Vols posar-te a prova amb les preguntes de matemàtiques SAT més difícils? Vols saber què fa que aquestes preguntes siguin tan difícils i la millor manera de resoldre-les? Si esteu preparats per enfonsar-vos les dents a la secció de matemàtiques SAT i tens la mirada posada en aquesta puntuació perfecta, aquesta és la guia per a tu.

Hem reunit el que creiem que és les 15 preguntes més difícils per al SAT actual , amb estratègies i explicacions de respostes per a cadascuna. Totes aquestes són preguntes difícils de matemàtiques SAT de les proves pràctiques SAT del College Board, el que significa que comprendre-les és una de les millors maneres d'estudiar per a aquells que busqueu la perfecció.

Imatge: Sonia Sevilla /Viquimèdia

Breu visió general de SAT Math

Les seccions tercera i quarta del SAT seran sempre seccions de matemàtiques . La primera subsecció de matemàtiques (anomenada '3') fa no us permetrà utilitzar una calculadora, mentre que la segona subsecció de matemàtiques (etiquetada com a '4') fa permet l'ús d'una calculadora. Tanmateix, no us preocupeu massa per la secció sense calculadora: si no teniu permís per fer servir una calculadora per a una pregunta, vol dir que no necessiteu una calculadora per respondre-la.

Cada subsecció de matemàtiques està ordenada per ordre ascendent de dificultat (on com més temps es triga a resoldre un problema i com menys persones el responguin correctament, més difícil és). A cada subsecció, la pregunta 1 serà 'fàcil' i la pregunta 15 es considerarà 'difícil'. Tanmateix, la dificultat ascendent es restableix de fàcil a difícil a les graelles.

Per tant, les preguntes d'elecció múltiple s'organitzen en dificultat creixent (les preguntes 1 i 2 seran les més fàcils, les preguntes 14 i 15 seran les més difícils), però el nivell de dificultat es restableix per a la secció de graella (és a dir, les preguntes 16 i 17 seran de nou. 'fàcil' i les preguntes 19 i 20 seran molt difícils).

Amb poques excepcions, doncs, els problemes de matemàtiques SAT més difícils s'agruparan al final dels segments d'elecció múltiple o a la segona meitat de les preguntes de la graella. Tanmateix, a més de la seva col·locació a la prova, aquestes preguntes també comparteixen alguns altres punts en comú. En un minut, veurem preguntes d'exemple i com resoldre'ls, i després les analitzarem per esbrinar què tenen en comú aquest tipus de preguntes.

Però primer: hauríeu de centrar-vos en les preguntes de matemàtiques més difícils ara mateix?

Si acabeu de començar la vostra preparació per a l'estudi (o si simplement us heu saltat aquest primer pas crucial), definitivament atureu-vos i feu una prova pràctica completa per avaluar el vostre nivell de puntuació actual. Consulteu la nostra guia totes les proves de pràctica SAT gratuïtes disponibles en línia i després seure a fer una prova alhora.

La millor manera absoluta d'avaluar el vostre nivell actual és simplement fer la prova de pràctica SAT com si fos real, mantenint un temps estricte i treballant directament amb només les pauses permeses (sabem, probablement no la vostra manera preferida de passar un dissabte). Un cop tingueu una bona idea del vostre nivell actual i la vostra classificació percentil, podeu establir fites i objectius per a la vostra puntuació final de SAT Math.

Si actualment esteu puntuant entre 200 i 400 o entre 400 i 600 a SAT Math, la millor opció és consultar la nostra guia per millorar la vostra puntuació de matemàtiques. ser constantment superior a 600 abans de començar a tractar d'abordar els problemes matemàtics més difícils de la prova.

Tanmateix, si ja teniu una puntuació superior a 600 a la secció de matemàtiques i voleu provar el vostre valor per al SAT real, aneu definitivament a la resta d'aquesta guia. Si busqueu la perfecció (o a prop) , llavors haureu de saber com són les preguntes de matemàtiques SAT més difícils i com resoldre'ls. I, per sort, això és exactament el que farem.

ADVERTIMENT: Com que hi ha un nombre limitat de proves pràctiques oficials del SAT , és possible que vulgueu esperar per llegir aquest article fins que hàgiu provat totes o la majoria de les quatre primeres proves pràctiques oficials (ja que la majoria de les preguntes següents es van extreure d'aquestes proves). Si us preocupa fer malbé aquestes proves, deixeu de llegir aquesta guia ara; torna i llegeix-lo quan els hagis acabat.

Ara anem a la nostra llista de preguntes (whoo)!

Imatge: Niytx /DeviantArt

Les 15 preguntes de matemàtiques SAT més difícils

Ara que esteu segur que hauríeu d'intentar aquestes preguntes, anem a submergir-nos! Hem seleccionat 15 de les preguntes de matemàtiques SAT més difícils per a que les proveu a continuació, juntament amb explicacions sobre com obtenir la resposta (si us trobeu).

Sense calculadora SAT Preguntes de matemàtiques

Pregunta 1

$$C=5/9(F-32)$$

L'equació anterior mostra com la temperatura $F$, mesurada en graus Fahrenheit, es relaciona amb una temperatura $C$, mesurada en graus Celsius. D'acord amb l'equació, quina de les següents afirmacions ha de ser certa?

1. Un augment de la temperatura d'1 grau Fahrenheit és equivalent a un augment de la temperatura de $ 5/9 $ grau Celsius.
2. Un augment de temperatura d'1 grau Celsius equival a un augment de temperatura d'1,8 graus Fahrenheit.
3. Un augment de temperatura de $ 5/9 $ grau Fahrenheit equival a un augment de temperatura d'1 grau Celsius.

A) Només jo
B) Només II
C) Només III
D) Només I i II

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Penseu en l'equació com una equació per a una recta

$$y=mx+b$$

on en aquest cas

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

o

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Podeu veure que el pendent del gràfic és de /{9}$, el que significa que per a un augment d'1 grau Fahrenheit, l'augment és de /{9}$ d'1 grau centígrad.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Per tant, l'afirmació I és certa. Això equival a dir que un augment d'1 grau Celsius és igual a un augment de /{5}$ graus Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Com que /{5}$ = 1,8, l'afirmació II és certa.

L'única resposta que té tant l'afirmació I com l'afirmació II com a certes és D , però si teniu temps i voleu ser absolutament exhaustiu, també podeu comprovar si l'afirmació III (un augment de /{9}$ grau Fahrenheit és igual a un augment de temperatura d'1 grau Celsius) és certa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (que és ≠ 1)$$

Un augment de /9$ grau Fahrenheit comporta un augment de /{81}$, no 1 grau Celsius, i per tant l'afirmació III no és certa.

La resposta final és D.

Pregunta 2

L'equació${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$és cert per a tots els valors de $x≠2/a$, on $a$ és una constant.

crida a la funció javascript des d'html

Quin és el valor de $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Hi ha dues maneres de resoldre aquesta qüestió. La manera més ràpida és multiplicar cada costat de l'equació donada per $ax-2$ (per tal que pugueu desfer-vos de la fracció). Quan multipliqueu cada costat per $ax-2$, hauríeu de tenir:

$x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Aleshores hauríeu de multiplicar $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ amb FOIL.

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

A continuació, reduïu al costat dret de l'equació

$x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Com que els coeficients del terme $x^2$ han de ser iguals als dos costats de l'equació, $−8a = 24$, o $a = −3$.

