecció per a la solució final ja que les desigualtats estan separades per i.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

llista enllaçada java

⇒ (-∞, 1)

La solució final per a una desigualtat composta donada és (-∞, 1).

Llegeix més

• Desigualtats compostes
• Problemes de paraules de desigualtats lineals
• Triangle Desigualtat

Solvw Desigualtats quadràtiques

Prenguem un exemple per resoldre desigualtats de valor absolut.

Exemple: Resol la desigualtat: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Solució:

A continuació es mostren els passos per resoldre la desigualtat: x²– 7x + 6 ≥ 0

Pas 1: Escriu la desigualtat en forma d'equació:

x²– 7x + 6 = 0

Pas 2: Resol l'equació:

x²– 7x + 6 = 0

x²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1(x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 i x = 1

Del pas anterior obtenim els valors x = 6 i x = 1

Pas 3: A partir dels valors anteriors, els intervals són (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Com que la desigualtat és ≥ que inclou igual a, de manera que utilitzem claudàtors tancats per als valors obtinguts.

Pas 4: Representació en línia numèrica dels intervals anteriors.

Pas 5: Agafeu nombres aleatoris entre cada interval i comproveu si compleix el valor. Si es compleix, inclou l'interval a la solució.

Per a l'interval (-∞, 1] siga el valor aleatori -1.

Posant x = -1 a la desigualtat x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (Veritat)

Per a l'interval [1, 6] sigui 2 el valor aleatori.

Posant x = 0 a la desigualtat x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (fals)

Per a l'interval [6, ∞) sigui 7 el valor aleatori.

Posant x = 7 a la desigualtat x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (Veritat)

Pas 6: Per tant, la solució de la desigualtat de valor absolut x²– 7x + 6 ≥ 0 és l'interval (-∞, 1] ∪ [6, ∞) ja que satisfà la desigualtat que es pot representar a la recta numèrica com:

Com resoldre les desigualtats de valors absoluts

Prenguem un exemple per resoldre desigualtats de valor absolut.

Exemple: Resol la desigualtat: |y + 1| ≤ 2

Solució:

A continuació es mostren els passos per resoldre la desigualtat: |y + 1| ≤ 2

Pas 1: Escriu la desigualtat en forma d'equació:

|i + 1| = 2

Pas 2: Resol l'equació:

i + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 i y + 1 = – 2

y = 1 i y = -3

Del pas anterior obtenim els valors y = 1 i y = -3

Pas 3: A partir dels valors anteriors, els intervals són (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Atès que la desigualtat és ≤ que inclou igual a, de manera que fem servir claudàtors tancats per als valors obtinguts.

Pas 4: Representació en línia numèrica dels intervals anteriors.

Pas 5: Agafeu nombres aleatoris entre cada interval i comproveu si compleix el valor. Si es compleix, inclou l'interval a la solució.

Per a l'interval (-∞, -3] siga el valor aleatori -4.

Posant y = -4 a la desigualtat |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (fals)

Per a l'interval [-3, 1] deixeu que el valor aleatori sigui 0.

Posant y = 0 a la desigualtat |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (Veritat)

Per a l'interval [1, ∞) sigui 2 el valor aleatori.

Posant y = 2 a la desigualtat |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (fals)

Pas 6: Per tant, la solució de la desigualtat de valor absolut |y + 1| ≤ 2 és l'interval [-3, -1] ja que satisfà la desigualtat que es pot representar a la recta numèrica com:

Com resoldre desigualtats racionals

Prenguem un exemple per resoldre desigualtats racionals.

Exemple: Resol la desigualtat: (x + 3) / (x – 1) <2

Solució:

A continuació es mostren els passos per resoldre la desigualtat:

Pas 1: Escriu la desigualtat en forma d'equació: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Pas 2: Resol l'equació:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2(x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Del pas anterior obtenim el valor x = 5

convenció de nomenclatura per a java

Pas 3: A partir dels valors anteriors, els intervals són (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Ja que, la desigualtat és

Com que, per a x = 1, la desigualtat no està definida, prenem claudàtors oberts per a x = 1.

Pas 4: Representació en línia numèrica dels intervals anteriors.

Pas 5: Agafeu nombres aleatoris entre cada interval i comproveu si compleix el valor. Si es compleix, inclou l'interval a la solució.

Per a l'interval (-∞, 1) sigui 0 el valor aleatori.

Posant x = 0 a la desigualtat (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (Veritat)

Per a l'interval (1, 5) sigui 2 el valor aleatori.

Posant x = 3 a la desigualtat (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (fals)

Per a l'interval (5, ∞) sigui 2 el valor aleatori.

Posant y = 6 a la desigualtat (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9 / 5 <2

⇒ 1,8 <2 (Veritat)

Pas 6: Per tant, la solució de la desigualtat de valor absolut (x + 3) / (x – 1) <2 és l'interval (-∞, 1) ∪ (5, ∞) ja que satisfà la desigualtat que es pot representar a la recta numèrica com:

Com resoldre la desigualtat lineal amb dues variables

Prenem un exemple per resoldre la desigualtat lineal amb dues variables.

Exemple: Resol: 20x + 10y ≤ 60

Solució:

Considereu x = 0 i poseu-lo a la desigualtat donada

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10y ≤ 60

⇒ i ≤ 6 ——(i)

Ara, quan x = 0, y pot ser de 0 a 6.

De la mateixa manera, posar valors a la desigualtat i comprovar-la satisfà la desigualtat.

Per a x = 1, y pot ser de 0 a 4.

Per a x = 2, y pot ser de 0 a 2.

Per a x = 3, y pot ser 0.

La possible solució per a una desigualtat donada és (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Sistemes de desigualtats

Els sistemes de desigualtats són el conjunt de dues o més desigualtats amb una o més variables. Els sistemes de desigualtats contenen múltiples desigualtats amb una o més variables.

El sistema de desigualtats és de la forma:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ a₁₃x₃…….. + a_1nx_{n 1}

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ a₂₃x₃…….. + a_2nx_{n 2}

a_n1x₁+ a_n2x₂+ a_n3x₃…….. + a_nnx_{n n}

Representació gràfica de sistemes de desigualtats

El sistema de desigualtats és un grup de desigualtats múltiples. Primer, resol cada desigualtat i dibuixa la gràfica de cada desigualtat. La intersecció de la gràfica de totes les desigualtats representa la gràfica dels sistemes d'inequacions.

string.valueof

Considereu un exemple,

Exemple: gràfic per a sistemes d'inequacions

• 2x + 3y ≤ 6
• x ≤ 3
• i ≤ 2

Solució:

Gràfic per a 2x + 3y ≤ 6

La regió ombrejada del gràfic representa 2x + 3y ≤ 6

Gràfic per a x ≤ 3

La regió ombrejada representa x ≤ 3

Gràfic per a y ≤ 2

La regió ombrejada representa y ≤ 2

Gràfic d'un sistema donat d'inequacions

La regió ombrejada representa un sistema determinat de desigualtats.

Desigualtats – Preguntes freqüents

Què és el concepte de desigualtat?

Les desigualtats són les expressions matemàtiques en les quals el LHS i el RHS de l'expressió són desiguals.

Quins són els símbols de les desigualtats?

Els símbols de les desigualtats són:>, <, ≥, ≤ i ≠.

Quina és la propietat transitiva de les desigualtats?

La propietat transitiva de les desigualtats estableix que si a, b, c són tres nombres, llavors,

• Si a> b i b> c, aleshores a> c
• Si a
• Si a ≥ b i b ≥ c, aleshores a ≥ c
• Si a ≤ b i b ≤ c, aleshores a ≤ c