La derivada de Sec x és sec x tan x. La derivada de Sec x fa referència al procés de trobar el canvi en la funció secant respecte a la variable independent. El procés específic de trobar la derivada per a funcions trigonomètriques es coneix com a diferenciació trigonomètrica, i la derivada de Sec x és un dels resultats clau en la diferenciació trigonomètrica.

En aquest article, coneixerem la derivada de sec x i la seva fórmula, inclosa la demostració de la fórmula utilitzant també el primer principi de derivades, la regla del quocient i la regla de la cadena.

Què és la derivada en matemàtiques?

El derivat d'una funció és la taxa de canvi de la funció respecte a qualsevol variable independent. La derivada d'una funció f(x) es denota com f'(x) o (d /dx) [f(x)]. La diferenciació d'a funció trigonomètrica s'anomena derivada de la funció trigonomètrica o derivades trigonomètriques.

Què és la derivada de Sec x?

La derivada de la sec x és (sec x ).(tan x). La derivada de sec x és la taxa de canvi respecte a l'angle, és a dir, x. Entre les derivades trigonomètriques, la derivada de la sec x és una de les derivades. La resultant de la derivada de sec x és (sec x ).(tan x) .

Derivada de la fórmula Sec x

La fórmula per a la derivada de sec x ve donada per:

d/dx [seg x] = (seg x).(tan x)

o

(sec x)’ = (sec x).(tan x)

Prova de la derivada de la sec x

La derivada de sec x es pot demostrar mitjançant les maneres següents:

• Utilitzant el primer principi de la derivada
• Mitjançant l'ús de la regla del quocient
• Mitjançant l'ús de la regla de la cadena

Derivada de Sec x pel primer principi de derivada

Per demostrar la derivada de sec x utilitzant Primer principi de la derivada , utilitzarem límits bàsics i fórmules trigonomètriques que s'enumeren a continuació:

1. cos A – cos B = -2 sense (A+B)/2 sense (A-B)/2.
2. lim_x→0(sense x) / x = 1
3. 1/cos x = sec x
4. sense x/cos x = tan x.

Comencem la demostració de la derivada de sec x , suposem que f(x) = sec x.

Segons el primer principi, la derivada d'una funció f(x) és,

f'(x) = lím_h→0[f(x + h) – f(x)] / h … (1)

Com que f(x) = sec x, tenim f(x + h) = sec (x + h).

Substituint aquests valors a (1),

f’ (x) = lím_h→0[sec (x + h) – sec x]/h

⇒ lm_h→01/h [1/(cos (x + h) – 1/cos x)]

⇒lim_h→01/h [cos x – cos (x + h)] / [cos x cos (x + h)]

⇒ 1/cos x lim_h->01/h [- 2 sin (x + x + h)/2 sin (x – x – h)/2] / [cos(x + h)] {Per 1}

⇒ 1/cos x lim_h->01/h [- 2 sense (2x + h)/2 sense (- h)/2] / [cos(x + h)]

Multiplicar i dividir per h/2,

⇒ 1/cos x lim_h->0(1/h) (h/2) [- 2 sin (2x + h)/2 sin (- h/2) / (h/2)] / [cos(x + h)]

Quan h → 0, tenim h/2 → 0. Per tant,

⇒ 1/cos x Lím_h/2->0pecat (h/2) / (h/2). lim_h->0(sense(2x + h)/2)/cos(x + h)

⇒ 1/cos x. 1. sin x/cos x {Per 2}

⇒ seg x · tan x {Per 3 i 4}

Per tant, f'(x) = d/dx [sec x] = sec x . tan x

Derivada de la sec x per la regla del quocient

Per demostrar la derivada de sec x utilitzant Regla del quocient , utilitzarem derivades bàsiques i fórmules trigonomètriques que s'enumeren a continuació:

1. sec x = 1/cos x
2. (d/dx) [u/v] = [u’v – uv’]/v²

Comencem la demostració de la derivada de sec x, suposem que f(x) = sec x = 1/cos x.