L'altra opció que és més llarga i tediosa és intentar connectar totes les opcions de resposta per a a i veure quina opció de resposta fa que els dos costats de l'equació siguin iguals. De nou, aquesta és l'opció més llarga i no la recomano per al SAT real, ja que perdrà massa temps.

La resposta final és B.

Pregunta 3

Si x-y = 12$, quin és el valor de ${8^x}/{2^y}$?

A) ^{12}$
B) 4$^4$
C) 8$^2$
D) El valor no es pot determinar a partir de la informació proporcionada.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Un enfocament és expressar

$${8^x}/{2^y}$$

de manera que el numerador i el denominador s'expressen amb la mateixa base. Com que 2 i 8 són totes dues potències de 2, substituint ^3$ per 8 al numerador de ${8^x}/{2^y}$ dóna

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

que es pot reescriure

$${2^3x}/{2^y}$$

Com que el numerador i el denominador de tenen una base comuna, aquesta expressió es pot reescriure com ^(3x−y)$. A la pregunta, afirma que x − y = 12$, de manera que es pot substituir 12 per l'exponent, x − y$, el que significa que

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

La resposta final és A.

Pregunta 4

Els punts A i B es troben en una circumferència de radi 1, i l'arc ${AB}↖⌢$ té una longitud de $π/3$. Quina fracció de la circumferència del cercle té la longitud de l'arc ${AB}↖⌢$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per esbrinar la resposta a aquesta pregunta, primer haureu de conèixer la fórmula per trobar la circumferència d'un cercle.

La circumferència, $C$, d'un cercle és $C = 2πr$, on $r$ és el radi del cercle. Per al cercle donat amb un radi d'1, la circumferència és $C = 2(π)(1)$, o $C = 2π$.

Per trobar quina fracció de la circumferència és la longitud de ${AB}↖⌢$, divideix la longitud de l'arc per la circumferència, la qual cosa dóna $π/3 ÷ 2π$. Aquesta divisió es pot representar per $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

La fracció /6$ també es pot reescriure com a

Vols posar-te a prova amb les preguntes de matemàtiques SAT més difícils? Vols saber què fa que aquestes preguntes siguin tan difícils i la millor manera de resoldre-les? Si esteu preparats per enfonsar-vos les dents a la secció de matemàtiques SAT i tens la mirada posada en aquesta puntuació perfecta, aquesta és la guia per a tu.

Hem reunit el que creiem que és les 15 preguntes més difícils per al SAT actual , amb estratègies i explicacions de respostes per a cadascuna. Totes aquestes són preguntes difícils de matemàtiques SAT de les proves pràctiques SAT del College Board, el que significa que comprendre-les és una de les millors maneres d'estudiar per a aquells que busqueu la perfecció.

Imatge: Sonia Sevilla /Viquimèdia

Breu visió general de SAT Math

Les seccions tercera i quarta del SAT seran sempre seccions de matemàtiques . La primera subsecció de matemàtiques (anomenada '3') fa no us permetrà utilitzar una calculadora, mentre que la segona subsecció de matemàtiques (etiquetada com a '4') fa permet l'ús d'una calculadora. Tanmateix, no us preocupeu massa per la secció sense calculadora: si no teniu permís per fer servir una calculadora per a una pregunta, vol dir que no necessiteu una calculadora per respondre-la.

Cada subsecció de matemàtiques està ordenada per ordre ascendent de dificultat (on com més temps es triga a resoldre un problema i com menys persones el responguin correctament, més difícil és). A cada subsecció, la pregunta 1 serà 'fàcil' i la pregunta 15 es considerarà 'difícil'. Tanmateix, la dificultat ascendent es restableix de fàcil a difícil a les graelles.

Per tant, les preguntes d'elecció múltiple s'organitzen en dificultat creixent (les preguntes 1 i 2 seran les més fàcils, les preguntes 14 i 15 seran les més difícils), però el nivell de dificultat es restableix per a la secció de graella (és a dir, les preguntes 16 i 17 seran de nou. 'fàcil' i les preguntes 19 i 20 seran molt difícils).

Amb poques excepcions, doncs, els problemes de matemàtiques SAT més difícils s'agruparan al final dels segments d'elecció múltiple o a la segona meitat de les preguntes de la graella. Tanmateix, a més de la seva col·locació a la prova, aquestes preguntes també comparteixen alguns altres punts en comú. En un minut, veurem preguntes d'exemple i com resoldre'ls, i després les analitzarem per esbrinar què tenen en comú aquest tipus de preguntes.

Però primer: hauríeu de centrar-vos en les preguntes de matemàtiques més difícils ara mateix?

Si acabeu de començar la vostra preparació per a l'estudi (o si simplement us heu saltat aquest primer pas crucial), definitivament atureu-vos i feu una prova pràctica completa per avaluar el vostre nivell de puntuació actual. Consulteu la nostra guia totes les proves de pràctica SAT gratuïtes disponibles en línia i després seure a fer una prova alhora.

La millor manera absoluta d'avaluar el vostre nivell actual és simplement fer la prova de pràctica SAT com si fos real, mantenint un temps estricte i treballant directament amb només les pauses permeses (sabem, probablement no la vostra manera preferida de passar un dissabte). Un cop tingueu una bona idea del vostre nivell actual i la vostra classificació percentil, podeu establir fites i objectius per a la vostra puntuació final de SAT Math.

Si actualment esteu puntuant entre 200 i 400 o entre 400 i 600 a SAT Math, la millor opció és consultar la nostra guia per millorar la vostra puntuació de matemàtiques. ser constantment superior a 600 abans de començar a tractar d'abordar els problemes matemàtics més difícils de la prova.

Tanmateix, si ja teniu una puntuació superior a 600 a la secció de matemàtiques i voleu provar el vostre valor per al SAT real, aneu definitivament a la resta d'aquesta guia. Si busqueu la perfecció (o a prop) , llavors haureu de saber com són les preguntes de matemàtiques SAT més difícils i com resoldre'ls. I, per sort, això és exactament el que farem.

ADVERTIMENT: Com que hi ha un nombre limitat de proves pràctiques oficials del SAT , és possible que vulgueu esperar per llegir aquest article fins que hàgiu provat totes o la majoria de les quatre primeres proves pràctiques oficials (ja que la majoria de les preguntes següents es van extreure d'aquestes proves). Si us preocupa fer malbé aquestes proves, deixeu de llegir aquesta guia ara; torna i llegeix-lo quan els hagis acabat.

Ara anem a la nostra llista de preguntes (whoo)!

Imatge: Niytx /DeviantArt

Les 15 preguntes de matemàtiques SAT més difícils

Ara que esteu segur que hauríeu d'intentar aquestes preguntes, anem a submergir-nos! Hem seleccionat 15 de les preguntes de matemàtiques SAT més difícils per a que les proveu a continuació, juntament amb explicacions sobre com obtenir la resposta (si us trobeu).

Sense calculadora SAT Preguntes de matemàtiques

Pregunta 1

$$C=5/9(F-32)$$

L'equació anterior mostra com la temperatura $F$, mesurada en graus Fahrenheit, es relaciona amb una temperatura $C$, mesurada en graus Celsius. D'acord amb l'equació, quina de les següents afirmacions ha de ser certa?

