Incentre d'un triangle és el punt d'intersecció de les tres bisectrius d'un triangle. L'incentre és un punt important en un triangle on les línies que tallen els angles per la meitat s'uneixen. Aquest punt també és el centre d'un cercle anomenat Incircle que encaixa perfectament dins del triangle i toca els tres costats igual. Aquest article tracta diversos conceptes de l'incentre del triangle, com ara per què aquest punt és important, com trobar-lo amb una brúixola o números i propietats de l'incentre del cercle.

Taula de contingut

• Què és l'incentre d'un triangle?
• Propietats d'un incentre d'un triangle
• Fórmula del centre d'un triangle
• Com trobar l'incentre d'un triangle
• Centroide, circumcentre, incentre, ortocentre

Què és l'incentre d'un triangle?

L'incentre d'un triangle, com el seu nom indica, és el punt central del triangle. Aquest punt que anomenem incentre es forma a la unió on es troben totes les línies que divideixen els angles interiors. La distància del punt dels tres costats del triangle és la mateixa. La circumferència del triangle també s'adapta a un cercle perfecte dins del triangle i aquest cercle s'anomena circumferència del triangle.

Definició d'incentre

L'incentre d'un triangle és el punt dins del triangle on s'uneixen les tres línies que tallen els seus angles interiors per la meitat. Aquest punt està a la mateixa distància dels tres costats del triangle, fent-lo com el centre del triangle. També és el centre del cercle més gran que pot encaixar perfectament dins del triangle, que anomenem circumferència. Per simbolitzar l'incentre, normalment fem servir la lletra I,

Incentre d'un triangle

Propietats d'un incentre d'un triangle

A continuació es donen algunes propietats importants de l'incentre del triangle:

Propietat 1: Si jo és l'incentre d'un triangle ABC, llavors tres parells de segments de línia tenen la mateixa longitud: AE i AG, CG i CF, i BF i BE. Això significa que AE = AG, CG = CF i BF = BE.

Propietat 2: L'incentre jo també té una relació especial amb els angles del triangle. Fa que els angles ∠BAI i ∠CAI siguin iguals, ∠BCI i ∠ACI siguin iguals i ∠ABI i ∠CBI siguin iguals. Això segueix el teorema de la bisectriu.

Propietat 3: L'incentre jo és el centre d'una circumferència que toca els tres costats del triangle i les distàncies de jo als costats del triangle (EI, FI, GI) són tots iguals. Aquestes distàncies s'anomenen inradii, o radi de la circumferència.

Propietat 4: Podeu calcular l'àrea del triangle utilitzant el semiperímetre (s) i l'inradi (r). La fórmula és A = sr, on A és l'àrea, s és el semiperímetre (s = (a + b + c)/2, on a, b i c són les longituds dels costats del triangle) i r és el inradius.

Propietat 5: L'incentre d'un triangle es manté sempre dins del triangle. A diferència de l'ortocentre, que en alguns casos pot estar fora del triangle, l'incentre sempre està contingut dins dels límits del triangle.

Fórmula del centre d'un triangle

La fórmula per trobar l'incentre de la fórmula amb 3 coordenades (x₁, i₁), (x₂, i₂), i (x₃, i₃) és:

{(ax ₁ + bx ₂ + cx ₃ )/(a + b + c), (és ₁ + per ₂ + c ₃ )/(a + b + c)}

En termes senzills, per obtenir l'incenter, vostè:

• Multipliqueu la coordenada x del punt A per la longitud del costat a, la coordenada x del punt B per la longitud del costat b i la coordenada x del punt C per la longitud del costat c. A continuació, afegiu-los junts.
• Dividiu el resultat per la suma de les longituds dels costats a, b i c.
• Repetiu el mateix procés per a les coordenades y, però utilitzant les longituds laterals a, b i c.

Fórmula de l'incentre d'un triangle

La fórmula per trobar l'incentre d'un angle d'un triangle és la següent:

Sigui, En un triangle D, F i G els punts on les bisectrius dels angles A, B i C respectivament, es troben amb els costats BC, AC i AB.

