Una declaració d'implicació es pot representar en la forma 'si... llavors'. El símbol ⇒ s'utilitza per mostrar la implicació. Suposem que hi ha dos enunciats, P i Q. En aquest cas, l'enunciat 'si P llavors Q' també es pot escriure com P ⇒ Q o P → Q, i es llegirà com 'P implica Q'. En aquesta implicació, l'enunciat P és una hipòtesi, que també es coneix com a premissa i antecedent, i l'enunciat Q és una conclusió, que també es coneix com a conseqüent.
La implicació també juga un paper important en l'argument lògic. Si se sap que la implicació de les afirmacions és certa, sempre que es compleixi la premissa, la conclusió també ha de ser certa. Per aquest motiu, la implicació també es coneix com a declaració condicional.
Alguns exemples d'implicacions es descriuen a continuació:
qui és freddie mercury
- 'Si el temps de GOA és assolellat, anirem a la platja'.
- 'Si el club té un sistema de descomptes, anirem a aquest club'.
- 'Si fa sol mentre anem a la platja, estarem bronzejats'.
La implicació lògica es pot expressar de diverses maneres, que es descriuen de la següent manera:
- Si p llavors q
- Si p, q
- q quan p
- Q només si P
- q tret que ~p
- q sempre que p
- p és una condició suficient per a q
- q segueix p
- p implica q
- Una condició necessària per a p és q
- q si p
- q és necessari per a p
- p és una condició necessària per a q
Ara descriurem els exemples de totes les implicacions descrites anteriorment amb l'ajuda de la premissa P i la conclusió Q. Per a això, assumirem que P = Fa sol i Q = Aniré a la platja.
P ⇒ Q
- SI fa sol, aniré a la platja
- SI fa sol, aniré a la platja
- Aniré a la platja QUAN faci sol
- NOMÉS aniré a la platja si fa sol
- Aniré a la platja A TREVAT QUE no faci sol
- Aniré a la platja sempre que faci sol
- Fa sol ÉS UNA CONDICIÓ SUFICIENT PER A anar a la platja
- Aniré a la platja SEGUIR que fa sol
- Fa sol IMPLICA que aniré a la platja
- UNA CONDICIÓ NECESSARIA PER QUE faci sol és que aniré a la platja
- Aniré a la platja si fa sol
- Aniré a la platja ES NECESSARI PER QUE fa sol
- Fa sol ÉS UNA CONDICIÓ NECESSARIA PER QUE aniré a la platja
Quan hi ha una declaració condicional 'si p llavors q', aleshores aquesta afirmació P ⇒ Q serà falsa quan les premisses p siguin certes i la conclusió q sigui falsa. En tots els altres casos, això vol dir que quan p és falsa o Q és certa, l'afirmació P ⇒ Q serà certa. Podem representar aquesta afirmació amb l'ajuda d'una taula de veritat en la qual el fals es representarà per F i vertader es representarà per T. La taula de veritat de l'enunciat 'si P llavors Q' es descriu de la següent manera:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
No és necessari que les premisses i la conclusió estiguin relacionades entre si. Sobre la base de la formulació de P i Q, la interpretació de la taula de veritat depèn.
Per exemple:
- Si Jack està fet de plàstic, llavors l'oceà és verd.
- La declaració: Jack està fet de plàstic
- La declaració: L'oceà és verd
Les dues afirmacions anteriors no tenen cap sentit perquè Jack és un ésser humà i mai pot estar fet de plàstic, i una altra afirmació que l'oceà és verd mai no passarà perquè l'oceà sempre és blau i el color de l'oceà no es pot canviar. Com podem veure que ambdues afirmacions no estan relacionades entre si. D'altra banda, la taula de veritat de l'enunciat P ⇒ Q és vàlida. Per tant, no es tracta de si la taula de veritat és correcta o no, sinó d'imaginació i interpretació.
Així, a P ⇒ Q, no necessitem cap tipus de connexió entre la premissa i la conseqüent. Sobre la base del valor real de P i Q, el significat d'aquests només depèn.
Aquestes afirmacions també seran falses encara que considerem les dues afirmacions per al nostre món, per tant
False ⇒ False
Així, quan mirem la taula de veritat anterior, veiem que quan P és falsa i Q és falsa, aleshores P ⇒ Q és certa.
Per tant, si el Jack està fet de plàstic, l'oceà serà verd.
Tanmateix, la premissa p i la conclusió q estaran relacionades, i ambdues afirmacions tenen sentit.
Ambigüitat
Pot haver-hi una ambigüitat en l'operador implícit. Així, quan fem servir l'operador implica (⇒), en aquest moment, hauríem d'utilitzar el parèntesi.
Per exemple: En aquest exemple, tenim una declaració ambigua P ⇒ Q ⇒ R. Ara, tenim dues afirmacions ambigües ((P ⇒ Q) ⇒ R) o (P ⇒ (Q ⇒ R)), i hem de mostrar si aquestes afirmacions són semblants o no.
Solució: Ho demostrarem amb l'ajuda d'una taula de veritat, que es descriu de la següent manera:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (Q ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
A la taula de veritat anterior, podem veure que la taula de veritat de P ⇒ (Q ⇒ R) i (P ⇒ Q) ⇒ R no són semblants. Per tant, tots dos generaran sortides o resultats diferents.
Més informació sobre la implicació
Alguns exemples més d'implicacions es descriuen a continuació:
- Si fa sol, aniré a l'escola.