1. Un augment de la temperatura d'1 grau Fahrenheit és equivalent a un augment de la temperatura de $ 5/9 $ grau Celsius.
2. Un augment de temperatura d'1 grau Celsius equival a un augment de temperatura d'1,8 graus Fahrenheit.
3. Un augment de temperatura de $ 5/9 $ grau Fahrenheit equival a un augment de temperatura d'1 grau Celsius.

A) Només jo
B) Només II
C) Només III
D) Només I i II

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Penseu en l'equació com una equació per a una recta

$$y=mx+b$$

on en aquest cas

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

o

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Podeu veure que el pendent del gràfic és de ${5}/{9}$, el que significa que per a un augment d'1 grau Fahrenheit, l'augment és de ${5}/{9}$ d'1 grau centígrad.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Per tant, l'afirmació I és certa. Això equival a dir que un augment d'1 grau Celsius és igual a un augment de ${9}/{5}$ graus Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Com que ${9}/{5}$ = 1,8, l'afirmació II és certa.

L'única resposta que té tant l'afirmació I com l'afirmació II com a certes és D , però si teniu temps i voleu ser absolutament exhaustiu, també podeu comprovar si l'afirmació III (un augment de ${5}/{9}$ grau Fahrenheit és igual a un augment de temperatura d'1 grau Celsius) és certa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (que és ≠ 1)$$

Un augment de $5/9$ grau Fahrenheit comporta un augment de ${25}/{81}$, no 1 grau Celsius, i per tant l'afirmació III no és certa.

La resposta final és D.

Pregunta 2

L'equació${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$és cert per a tots els valors de $x≠2/a$, on $a$ és una constant.

Quin és el valor de $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Hi ha dues maneres de resoldre aquesta qüestió. La manera més ràpida és multiplicar cada costat de l'equació donada per $ax-2$ (per tal que pugueu desfer-vos de la fracció). Quan multipliqueu cada costat per $ax-2$, hauríeu de tenir:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Aleshores hauríeu de multiplicar $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ amb FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

A continuació, reduïu al costat dret de l'equació

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Com que els coeficients del terme $x^2$ han de ser iguals als dos costats de l'equació, $−8a = 24$, o $a = −3$.

L'altra opció que és més llarga i tediosa és intentar connectar totes les opcions de resposta per a a i veure quina opció de resposta fa que els dos costats de l'equació siguin iguals. De nou, aquesta és l'opció més llarga i no la recomano per al SAT real, ja que perdrà massa temps.

La resposta final és B.

Pregunta 3

Si $3x-y = 12$, quin és el valor de ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) 4$^4$
C) 8$^2$
D) El valor no es pot determinar a partir de la informació proporcionada.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Un enfocament és expressar

$${8^x}/{2^y}$$

de manera que el numerador i el denominador s'expressen amb la mateixa base. Com que 2 i 8 són totes dues potències de 2, substituint $2^3$ per 8 al numerador de ${8^x}/{2^y}$ dóna

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

que es pot reescriure

$${2^3x}/{2^y}$$

Com que el numerador i el denominador de tenen una base comuna, aquesta expressió es pot reescriure com $2^(3x−y)$. A la pregunta, afirma que $3x − y = 12$, de manera que es pot substituir 12 per l'exponent, $3x − y$, el que significa que

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

La resposta final és A.

Pregunta 4

Els punts A i B es troben en una circumferència de radi 1, i l'arc ${AB}↖⌢$ té una longitud de $π/3$. Quina fracció de la circumferència del cercle té la longitud de l'arc ${AB}↖⌢$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per esbrinar la resposta a aquesta pregunta, primer haureu de conèixer la fórmula per trobar la circumferència d'un cercle.

La circumferència, $C$, d'un cercle és $C = 2πr$, on $r$ és el radi del cercle. Per al cercle donat amb un radi d'1, la circumferència és $C = 2(π)(1)$, o $C = 2π$.

Per trobar quina fracció de la circumferència és la longitud de ${AB}↖⌢$, divideix la longitud de l'arc per la circumferència, la qual cosa dóna $π/3 ÷ 2π$. Aquesta divisió es pot representar per $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

La fracció $1/6$ també es pot reescriure com a $0,166$ o $0,167$.

La resposta final és $1/6$, $0,166$ o $0,167$.

Pregunta 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Si l'expressió anterior es reescriu en la forma $a+bi$, on $a$ i $b$ són nombres reals, quin és el valor de $a$? (Nota: $i=√{-1}$)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per reescriure ${8-i}/{3-2i}$ en la forma estàndard $a + bi$, heu de multiplicar el numerador i el denominador de ${8-i}/{3-2i}$ pel conjugat , 3 $ + 2 i$. Això és igual

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Com que $i^2=-1$, aquesta darrera fracció es pot reduir simplificada a

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

que simplifica encara més a $2 + i$. Per tant, quan ${8-i}/{3-2i}$ es reescriu en la forma estàndard a + bi, el valor de a és 2.

La resposta final és A.

Pregunta 6

Al triangle $ABC$, la mesura de $∠B$ és 90°, $BC=16$ i $AC$=20. El triangle $DEF$ és similar al triangle $ABC$, on els vèrtexs $D$, $E$ i $F$ corresponen als vèrtexs $A$, $B$ i $C$, respectivament, i cada costat del triangle $ DEF$ és $1/3$ la longitud del costat corresponent del triangle $ABC$. Quin és el valor de $sinF$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El triangle ABC és un triangle rectangle amb el seu angle recte a B. Per tant, $ov {AC}$ és la hipotenusa del triangle rectangle ABC, i $ov {AB}$ i $ov {BC}$ són els catets de triangle rectangle ABC. Segons el teorema de Pitàgores,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Com que el triangle DEF és similar al triangle ABC, amb el vèrtex F corresponent al vèrtex C, la mesura de $angle ∠ {F}$ és igual a la mesura de $angle ∠ {C}$. Per tant, $sin F = sin C$. A partir de les longituds dels costats del triangle ABC,

$$sinF ={oposat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Per tant, $sinF ={3}/{5}$.

La resposta final és ${3}/{5}$ o 0,6.

Preguntes de matemàtiques SAT permeses per calculadora

Pregunta 7

La taula incompleta anterior resumeix el nombre d'alumnes esquerrans i dretans per gènere per als estudiants de vuitè grau de l'escola secundària Keisel. Hi ha 5 vegades més estudiants dretanes que estudiants esquerranes, i 9 vegades més estudiants homes dretans que estudiants esquerrans. si a l'escola hi ha un total de 18 alumnes esquerrans i 122 dretans, quin dels següents s'aproxima més a la probabilitat que un alumne dretà seleccionat a l'atzar sigui dona? (Nota: Suposem que cap dels estudiants de vuitè grau és dretà i esquerrans.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, hauríeu de crear dues equacions amb dues variables ($x$ i $y$) i la informació que us proporcioneu. Sigui $x$ el nombre d'estudiants esquerranes i $y$ sigui el nombre d'estudiants esquerrans. Utilitzant la informació proporcionada al problema, el nombre d'estudiants dretanes serà de $5x$ i el nombre d'estudiants homes dretans serà de $9y$. Com que el nombre total d'estudiants esquerrans és de 18 i el nombre total d'estudiants dretans és de 122, el sistema d'equacions següent ha de ser cert:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Quan resoleu aquest sistema d'equacions, obteniu $x = 10$ i $y = 8$. Així, 5*10, o 50, dels 122 estudiants dretans són dones. Per tant, la probabilitat que un estudiant dretà seleccionat a l'atzar sigui una dona és de ${50}/{122}$, que a la mil·lèsima més propera és de 0,410.