L'angle ∠AIB (on I és l'incentre del triangle) es pot calcular mitjançant la fórmula:

∠AIB = 180° – (la meitat de la suma dels angles A i B)

O

∠AIB = 180° – (∠A + ∠B)/2

Com trobar l'incentre d'un triangle

Hi ha dos mètodes per trobar l'incentre d'un triangle. En construcció, localitzem l'incentre dibuixant les bisectrius dels angles del triangle. En geometria de coordenades, fem servir una fórmula per determinar l'incentre.

Ús de la geometria de coordenades : Trobeu l'incentre del triangle amb les coordenades donades com a: A(2, 2), B(6, 2) i C(4, 5)

Segons la informació donada

• (x₁, i₁) = (2, 2)
• (x₂, i₂) = (6, 2)
• (x₃, i₃) = (4, 5)

Sabem que l'incentre d'un triangle és:

I(x, y) = {(ax ₁ + bx ₂ + cx ₃ )/(a + b + c), (és ₁ + per ₂ + c ₃ )/(a + b + c)}

Per al costat a: la distància entre els punts B i C = √((6 – 4)²+ (2 – 5)²) = √8

Per al costat b: la distància entre els punts A i C = √((2 – 4)²+ (2 – 5)²) = √13

Per al costat c: la distància entre els punts A i B = √((6 – 2)²+ (2 – 2)²) = 4

Posant els valors de a, b, c a la fórmula de l'incentre, obtenim:

I(x, y) = {(8×2 + 13×5 + 4×4)/(8 + 13 +4), (8×2 + 13×2 + 4×5)/(8 + 13 +4) )}

⇒ I(x, y) = (16 + 78 + 16)/(25), (16 + 26 + 20)/(25)

⇒ I(x, y) = (110/25, 62/25) = (22/5,62/25)

∴ L'incentre del triangle ABC amb les coordenades és (22/5,62/25)

Com construir l'incentre d'un triangle?

Per construir l'incentre d'un triangle caldrà utilitzar una brúixola. Utilitzant una brúixola, seguiu els passos següents:

Pas 1: Posa un extrem de la brúixola en un vèrtex del triangle i l'altre extrem toca un costat.

Pas 2: Utilitzeu la brúixola per dibuixar dos arcs a dos costats del triangle.

Pas 3: Amb la mateixa distància a la brúixola, feu dos arcs dins del triangle. Aquests arcs s'han de creuar des d'on toquen els costats.

Pas 4: Dibuixa una línia des del vèrtex del triangle fins on es creuen els dos arcs interiors.

Pas 5: Repetiu els mateixos passos des de l'altre vèrtex del triangle.

Pas 6: On les dues línies es troben o es creuen és l'incentre del triangle.

Incentre del triangle rectangle

L'incentre si a Triangle rectangle és el punt on es troben totes les bisectrius d'un triangle rectangle. Si els costats d'un triangle rectangle mesuren a, b i c, el radi de la circumferència ‘r’ es dóna com r = (ab)/(a + b + c). L'incentre del triangle rectangle es mostra a continuació:

Incentre d'un triangle rectangle

Centroide, circumcentre, incentre, ortocentre

El centreide, el circumcentre, l'incentre i l'ortocentre són els quatre punts importants relacionats amb un trengle. A continuació es mostra una comparació entre el centroide, el circumcentre, l'incentre i l'ortocentre:

També, comproveu

• Àrea del triangle
• Perímetre del triangle
• Propietat de suma d'angles d'un triangle

Exemples d'incentre d'un triangle

Exemple 1: Calcula l'incentre del triangle ABC. AB= 8 cm, BC= 15 cm, CA= 17 cm.