- Si aconsegueixo una bona feina, guanyaré diners.
- Si trec bones notes, els meus pares estaran contents.
En tots els exemples anteriors, ens confonem perquè no sabem quan una implicació es considerarà vertadera i quan es considerarà falsa. Per resoldre aquest problema i per entendre el concepte d'implicació, farem servir un exemple hipotètic. En aquest exemple, suposarem que Marry jugarà a bàdminton amb el seu xicot Jack, i el seu xicot Jack vol motivar una mica en Marry, així que la atrau amb una afirmació:
'If you win then I will buy a ring for you'
Mitjançant aquesta declaració, Jack vol dir que si guanya el matrimoni, llavors òbviament comprarà un anell. Mitjançant aquesta declaració, Jack només es compromet quan Marry guanya. No va cometre res en cap cas quan Mary va perdre. Així, al final del partit, només hi pot haver quatre possibilitats, que es descriuen de la següent manera:
- Casar-se guanya: compra un anell.
- Marry guanya: no compreu anell.
- Casar-se perd - comprar un anell.
- Casar-se perd - no comprar anell.
Tanmateix, Jack no va fer cap declaració relacionada amb la regla (B). Tampoc va esmentar les regles número (C) i (D) a la seva declaració, així que si Marry deixa solt, depèn totalment de Jack comprar-li un anell o no. En efecte, les afirmacions (A), (C) i (D) podrien passar com a resultat de la declaració que Jack diu a Marry, però (B) no serà el resultat. Si es produeix el resultat (B), només llavors Jack quedarà atrapat en una mentida. En els altres tres casos, és a dir, (A), (C) i (D), haurà dit la veritat.
Ara farem servir la declaració més senzilla perquè puguem definir simbòlicament la declaració de Jack així:
P: you win Q: I will buy a ring for you
En aquesta implicació, utilitzem el símbol lògic ⇒, que es pot llegir com a 'implica'. Formarem la declaració composta de Jack amb l'ajuda de posar aquesta fletxa de P a Q així:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
En conclusió, hem observat que la implicació només serà falsa quan P és certa i q és falsa. Segons aquesta declaració, Marry guanya el joc, però lamentablement Jack no compra un anell. En tots els altres casos/resultats, l'afirmació serà certa. En conseqüència, la taula de veritat per a la implicació es descriu de la següent manera:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
La llista d'equacions lògiques corresponents per a la implicació es descriu de la següent manera:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Exemples d'implicacions:
Hi ha diversos exemples d'implicacions, i alguns d'ells es descriuen de la següent manera:
Exemple 1: Suposem que hi ha quatre enunciats, P, Q, R i S on
P: Jack és a l'escola
P: Jack està ensenyant
R: Jack està dormint
S: Jack està malalt
Ara descriurem algunes afirmacions simbòliques que estan implicades amb aquestes declaracions senzilles.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Aquí hem de mostrar la representació de la interpretació d'aquestes afirmacions simbòliques en paraules.
Solució:
| P → R | Si Jack va a l'escola, llavors Jack està ensenyant. |
| S → ~P | Si Jack està malalt, no està a l'escola. |
| ~Q → (S ∧ R) | Si Jack no està ensenyant, està malalt i dorm. |
| (P ∨ R) → ~Q | Si Jack està a l'escola o dorm, no està ensenyant. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Si Jack no està dormint i no està malalt, llavors està ensenyant o no a l'escola. |
Exemple 2: En aquest exemple, tenim una implicació P → Q. Aquí també tenim tres enunciats compostos més que s'associen de manera natural amb aquesta implicació que és contrapositiva, inversa i inversa de la implicació. La relació entre tots aquests quatre enunciats es descriu amb l'ajuda d'una taula, que es descriu de la següent manera:
| Implicació | P → Q |
| conversar | Q → P |
| Invers | ~P → ~Q |
| Contrapositive | ~Q → ~P |
Ara considerarem un exemple d'implicació, que té l'enunciat: 'Si estudies bé, treus bones notes'. Aquesta afirmació té la forma P → Q, on
P: estudies bé
P: treus bones notes
Ara utilitzarem les declaracions P i Q i mostrarem les quatre declaracions associades com aquesta:
Implicació: Si estudies bé, treus bones notes.
Conversar: Si treus bones notes, estudies bé.
Invers: Si no estudies bé, no treus bones notes.
Contrapositive: Si no treus bones notes, no estudies bé.
Els valors de veritat de totes les afirmacions associades anteriors es descriuen amb l'ajuda d'una taula de veritat, que es descriu a continuació
| P | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
A la taula anterior, podem veure que la implicació (P → Q) i el seu contrapositiu (~Q → ~P) tenen el mateix valor a les seves columnes. Això vol dir que tots dos són equivalents. Així que podem dir que:
P → Q = ~Q → ~P
De la mateixa manera, podem veure que la inversa i la inversa tenen valors similars a les seves columnes. Però això no farà cap diferència perquè la inversa és la contrapositiva de la inversa. De la mateixa manera, la implicació original pot derivar del contrapositiu del contrapositiu. (Això vol dir que si neguem P i Q i després canviem la direcció de la fletxa, i després d'això, tornarem a repetir el procés, això vol dir que neguem ~P i ~Q, i de nou canviem la direcció de la fletxa, en aquest cas, obtindrem tornar on vam començar).