La resposta final és A.

Preguntes 8 i 9

Utilitzeu la informació següent tant per a la pregunta 7 com per a la pregunta 8.

Si els compradors entren a una botiga a una taxa mitjana de $r$ compradors per minut i cadascun roman a la botiga durant un temps mitjà de $T$ minuts, es dona el nombre mitjà de compradors a la botiga, $N$, en qualsevol moment. mitjançant la fórmula $N=rT$. Aquesta relació es coneix com la llei de Little.

El propietari de Good Deals Store calcula que durant l'horari comercial entren a la botiga una mitjana de 3 compradors per minut i que cadascun d'ells es queda una mitjana de 15 minuts. El propietari de la botiga utilitza la llei de Little per estimar que hi ha 45 compradors a la botiga en qualsevol moment.

Pregunta 8

La llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga, com ara un departament determinat o les línies de caixa. El propietari de la botiga determina que, durant l'horari comercial, aproximadament 84 compradors per hora fan una compra i cadascun d'aquests compradors passa una mitjana de 5 minuts a la línia de pagament. En qualsevol moment durant l'horari comercial, quants compradors, de mitjana, esperen a la fila de pagament per fer una compra a la botiga Good Deals?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la pregunta indica que la llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga (per exemple, només la línia de pagament), aleshores el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment és $N = rT $, on $r$ és el nombre de compradors que entren a la línia de pagament per minut i $T$ és el nombre mitjà de minuts que cada comprador passa a la línia de pagament.

Com que 84 compradors per hora fan una compra, 84 compradors per hora entren a la línia de pagament. Tanmateix, s'ha de convertir en el nombre de compradors per minut (per poder utilitzar-lo amb $T = 5$). Com que hi ha 60 minuts en una hora, la tarifa és de ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4 $ compradors per minut. Utilitzant la fórmula donada amb $r = 1,4$ i $T = 5$ s'obté

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Per tant, el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment durant l'horari comercial és de 7.

La resposta final és 7.

Pregunta 9

El propietari de la botiga Good Deals obre una nova botiga a tota la ciutat. Per a la nova botiga, el propietari calcula que, en horari comercial, una mitjana de 90 compradors perhoresentrar a la botiga i cadascun d'ells es queda una mitjana de 12 minuts. El nombre mitjà de compradors a la botiga nova en qualsevol moment és quin percentatge menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment? (Nota: Ignoreu el símbol de percentatge quan introduïu la vostra resposta. Per exemple, si la resposta és 42,1%, introduïu 42,1)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Segons la informació original proporcionada, el nombre mitjà estimat de compradors a la botiga original en cada moment (N) és de 45. A la pregunta, s'indica que, a la nova botiga, el gerent estima que una mitjana de 90 compradors per hora (60 minuts) entra a la botiga, que equival a 1,5 compradors per minut (r). El gerent també calcula que cada comprador es queda a la botiga una mitjana de 12 minuts (T). Així, segons la llei de Little, hi ha, de mitjana, $N = rT = (1,5)(12) = 18$ compradors a la nova botiga en qualsevol moment. Això és

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

per cent menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment.

La resposta final és 60.

Pregunta 10

En el pla $xy$, el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, on $b$ és una constant. El punt amb les coordenades $(2p, 5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$. Si $p≠0$, quin és el valor de $r/p$?

A) 2/5 $

B) 3/4 $

C) $4/3$

D) 5/2 $

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $p$ per $x$ i $r$ per $y$ a l'equació $y=x+b$ dóna $r=p+b$, o $i b$ = $i r-i p $.

De la mateixa manera, com que el punt $(2p,5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $2p$ per $x$ i $5r$ per $y$ a l'equació $y=2x+b$ dóna:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

A continuació, podem establir les dues equacions iguals a $b$ iguals entre si i simplificar:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Finalment, per trobar $r/p$, hem de dividir els dos costats de l'equació per $p$ i per $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

La resposta correcta és B , $3/4$.

Si heu triat les opcions A i D, és possible que hàgiu format incorrectament la vostra resposta a partir dels coeficients del punt $(2p, 5r)$. Si heu escollit l'opció C, és possible que hàgiu confós $r$ i $p$.

Tingueu en compte que, tot i que es troba a la secció de calculadora del SAT, no necessiteu la vostra calculadora per resoldre'l!

Pregunta 11

Una sitja de gra es construeix a partir de dos cons circulars dretes i un cilindre circular dret amb mesures internes representades per la figura anterior. De les següents, quina és la més propera al volum de la sitja de gra, en peus cúbics?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El volum de la sitja de gra es pot trobar sumant els volums de tots els sòlids que la componen (un cilindre i dos cons). La sitja està formada per un cilindre (amb una alçada de 10 peus i un radi de base de 5 peus) i dos cons (cadascun amb una alçada de 5 peus i un radi de base de 5 peus). Les fórmules que es donen al començament de la secció SAT Math:

Volum d'un con

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volum d'un cilindre

$$V=πr^2h$$

es pot utilitzar per determinar el volum total de la sitja. Com que els dos cons tenen dimensions idèntiques, el volum total, en peus cúbics, de la sitja ve donat per

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

que és aproximadament igual a 1.047,2 peus cúbics.

La resposta final és D.

Pregunta 12

Si $x$ és la mitjana (mitjana aritmètica) de $m$ i $9$, $y$ és la mitjana de $2m$ i $15$, i $z$ és la mitjana de $3m$ i $18$, què és la mitjana de $x$, $y$ i $z$ en termes de $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milions de dòlars + 14 $
D) 3 milions de dòlars + 21 dòlars

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la mitjana (mitjana aritmètica) de dos nombres és igual a la suma dels dos nombres dividida per 2, les equacions $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$són certs. La mitjana de $x$, $y$ i $z$ ve donada per ${x + y + z}/{3}$. Substituint les expressions en m per a cada variable ($x$, $y$, $z$) dóna

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Aquesta fracció es pot simplificar a $m + 7$.

La resposta final és B.

Pregunta 13

La funció $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ està representada gràficament al pla $xy$ de dalt. Si $k$ és una constant tal que l'equació $f(x)=k$ té tres solucions reals, quina de les següents podria ser el valor de $k$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: L'equació $f(x) = k$ dóna les solucions del sistema d'equacions

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$i = k$$

Una solució real d'un sistema de dues equacions correspon a un punt d'intersecció de les gràfiques de les dues equacions en el pla $xy$.

La gràfica de $y = k$ és una línia horitzontal que conté el punt $(0, k)$ i talla tres vegades la gràfica de l'equació cúbica (ja que té tres solucions reals). Donada la gràfica, l'única línia horitzontal que tallaria l'equació cúbica tres vegades és la recta amb l'equació $y = −3$, o $f(x) = −3$. Per tant, $k$ és $-3$.

La resposta final és D.