Solució:

Utilitzant la fórmula de l'incentre del triangle = (aA + bB + cC)/(a + b + c)

on,

• a = 8
• b = 15
• c = 17

I els angles són,

• A = 30°
• B = 60°
• C = 90°

Posant aquests valors a la fórmula per obtenir,

⇒ {(8)(30) + (15)(60) + (17)(90)}/{8 + 15 + 17}

⇒ (240 + 900 + 1530)/40

⇒ 2670/40

⇒ 66.75

Exemple 2: Jane va calcular l'àrea d'un camp triangular com a 120 metres quadrats. El perímetre del camp és de 36 metres. Si es dibuixa un cercle dins del triangle de manera que toqui tots els costats del triangle, ajuda a Jane a calcular el radi del triangle.

Solució:

Segons la informació donada,

Àrea del triangle = 120 metres quadrats

Perímetre del triangle = 36 metres

Sabem que l'àrea d'un triangle = r × s

s = semiperimetre

s = p/2 = 36/2 = 18

A = r × s

r = A/s

r = 120/18

r = 6,67 metres

Pràctica de problemes sobre l'incentre d'un triangle

Problema 1: donat el triangle PQR amb vèrtexs P(1, 2), Q(4, 6) i R(7, 2), troba les coordenades de l'incentre.

Problema 2: Construeix un triangle ABC amb ∠A = 45°, ∠B = 60° i ∠C = 75°. Utilitzeu el mètode de construcció per trobar l'incentre.

Problema 3: al triangle LMN, si ∠L = 75°, ∠M = 60° i ∠N = 45°, troba les coordenades de l'incentre.

Problema 4: Construeix un triangle XYZ amb ∠X = 80°, ∠Y = 50° i ∠Z = 50°. Utilitzeu el mètode de construcció per trobar l'incentre.

Incentre d'un triangle: preguntes freqüents

Què és l'incentre d'un triangle?

L'incentre d'un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels angles interiors. És equidistant dels tres costats del triangle.

hora de sopar vs sopar

Quina és la importància de l'incentre en un triangle?

L'incentre és significatiu ja que és el centre de la circumferència del triangle, la circumferència més gran que encaixa dins del triangle. Té la propietat d'estar equidistant de tots els costats.

L'incente pot estar fora del triangle?

No, l'incentre sempre està dins del triangle. És el punt de concurrència de les bisectrius dels angles i, per definició, ha d'estar dins dels límits del triangle.

Com es construeix l'Incenter amb una brúixola i una vora recta?

Per construir l'incentre, utilitzeu una brúixola per dibuixar bisectrius des de cada vèrtex fins al costat oposat. L'incentre és el punt on es tallen aquestes bisectrius.

Què és la fórmula Incenter?

La fórmula de l'incentre d'un triangle es pot escriure com:

frac{(aA+bB+cC)}{a+b+c}

Quines són les propietats del centre d'un triangle?

L'incentre té algunes propietats clau. És equidistant dels costats del triangle, és a dir, les distàncies als costats són iguals. A més, és el punt d'intersecció de les bisectrius dels angles, que divideix els angles en dues parts iguals.

Com es determina el centre?

Per determinar l'incentre, cal trobar on es tallen les bisectrius. Això es pot fer mitjançant la fórmula de l'incentre o dibuixant les bisectrius dels angles i trobant el seu punt d'intersecció.

Quina diferència hi ha entre centre i circumcentre?

La principal diferència entre l'incentre i el circumcentre és el seu enfocament. L'incentre s'ocupa de les mediatrius i és el centre del cercle inscrit, mentre que el circumcentre s'ocupa de les mediatrius i és el centre del cercle circumscrit.

És el mateix centre i centroide?

No, l'incentre i el baricentre són diferents. L'incentre és on es troben les bisectrius, mentre que el baricentre és on es tallen les mitjanes. Les mitjanes connecten els vèrtexs al punt mitjà del costat oposat.

És el mateix centre i ortocentre?

No, l'incentre i l'ortocentre no són el mateix. L'incentre és el punt on l'angle es divideix entre si, mentre que l'ortocentre implica altituds: línies de cada vèrtex perpendiculars al costat oposat. Són punts diferents d'un triangle.