Tenim f(x) = 1/cos x = u/v

Per la regla del quocient,

f'(x) = (vu’ – uv’) / v²

selecciona com

f'(x) = [cos x d/dx (1) – 1 d/dx (cos x)] / (cos x)²

⇒ [cos x (0) – 1 (-sense x)] / cos²x

⇒ (sense x) / cos²x

⇒ 1/cos x · (sense x)/ (cos x)

⇒ sec x · tan x

Per tant, f'(x) = d/dx [sec x] = sec x. tan x

Derivada de Sec x per regla de cadena

Per demostrar la derivada de sin x utilitzant regla de la cadena , utilitzarem derivades bàsiques i fórmules trigonomètriques que s'enumeren a continuació:

1. a^-m= 1/a^m
2. d/dx [cos x] = – sense x
3. d/dx [xⁿ] = nx^n-1

Comencem la demostració de la derivada de sec x, suposem que f(x) = sec x = 1/cos x.

Podem escriure f(x) com,

f(x) = 1/cos x = (cos x)^-1

Per regla de poder i regla de cadena,

f'(x) = (-1) (cos x)^-2d/dx (cos x) {En 3}

⇒ -1/cos²x · (- sin x) {Per 1 i 2}

⇒ (sense x) / cos²x

⇒ 1/cos x · (sense x)/ (cos x)

⇒ sec x · tan x

Per tant, f'(x) = d/dx [sec x] = sec x. tan x

Aprendre mes sobre,

• Derivada de Cosec x
• Fórmules de diferenciació
• Diferenciació de Funcions Trigonomètriques

Derivada de Sec x Exemples

Exemple 1: Trobeu la derivada de sec x ·tan x.

Solució:

Deixar f(x) = sec x · tan x = u.v

Per regla de producte,

f'(x) = u.v’ + v.u’

⇒ (seg x) d/dx (tan x) + (tan x) d/dx (seg x)

⇒ (seg x)(seg²x) + (tan x) (sec x · tan x)

⇒ seg³x + sec x tan²x

Per tant f'(x)=sec³x + sec x tan²x.

Exemple 2: Trobeu la derivada de (seg x) ² .

Solució:

Sigui f(x) = (seg x)²

Per regla de poder i regla de cadena,

f'(x) = 2 s x d/dx (s x)

⇒ 2 sec x · (sec x · tan x)

⇒ 2 segons²x tan x

Per tant f'(x)=2 seg²x tan x.

Exemple 3: Trobeu la derivada de sec ^-1 x.

Solució:

Deixar i = sec^-1x.

Aleshores, sec y = x … (1)

Diferenciant ambdós costats respecte a x,

⇒ sec i · tan i (di/dx) = 1

⇒ di/dx = 1 / (sec i · tan y)… (2)

Per un dels identitats trigonomètriques ,

[ tan y = √sec²y – 1 = √x² – 1 ]

⇒ dy/dx = 1/(x √x² – 1)

Per tant, f'(x)= 1/(x √x² – 1).

Derivada de Sec x Preguntes pràctiques

Q1. Trobeu la derivada de sec 7x

P2. Trobeu la derivada de x².sec x

P3 . Avalueu: (d/dx) [seg x/(x²+ 2)]

P4 . Avalueu la derivada de: sin x. tan x. bressol x

P5 . Find: (tan x)^{seg x}

Derivada de Sec x FAQs

Què és el derivat?

La derivada de la funció es defineix com la taxa de canvi de la funció respecte a una variable.

Escriu la fórmula per a la derivada de sec x.

La fórmula per a la derivada de sec x és:

d/dx(sec x) = sec x. tan x

Quina és la derivada de sec (-x)?

La derivada de sec (-x) és sec(-x).tan(-x).(-1)

Quins són els diferents mètodes per demostrar la derivada de Sec x?

Els diferents mètodes per demostrar la derivada de sin x són:

• Utilitzant el primer principi de la derivada
• Per regla de quocient
• Per regla de cadena

Quina és la derivada de la sec x negativa?

Derivada de sec x negatiu, és a dir, -sec x és (-sec x. tan x).

Quina és la derivada de Cos x?

La derivada de cos x és -sin x.

Quina és la derivada de 2 sec x?

La derivada de 2 s x és 2 s x. tan x

Quina és la derivada de Tan x?

La derivada de tan x és sec²x.