Pregunta 14

$$q={1/2}nv^2$$

La pressió dinàmica $q$ generada per un fluid que es mou amb velocitat $v$ es pot trobar utilitzant la fórmula anterior, on $n$ és la densitat constant del fluid. Un enginyer aeronàutic utilitza la fórmula per trobar la pressió dinàmica d'un fluid que es mou amb velocitat $v$ i el mateix fluid que es mou amb velocitat 1,5$v$. Quina és la relació entre la pressió dinàmica del fluid més ràpid i la pressió dinàmica del fluid més lent?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, cal configurar equacions amb variables. Sigui $q_1$ la pressió dinàmica del fluid més lent que es mou amb velocitat $v_1$, i sigui $q_2$ la pressió dinàmica del fluid més ràpid que es mou amb velocitat $v_2$. Aleshores

$$v_2 =1,5v_1$$

Donada l'equació $q = {1}/{2}nv^2$, substituint la pressió dinàmica i la velocitat del fluid més ràpid dóna $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Com que $v_2 =1,5v_1$, l'expressió $1,5v_1$ es pot substituir per $v_2$ en aquesta equació, donant $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. En quadrar $1,5$, podeu reescriure l'equació anterior com a

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Per tant, la relació de la pressió dinàmica del fluid més ràpid és

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

La resposta final és 2,25 o 9/4.

Pregunta 15

Per a un polinomi $p(x)$, el valor de $p(3)$ és $-2$. Quina de les següents afirmacions ha de ser certa sobre $p(x)$?

A) $x-5$ és un factor de $p(x)$.
B) $x-2$ és un factor de $p(x)$.
C) $x+2$ és un factor de $p(x)$.
D) La resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és $-2$.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Si el polinomi $p(x)$ es divideix per un polinomi de la forma $x+k$ (que té en compte totes les opcions de resposta possibles en aquesta pregunta), el resultat es pot escriure com

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

on $q(x)$ és un polinomi i $r$ és la resta. Com que $x + k$ és un polinomi de grau 1 (és a dir, només inclou $x^1$ i no hi ha exponents superiors), la resta és un nombre real.

Per tant, $p(x)$ es pot reescriure com $p(x) = (x + k)q(x) + r$, on $r$ és un nombre real.

La pregunta diu que $p(3) = -2$, per tant ha de ser cert que

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Ara podem connectar totes les respostes possibles. Si la resposta és A, B o C, $r$ serà $0$, mentre que si la resposta és D, $r$ serà $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Aquesta voluntat sempre sigui veritat no importa què sigui $q(3)$.

De les opcions de resposta, l'única que haver de Sigui cert que $p(x)$ és D, que la resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és -2.

La resposta final és D.

Et mereixes totes les migdiades després de fer aquestes preguntes.

Què tenen en comú les preguntes de matemàtiques SAT més difícils?

És important entendre què dificulta aquestes preguntes difícils. En fer-ho, podreu entendre i resoldre preguntes similars quan les vegeu el dia de la prova, així com tenir una millor estratègia per identificar i corregir els vostres errors de matemàtiques SAT anteriors.

En aquesta secció, veurem què tenen en comú aquestes preguntes i donarem exemples de cada tipus. Alguns dels motius pels quals les preguntes de matemàtiques més difícils són les preguntes de matemàtiques més difícils és perquè:

#1: prova diversos conceptes matemàtics alhora

Aquí, hem de tractar amb nombres i fraccions imaginaris alhora.

Secret de l'èxit: Penseu en quines matemàtiques aplicables podríeu utilitzar per resoldre el problema, feu un pas a la vegada i proveu cada tècnica fins que trobeu una que funcioni!

#2: implica molts passos

Recordeu: com més passos hàgiu de fer, més fàcil és equivocar-vos en algun lloc de la línia!

Hem de resoldre aquest problema per passos (fent diverses mitjanes) per desbloquejar la resta de respostes en efecte dòmino. Això pot resultar confús, sobretot si esteu estressat o us queda sense temps.

Secret de l'èxit: Preneu-ho lentament, feu-ho pas a pas i comproveu el vostre treball per no equivocar-vos!

# 3: proveu conceptes amb els quals tingueu una familiaritat limitada

Per exemple, molts estudiants estan menys familiaritzats amb les funcions que amb les fraccions i els percentatges, de manera que la majoria de preguntes sobre funcions es consideren problemes d'alta dificultat.

Si no coneixeu les funcions, aquest seria un problema complicat.

Secret de l'èxit: Revisa conceptes matemàtics amb els quals no estàs tan familiaritzat, com ara funcions . Us suggerim que utilitzeu les nostres excel·lents guies gratuïtes de revisió SAT Math.

# 4: estan redactats de maneres inusuals o complicades

Pot ser difícil esbrinar quines són exactament algunes preguntes preguntant , i molt menys saber com resoldre'ls. Això és especialment cert quan la pregunta es troba al final de la secció i s'està quedant sense temps.

Com que aquesta pregunta proporciona tanta informació sense un diagrama, pot ser difícil de resoldre en el temps limitat que es permet.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el temps, analitzeu el que us demanen i feu un diagrama si us és útil.

#5: Utilitzeu moltes variables diferents

Amb tantes variables diferents en joc, és bastant fàcil confondre's.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el vostre temps, analitzeu el que se us demana i considereu si connectar números és una bona estratègia per resoldre el problema (no seria per a la pregunta anterior, sinó per a moltes altres preguntes de variable SAT).

Els Take-Aways

El SAT és una marató i com més preparat estiguis per a això, millor et sentiràs el dia de la prova. Saber com gestionar les preguntes més difícils que la prova et pot plantejar farà que prendre el SAT real sembli molt menys descoratjador.

Si creieu que aquestes preguntes eren fàcils, assegureu-vos de no subestimar l'efecte de l'adrenalina i la fatiga en la vostra capacitat per resoldre problemes. A mesura que continueu estudiant, seguiu sempre les directrius de temps adequades i proveu de fer proves completes sempre que sigui possible. Aquesta és la millor manera de recrear l'entorn de prova real perquè pugueu preparar-vos per a l'oferta real.

Si creieu que aquestes preguntes eren un repte, assegureu-vos d'enfortir els vostres coneixements de matemàtiques consultant les nostres guies individuals de temes de matemàtiques per al SAT. Allà, veureu explicacions més detallades dels temes en qüestió, així com desglossaments de respostes més detallats.

Que segueix?

Creieu que aquestes preguntes eren més difícils del que esperàveu? Fes un cop d'ull a tots els temes tractats a la secció de matemàtiques SAT i, a continuació, nota quines seccions van ser especialment difícils per a tu. A continuació, feu una ullada a les nostres guies matemàtiques individuals per ajudar-vos a apuntalar qualsevol d'aquestes àrees febles.

S'està quedant sense temps a la secció de matemàtiques del SAT? La nostra guia us ajudarà a superar el rellotge i a maximitzar la vostra puntuació.

Voleu aconseguir una puntuació perfecta? Fes una ullada la nostra guia sobre com obtenir un 800 perfecte a la secció de matemàtiques SAT , escrit per un golejador perfecte.

Vols posar-te a prova amb les preguntes de matemàtiques SAT més difícils? Vols saber què fa que aquestes preguntes siguin tan difícils i la millor manera de resoldre-les? Si esteu preparats per enfonsar-vos les dents a la secció de matemàtiques SAT i tens la mirada posada en aquesta puntuació perfecta, aquesta és la guia per a tu.

Hem reunit el que creiem que és les 15 preguntes més difícils per al SAT actual , amb estratègies i explicacions de respostes per a cadascuna. Totes aquestes són preguntes difícils de matemàtiques SAT de les proves pràctiques SAT del College Board, el que significa que comprendre-les és una de les millors maneres d'estudiar per a aquells que busqueu la perfecció.

