Suposem que hi ha dues fórmules, X i Y. Aquestes fórmules es coneixeran com a equivalència si X ↔ Y és una tautologia. Si dues fórmules X ↔ Y són una tautologia, llavors també podem escriure-ho com a X ⇔ Y, i podem llegir aquesta relació com que X és equivalència a Y.
Nota: Hi ha alguns punts que hauríem de tenir en compte durant l'equivalència lineal de la fórmula, que es descriuen de la següent manera:
- ⇔ s'utilitza per indicar només símbol, però no és connectiu.
- El valor de veritat de X i Y sempre serà igual si X ↔ Y és una tautologia.
- La relació d'equivalència conté dues propietats, és a dir, simètrica i transitiva.
Mètode 1: mètode de la taula de veritat:
En aquest mètode, construirem les taules de veritat de qualsevol fórmula de dues afirmacions i després comprovarem si aquestes afirmacions són equivalents.
Exemple 1: En aquest exemple, hem de demostrar X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).
Solució: La taula de veritat de X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) es descriu de la següent manera:
| X | I | X ∨ Y | ¬X | ¬I | ¬X ∧ ¬Y | ¬(¬X ∧ ¬Y) | X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | T | T |
| T | F | T | F | T | F | T | T |
| F | T | T | T | F | F | T | T |
| F | F | F | T | T | T | F | T |
Com podem veure que X ∨ Y i ¬(¬X ∧ ¬Y) és una tautologia. Per tant, X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).
Exemple 2: En aquest exemple, hem de demostrar (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).
Solució: La taula de veritat de (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) es descriu de la següent manera:
| X | I | X → Y | ¬X | ¬X ∨ Y | (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | T | T |
| T | F | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
Com podem veure que X → Y i (¬X ∨ Y) són una tautologia. Per tant (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)
Fórmula d'equivalència:
Hi ha diverses lleis que s'utilitzen per demostrar la fórmula d'equivalència, que es descriu de la següent manera:
Llei idempotent: Si hi ha una fórmula de declaració, tindrà les propietats següents:
X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X
Dret associatiu: Si hi ha tres fórmules d'instruccions, tindrà les propietats següents:
(X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z)
Dret commutatiu: Si hi ha dues fórmules de declaració, tindrà les propietats següents:
X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X
Llei distributiva: Si hi ha tres fórmules d'instruccions, tindrà les propietats següents:
diferència de dates en excel
X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z)
Llei d'identitat: Si hi ha una fórmula de declaració, tindrà les propietats següents:
(a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F
Llei complementària: Si hi ha una fórmula de declaració, tindrà les propietats següents:
(a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T
Llei d'absorció: Si hi ha dues fórmules de declaració, tindrà les propietats següents:
X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X
De la llei de Morgan: Si hi ha dues fórmules de declaració, tindrà les propietats següents:
¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y
Mètode 2: Procés de substitució
En aquest mètode, assumirem una fórmula A : X → (Y → Z). La fórmula Y → Z es pot conèixer com la part de la fórmula. Si substituïm aquesta part de la fórmula, és a dir, Y → Z, amb l'ajuda de la fórmula d'equivalència ¬Y ∨ Z en A, obtindrem una altra fórmula, és a dir, B : X → (¬Y ∨ Z). És un procés fàcil verificar si les fórmules A i B donades són equivalents o no. Amb l'ajuda del procés de substitució, podem obtenir B d'A.
Exemple 1: En aquest exemple, hem de demostrar que {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.
Solució: Aquí, agafarem la part del costat esquerre i intentarem aconseguir la part del costat dret.
X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
Ara farem servir la llei associativa així:
⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z
Ara farem servir la llei de De Morgan així:
⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
Per tant demostrat
{X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z Exemple 2: En aquest exemple, hem de demostrar que {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) → Y.
Solució: Aquí, agafarem la part del costat esquerre i intentarem aconseguir la part del costat dret.
(X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y
Per tant demostrat
{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) → Y
Exemple 3: En aquest exemple, hem de demostrar que X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).
Solució: Aquí, agafarem la part del costat esquerre i intentarem aconseguir la part del costat dret.
X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T
Per tant demostrat
X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y)
Exemple 4: En aquest exemple, hem de demostrar que (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.
Solució: Aquí, agafarem la part del costat esquerre i intentarem aconseguir la part del costat dret.
(¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z)
Ara farem servir les lleis associatives i distributives com aquesta:
⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z)
Ara farem servir la llei de De Morgan així:
⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z)
Ara farem servir la llei distributiva com aquesta:
⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R
Per tant demostrat
(¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R
Exemple 5: En aquest exemple, hem de demostrar que ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) és una tautologia.
