Un matemàtic famós DeMorgan va inventar els dos teoremes més importants de l'àlgebra booleana. Els teoremes de DeMorgan s'utilitzen per a la verificació matemàtica de l'equivalència de les portes NOR i AND negatives i les portes OR negatives i NAND. Aquests teoremes tenen un paper important en la resolució de diverses expressions d'àlgebra booleana. A la taula següent, es defineix l'operació lògica per a cada combinació de la variable d'entrada.
| Variables d'entrada | Condició de sortida | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | I | NAND | O | NOR |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Les regles del teorema de De-Morgan es produeixen a partir de les expressions booleanes de OR , AND , i NO utilitzant dues variables d'entrada x i y. El primer teorema de Demorgan diu que si fem l'operació AND de dues variables d'entrada i després fem l'operació NOT del resultat, el resultat serà el mateix que l'operació OR del complement d'aquesta variable. El segon teorema de DeMorgan diu que si realitzem l'operació OR de dues variables d'entrada i després realitzem la NO funcionament del resultat, el resultat serà el mateix que l'operació AND del complement d'aquesta variable.
Primer teorema de De-Morgan
Segons el primer teorema, el resultat del complement de l'operació AND és igual a l'operació OR del complement d'aquesta variable. Per tant, és equivalent a la funció NAND i és una funció OR negativa que demostra que (A.B)' = A'+B' i ho podem mostrar mitjançant la taula següent.
| Entrades | Sortida per a cada termini | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)' | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Segon teorema de De-Morgan
Segons el segon teorema, el resultat del complement de l'operació OR és igual a l'operació AND del complement d'aquesta variable. Per tant, és l'equivalent de la funció NOR i és una funció AND negativa que demostra que (A+B)' = A'.B' i ho podem mostrar utilitzant la següent taula de veritat.
| Entrades | Sortida per a cada termini | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Prenguem alguns exemples en què agafem algunes expressions i apliquem els teoremes de DeMorgan.
Exemple 1: (A.B.C)'
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Exemple 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Exemple 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Per aplicar el teorema de DeMorgan a aquesta expressió, hem de seguir les expressions següents:
1) En expressió completa, primer, trobem aquells termes sobre els quals podem aplicar el teorema de DeMorgan i tractar cada terme com una única variable.
Tan,
2) A continuació, apliquem el primer teorema de DeMorgan. Tan,
3) A continuació, utilitzem la regla número 9, és a dir, (A=(A')') per cancel·lar les barres dobles.
4) A continuació, apliquem el segon teorema de DeMorgan. Tan,
5) Torna a aplicar la regla número 9 per cancel·lar la barra doble
Ara bé, aquesta expressió no té cap terme en què puguem aplicar cap regla o teorema. Per tant, aquesta és l'expressió final.
Exemple 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
genericitat en java