Imatge: Sonia Sevilla /Viquimèdia

Breu visió general de SAT Math

Les seccions tercera i quarta del SAT seran sempre seccions de matemàtiques . La primera subsecció de matemàtiques (anomenada '3') fa no us permetrà utilitzar una calculadora, mentre que la segona subsecció de matemàtiques (etiquetada com a '4') fa permet l'ús d'una calculadora. Tanmateix, no us preocupeu massa per la secció sense calculadora: si no teniu permís per fer servir una calculadora per a una pregunta, vol dir que no necessiteu una calculadora per respondre-la.

Cada subsecció de matemàtiques està ordenada per ordre ascendent de dificultat (on com més temps es triga a resoldre un problema i com menys persones el responguin correctament, més difícil és). A cada subsecció, la pregunta 1 serà 'fàcil' i la pregunta 15 es considerarà 'difícil'. Tanmateix, la dificultat ascendent es restableix de fàcil a difícil a les graelles.

Per tant, les preguntes d'elecció múltiple s'organitzen en dificultat creixent (les preguntes 1 i 2 seran les més fàcils, les preguntes 14 i 15 seran les més difícils), però el nivell de dificultat es restableix per a la secció de graella (és a dir, les preguntes 16 i 17 seran de nou. 'fàcil' i les preguntes 19 i 20 seran molt difícils).

Amb poques excepcions, doncs, els problemes de matemàtiques SAT més difícils s'agruparan al final dels segments d'elecció múltiple o a la segona meitat de les preguntes de la graella. Tanmateix, a més de la seva col·locació a la prova, aquestes preguntes també comparteixen alguns altres punts en comú. En un minut, veurem preguntes d'exemple i com resoldre'ls, i després les analitzarem per esbrinar què tenen en comú aquest tipus de preguntes.

Però primer: hauríeu de centrar-vos en les preguntes de matemàtiques més difícils ara mateix?

Si acabeu de començar la vostra preparació per a l'estudi (o si simplement us heu saltat aquest primer pas crucial), definitivament atureu-vos i feu una prova pràctica completa per avaluar el vostre nivell de puntuació actual. Consulteu la nostra guia totes les proves de pràctica SAT gratuïtes disponibles en línia i després seure a fer una prova alhora.

La millor manera absoluta d'avaluar el vostre nivell actual és simplement fer la prova de pràctica SAT com si fos real, mantenint un temps estricte i treballant directament amb només les pauses permeses (sabem, probablement no la vostra manera preferida de passar un dissabte). Un cop tingueu una bona idea del vostre nivell actual i la vostra classificació percentil, podeu establir fites i objectius per a la vostra puntuació final de SAT Math.

Si actualment esteu puntuant entre 200 i 400 o entre 400 i 600 a SAT Math, la millor opció és consultar la nostra guia per millorar la vostra puntuació de matemàtiques. ser constantment superior a 600 abans de començar a tractar d'abordar els problemes matemàtics més difícils de la prova.

Tanmateix, si ja teniu una puntuació superior a 600 a la secció de matemàtiques i voleu provar el vostre valor per al SAT real, aneu definitivament a la resta d'aquesta guia. Si busqueu la perfecció (o a prop) , llavors haureu de saber com són les preguntes de matemàtiques SAT més difícils i com resoldre'ls. I, per sort, això és exactament el que farem.

ADVERTIMENT: Com que hi ha un nombre limitat de proves pràctiques oficials del SAT , és possible que vulgueu esperar per llegir aquest article fins que hàgiu provat totes o la majoria de les quatre primeres proves pràctiques oficials (ja que la majoria de les preguntes següents es van extreure d'aquestes proves). Si us preocupa fer malbé aquestes proves, deixeu de llegir aquesta guia ara; torna i llegeix-lo quan els hagis acabat.

Ara anem a la nostra llista de preguntes (whoo)!

Imatge: Niytx /DeviantArt

Les 15 preguntes de matemàtiques SAT més difícils

Ara que esteu segur que hauríeu d'intentar aquestes preguntes, anem a submergir-nos! Hem seleccionat 15 de les preguntes de matemàtiques SAT més difícils per a que les proveu a continuació, juntament amb explicacions sobre com obtenir la resposta (si us trobeu).

Sense calculadora SAT Preguntes de matemàtiques

Pregunta 1

$$C=5/9(F-32)$$

L'equació anterior mostra com la temperatura $F$, mesurada en graus Fahrenheit, es relaciona amb una temperatura $C$, mesurada en graus Celsius. D'acord amb l'equació, quina de les següents afirmacions ha de ser certa?

1. Un augment de la temperatura d'1 grau Fahrenheit és equivalent a un augment de la temperatura de $ 5/9 $ grau Celsius.
2. Un augment de temperatura d'1 grau Celsius equival a un augment de temperatura d'1,8 graus Fahrenheit.
3. Un augment de temperatura de $ 5/9 $ grau Fahrenheit equival a un augment de temperatura d'1 grau Celsius.

A) Només jo
B) Només II
C) Només III
D) Només I i II

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Penseu en l'equació com una equació per a una recta

$$y=mx+b$$

on en aquest cas

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

o

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Podeu veure que el pendent del gràfic és de ${5}/{9}$, el que significa que per a un augment d'1 grau Fahrenheit, l'augment és de ${5}/{9}$ d'1 grau centígrad.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Per tant, l'afirmació I és certa. Això equival a dir que un augment d'1 grau Celsius és igual a un augment de ${9}/{5}$ graus Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Com que ${9}/{5}$ = 1,8, l'afirmació II és certa.

L'única resposta que té tant l'afirmació I com l'afirmació II com a certes és D , però si teniu temps i voleu ser absolutament exhaustiu, també podeu comprovar si l'afirmació III (un augment de ${5}/{9}$ grau Fahrenheit és igual a un augment de temperatura d'1 grau Celsius) és certa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (que és ≠ 1)$$

Un augment de $5/9$ grau Fahrenheit comporta un augment de ${25}/{81}$, no 1 grau Celsius, i per tant l'afirmació III no és certa.

La resposta final és D.

Pregunta 2

L'equació${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$és cert per a tots els valors de $x≠2/a$, on $a$ és una constant.

Quin és el valor de $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Hi ha dues maneres de resoldre aquesta qüestió. La manera més ràpida és multiplicar cada costat de l'equació donada per $ax-2$ (per tal que pugueu desfer-vos de la fracció). Quan multipliqueu cada costat per $ax-2$, hauríeu de tenir:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Aleshores hauríeu de multiplicar $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ amb FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

A continuació, reduïu al costat dret de l'equació

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Com que els coeficients del terme $x^2$ han de ser iguals als dos costats de l'equació, $−8a = 24$, o $a = −3$.

L'altra opció que és més llarga i tediosa és intentar connectar totes les opcions de resposta per a a i veure quina opció de resposta fa que els dos costats de l'equació siguin iguals. De nou, aquesta és l'opció més llarga i no la recomano per al SAT real, ja que perdrà massa temps.

La resposta final és B.