Solució: Aquí, agafarem petites parts i les resoldrem.
En primer lloc, utilitzarem la llei de De Morgan i obtindrem el següent:
¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z)
Per tant,
(¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z))
També
¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)
Per tant
((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)
Així
((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T
Per tant podem dir que la fórmula donada és una tautologia.
Exemple 6: En aquest exemple, hem de demostrar que (X ∧ Y) → (X ∨ Y) és una tautologia.
Solució: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)
⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y]
Ara farem servir la llei de De Morgan així:
⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y)
Ara farem servir la llei associativa i la llei commutativa així:
⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y)
Ara farem servir la llei de la negació com aquesta:
⇔ (T ∨ T) ⇔ T
Per tant podem dir que la fórmula donada és una tautologia.
ciutat a uas
Exemple 7: En aquest exemple, hem d'escriure la negació d'alguns enunciats, que es descriuen de la següent manera:
- Marry completarà la seva formació o acceptarà la carta d'adhesió de l'empresa XYZ.
- En Harry anirà a passejar o córrer demà.
- Si trec bones notes, el meu cosí estarà gelós.
Solució: Primer, resoldrem la primera afirmació així:
1. Suposem que X: Marry completarà la seva educació.
Y: Accepteu la carta d'unió de XYZ Company.
Podem utilitzar la forma simbòlica següent per expressar aquesta afirmació:
X ∨ Y
La negació de X ∨ Y es descriu de la següent manera:
¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y
En conclusió, la negació de l'enunciat donat serà:
¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company.
2. Suposem que X: en Harry anirà a fer un passeig
Y: En Harry correrà demà
Podem utilitzar la forma simbòlica següent per expressar aquesta afirmació:
X ∨ Y
La negació de X ∨ Y es descriu de la següent manera:
¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y
En conclusió, la negació de l'enunciat donat serà:
¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow
3. Suposem que X: si trec bones notes.
Y: El meu cosí estarà gelós.
Podem utilitzar la forma simbòlica següent per expressar aquesta afirmació:
X → Y
La negació de X → Y es descriu de la següent manera:
¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y.
En conclusió, la negació de l'enunciat donat serà:
X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous.
Exemple 8: En aquest exemple, hem d'escriure la negació d'alguns enunciats amb l'ajuda de la llei de De Morgan. Aquestes declaracions es descriuen de la següent manera:
- Necessito un conjunt de diamants i valgui un anell d'or.
- Aconsegueix una bona feina o no aconseguiràs una bona parella.
- Em dedico molta feina i no la puc suportar.
- El meu gos va de viatge o fa un embolic a casa.
Solució: La negació de totes les afirmacions amb l'ajuda de la llei de De Morgan es descriu una per una així:
- No necessito un conjunt de diamants o no valgui un anell d'or.
- No pots aconseguir una bona feina i aconseguiràs una bona parella.
- No em dedico gaire feina o puc gestionar-ho.
- El meu gos no va de viatge i no fa un embolic a casa.
Exemple 9: En aquest exemple, tenim algunes afirmacions i hem d'escriure la negació d'aquestes afirmacions. Les declaracions es descriuen de la següent manera:
- Si plou, s'anul·la el pla d'anar a la platja.
- Si estudio molt, obtindré bones notes a l'examen.
- Si vaig a una festa nocturna, rebré el càstig del meu pare.
- Si no vols parlar amb mi, has de bloquejar el meu número.
Solució: La negació de totes les afirmacions es descriu una per una així:
- Si s'anul·la el pla d'anar a la platja, plou.
- Si trec bones notes a l'examen, estudiaré molt.
- Si rebré el càstig del meu pare, aniré a una festa a la nit.
- Si has de bloquejar el meu número, no vols parlar amb mi.
Exemple 10: En aquest exemple, hem de comprovar si (X → Y) → Z i X → (Y → Z) són lògicament equivalents o no. Hem de justificar la nostra resposta amb l'ajuda de taules de veritat i amb l'ajuda de regles de lògica per simplificar ambdues expressions.
Solució: En primer lloc, utilitzarem el mètode 1 per comprovar si (X → Y) → Z i X → (Y → Z) són lògicament equivalents, que es descriu a continuació:
mòduls de molla
Mètode 1: Aquí, assumirem el següent:
(X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z)
I
X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z)
Mètode 2: Ara, utilitzarem el segon mètode. En aquest mètode, utilitzarem la taula de veritat.
| X | I | AMB | X → Y | (X → Y) → Z | Y → Z | X → (Y → Z) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | F | F | T | F | T | T |
En aquesta taula de veritat, podem veure que les columnes de (X → Y) → Z i X → (Y → Z) no contenen valors idèntics.