Pregunta 3

Si $3x-y = 12$, quin és el valor de ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) 4$^4$
C) 8$^2$
D) El valor no es pot determinar a partir de la informació proporcionada.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Un enfocament és expressar

$${8^x}/{2^y}$$

de manera que el numerador i el denominador s'expressen amb la mateixa base. Com que 2 i 8 són totes dues potències de 2, substituint $2^3$ per 8 al numerador de ${8^x}/{2^y}$ dóna

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

que es pot reescriure

$${2^3x}/{2^y}$$

Com que el numerador i el denominador de tenen una base comuna, aquesta expressió es pot reescriure com $2^(3x−y)$. A la pregunta, afirma que $3x − y = 12$, de manera que es pot substituir 12 per l'exponent, $3x − y$, el que significa que

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

La resposta final és A.

Pregunta 4

Els punts A i B es troben en una circumferència de radi 1, i l'arc ${AB}↖⌢$ té una longitud de $π/3$. Quina fracció de la circumferència del cercle té la longitud de l'arc ${AB}↖⌢$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per esbrinar la resposta a aquesta pregunta, primer haureu de conèixer la fórmula per trobar la circumferència d'un cercle.

La circumferència, $C$, d'un cercle és $C = 2πr$, on $r$ és el radi del cercle. Per al cercle donat amb un radi d'1, la circumferència és $C = 2(π)(1)$, o $C = 2π$.

Per trobar quina fracció de la circumferència és la longitud de ${AB}↖⌢$, divideix la longitud de l'arc per la circumferència, la qual cosa dóna $π/3 ÷ 2π$. Aquesta divisió es pot representar per $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

La fracció $1/6$ també es pot reescriure com a $0,166$ o $0,167$.

La resposta final és $1/6$, $0,166$ o $0,167$.

Pregunta 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Si l'expressió anterior es reescriu en la forma $a+bi$, on $a$ i $b$ són nombres reals, quin és el valor de $a$? (Nota: $i=√{-1}$)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per reescriure ${8-i}/{3-2i}$ en la forma estàndard $a + bi$, heu de multiplicar el numerador i el denominador de ${8-i}/{3-2i}$ pel conjugat , 3 $ + 2 i$. Això és igual

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Com que $i^2=-1$, aquesta darrera fracció es pot reduir simplificada a

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

que simplifica encara més a $2 + i$. Per tant, quan ${8-i}/{3-2i}$ es reescriu en la forma estàndard a + bi, el valor de a és 2.

La resposta final és A.

Pregunta 6

Al triangle $ABC$, la mesura de $∠B$ és 90°, $BC=16$ i $AC$=20. El triangle $DEF$ és similar al triangle $ABC$, on els vèrtexs $D$, $E$ i $F$ corresponen als vèrtexs $A$, $B$ i $C$, respectivament, i cada costat del triangle $ DEF$ és $1/3$ la longitud del costat corresponent del triangle $ABC$. Quin és el valor de $sinF$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El triangle ABC és un triangle rectangle amb el seu angle recte a B. Per tant, $ov {AC}$ és la hipotenusa del triangle rectangle ABC, i $ov {AB}$ i $ov {BC}$ són els catets de triangle rectangle ABC. Segons el teorema de Pitàgores,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Com que el triangle DEF és similar al triangle ABC, amb el vèrtex F corresponent al vèrtex C, la mesura de $angle ∠ {F}$ és igual a la mesura de $angle ∠ {C}$. Per tant, $sin F = sin C$. A partir de les longituds dels costats del triangle ABC,

$$sinF ={oposat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Per tant, $sinF ={3}/{5}$.

La resposta final és ${3}/{5}$ o 0,6.

Preguntes de matemàtiques SAT permeses per calculadora

Pregunta 7

La taula incompleta anterior resumeix el nombre d'alumnes esquerrans i dretans per gènere per als estudiants de vuitè grau de l'escola secundària Keisel. Hi ha 5 vegades més estudiants dretanes que estudiants esquerranes, i 9 vegades més estudiants homes dretans que estudiants esquerrans. si a l'escola hi ha un total de 18 alumnes esquerrans i 122 dretans, quin dels següents s'aproxima més a la probabilitat que un alumne dretà seleccionat a l'atzar sigui dona? (Nota: Suposem que cap dels estudiants de vuitè grau és dretà i esquerrans.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, hauríeu de crear dues equacions amb dues variables ($x$ i $y$) i la informació que us proporcioneu. Sigui $x$ el nombre d'estudiants esquerranes i $y$ sigui el nombre d'estudiants esquerrans. Utilitzant la informació proporcionada al problema, el nombre d'estudiants dretanes serà de $5x$ i el nombre d'estudiants homes dretans serà de $9y$. Com que el nombre total d'estudiants esquerrans és de 18 i el nombre total d'estudiants dretans és de 122, el sistema d'equacions següent ha de ser cert:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Quan resoleu aquest sistema d'equacions, obteniu $x = 10$ i $y = 8$. Així, 5*10, o 50, dels 122 estudiants dretans són dones. Per tant, la probabilitat que un estudiant dretà seleccionat a l'atzar sigui una dona és de ${50}/{122}$, que a la mil·lèsima més propera és de 0,410.

La resposta final és A.

Preguntes 8 i 9

Utilitzeu la informació següent tant per a la pregunta 7 com per a la pregunta 8.

Si els compradors entren a una botiga a una taxa mitjana de $r$ compradors per minut i cadascun roman a la botiga durant un temps mitjà de $T$ minuts, es dona el nombre mitjà de compradors a la botiga, $N$, en qualsevol moment. mitjançant la fórmula $N=rT$. Aquesta relació es coneix com la llei de Little.

El propietari de Good Deals Store calcula que durant l'horari comercial entren a la botiga una mitjana de 3 compradors per minut i que cadascun d'ells es queda una mitjana de 15 minuts. El propietari de la botiga utilitza la llei de Little per estimar que hi ha 45 compradors a la botiga en qualsevol moment.

Pregunta 8

La llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga, com ara un departament determinat o les línies de caixa. El propietari de la botiga determina que, durant l'horari comercial, aproximadament 84 compradors per hora fan una compra i cadascun d'aquests compradors passa una mitjana de 5 minuts a la línia de pagament. En qualsevol moment durant l'horari comercial, quants compradors, de mitjana, esperen a la fila de pagament per fer una compra a la botiga Good Deals?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la pregunta indica que la llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga (per exemple, només la línia de pagament), aleshores el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment és $N = rT $, on $r$ és el nombre de compradors que entren a la línia de pagament per minut i $T$ és el nombre mitjà de minuts que cada comprador passa a la línia de pagament.

Com que 84 compradors per hora fan una compra, 84 compradors per hora entren a la línia de pagament. Tanmateix, s'ha de convertir en el nombre de compradors per minut (per poder utilitzar-lo amb $T = 5$). Com que hi ha 60 minuts en una hora, la tarifa és de ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4 $ compradors per minut. Utilitzant la fórmula donada amb $r = 1,4$ i $T = 5$ s'obté

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Per tant, el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment durant l'horari comercial és de 7.

La resposta final és 7.

Pregunta 9

El propietari de la botiga Good Deals obre una nova botiga a tota la ciutat. Per a la nova botiga, el propietari calcula que, en horari comercial, una mitjana de 90 compradors perhoresentrar a la botiga i cadascun d'ells es queda una mitjana de 12 minuts. El nombre mitjà de compradors a la botiga nova en qualsevol moment és quin percentatge menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment? (Nota: Ignoreu el símbol de percentatge quan introduïu la vostra resposta. Per exemple, si la resposta és 42,1%, introduïu 42,1)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Segons la informació original proporcionada, el nombre mitjà estimat de compradors a la botiga original en cada moment (N) és de 45. A la pregunta, s'indica que, a la nova botiga, el gerent estima que una mitjana de 90 compradors per hora (60 minuts) entra a la botiga, que equival a 1,5 compradors per minut (r). El gerent també calcula que cada comprador es queda a la botiga una mitjana de 12 minuts (T). Així, segons la llei de Little, hi ha, de mitjana, $N = rT = (1,5)(12) = 18$ compradors a la nova botiga en qualsevol moment. Això és

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

per cent menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment.

La resposta final és 60.

Pregunta 10

En el pla $xy$, el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, on $b$ és una constant. El punt amb les coordenades $(2p, 5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$. Si $p≠0$, quin és el valor de $r/p$?

A) 2/5 $

B) 3/4 $

C) $4/3$

D) 5/2 $

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $p$ per $x$ i $r$ per $y$ a l'equació $y=x+b$ dóna $r=p+b$, o $i b$ = $i r-i p $.

De la mateixa manera, com que el punt $(2p,5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $2p$ per $x$ i $5r$ per $y$ a l'equació $y=2x+b$ dóna:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

A continuació, podem establir les dues equacions iguals a $b$ iguals entre si i simplificar:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Finalment, per trobar $r/p$, hem de dividir els dos costats de l'equació per $p$ i per $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

La resposta correcta és B , $3/4$.

Si heu triat les opcions A i D, és possible que hàgiu format incorrectament la vostra resposta a partir dels coeficients del punt $(2p, 5r)$. Si heu escollit l'opció C, és possible que hàgiu confós $r$ i $p$.

Tingueu en compte que, tot i que es troba a la secció de calculadora del SAT, no necessiteu la vostra calculadora per resoldre'l!

Pregunta 11

Una sitja de gra es construeix a partir de dos cons circulars dretes i un cilindre circular dret amb mesures internes representades per la figura anterior. De les següents, quina és la més propera al volum de la sitja de gra, en peus cúbics?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El volum de la sitja de gra es pot trobar sumant els volums de tots els sòlids que la componen (un cilindre i dos cons). La sitja està formada per un cilindre (amb una alçada de 10 peus i un radi de base de 5 peus) i dos cons (cadascun amb una alçada de 5 peus i un radi de base de 5 peus). Les fórmules que es donen al començament de la secció SAT Math:

Volum d'un con

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volum d'un cilindre

$$V=πr^2h$$

es pot utilitzar per determinar el volum total de la sitja. Com que els dos cons tenen dimensions idèntiques, el volum total, en peus cúbics, de la sitja ve donat per

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

que és aproximadament igual a 1.047,2 peus cúbics.

La resposta final és D.

Pregunta 12

Si $x$ és la mitjana (mitjana aritmètica) de $m$ i $9$, $y$ és la mitjana de $2m$ i $15$, i $z$ és la mitjana de $3m$ i $18$, què és la mitjana de $x$, $y$ i $z$ en termes de $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milions de dòlars + 14 $
D) 3 milions de dòlars + 21 dòlars

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la mitjana (mitjana aritmètica) de dos nombres és igual a la suma dels dos nombres dividida per 2, les equacions $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$són certs. La mitjana de $x$, $y$ i $z$ ve donada per ${x + y + z}/{3}$. Substituint les expressions en m per a cada variable ($x$, $y$, $z$) dóna

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Aquesta fracció es pot simplificar a $m + 7$.

La resposta final és B.

Pregunta 13

La funció $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ està representada gràficament al pla $xy$ de dalt. Si $k$ és una constant tal que l'equació $f(x)=k$ té tres solucions reals, quina de les següents podria ser el valor de $k$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: L'equació $f(x) = k$ dóna les solucions del sistema d'equacions

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$i = k$$

Una solució real d'un sistema de dues equacions correspon a un punt d'intersecció de les gràfiques de les dues equacions en el pla $xy$.

La gràfica de $y = k$ és una línia horitzontal que conté el punt $(0, k)$ i talla tres vegades la gràfica de l'equació cúbica (ja que té tres solucions reals). Donada la gràfica, l'única línia horitzontal que tallaria l'equació cúbica tres vegades és la recta amb l'equació $y = −3$, o $f(x) = −3$. Per tant, $k$ és $-3$.

La resposta final és D.

Pregunta 14

$$q={1/2}nv^2$$

La pressió dinàmica $q$ generada per un fluid que es mou amb velocitat $v$ es pot trobar utilitzant la fórmula anterior, on $n$ és la densitat constant del fluid. Un enginyer aeronàutic utilitza la fórmula per trobar la pressió dinàmica d'un fluid que es mou amb velocitat $v$ i el mateix fluid que es mou amb velocitat 1,5$v$. Quina és la relació entre la pressió dinàmica del fluid més ràpid i la pressió dinàmica del fluid més lent?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, cal configurar equacions amb variables. Sigui $q_1$ la pressió dinàmica del fluid més lent que es mou amb velocitat $v_1$, i sigui $q_2$ la pressió dinàmica del fluid més ràpid que es mou amb velocitat $v_2$. Aleshores

$$v_2 =1,5v_1$$

Donada l'equació $q = {1}/{2}nv^2$, substituint la pressió dinàmica i la velocitat del fluid més ràpid dóna $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Com que $v_2 =1,5v_1$, l'expressió $1,5v_1$ es pot substituir per $v_2$ en aquesta equació, donant $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. En quadrar $1,5$, podeu reescriure l'equació anterior com a

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Per tant, la relació de la pressió dinàmica del fluid més ràpid és

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

La resposta final és 2,25 o 9/4.

Pregunta 15

Per a un polinomi $p(x)$, el valor de $p(3)$ és $-2$. Quina de les següents afirmacions ha de ser certa sobre $p(x)$?

A) $x-5$ és un factor de $p(x)$.
B) $x-2$ és un factor de $p(x)$.
C) $x+2$ és un factor de $p(x)$.
D) La resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és $-2$.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Si el polinomi $p(x)$ es divideix per un polinomi de la forma $x+k$ (que té en compte totes les opcions de resposta possibles en aquesta pregunta), el resultat es pot escriure com

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

on $q(x)$ és un polinomi i $r$ és la resta. Com que $x + k$ és un polinomi de grau 1 (és a dir, només inclou $x^1$ i no hi ha exponents superiors), la resta és un nombre real.

Per tant, $p(x)$ es pot reescriure com $p(x) = (x + k)q(x) + r$, on $r$ és un nombre real.

La pregunta diu que $p(3) = -2$, per tant ha de ser cert que

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Ara podem connectar totes les respostes possibles. Si la resposta és A, B o C, $r$ serà $0$, mentre que si la resposta és D, $r$ serà $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Aquesta voluntat sempre sigui veritat no importa què sigui $q(3)$.

De les opcions de resposta, l'única que haver de Sigui cert que $p(x)$ és D, que la resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és -2.

La resposta final és D.

Et mereixes totes les migdiades després de fer aquestes preguntes.

Què tenen en comú les preguntes de matemàtiques SAT més difícils?

És important entendre què dificulta aquestes preguntes difícils. En fer-ho, podreu entendre i resoldre preguntes similars quan les vegeu el dia de la prova, així com tenir una millor estratègia per identificar i corregir els vostres errors de matemàtiques SAT anteriors.

En aquesta secció, veurem què tenen en comú aquestes preguntes i donarem exemples de cada tipus. Alguns dels motius pels quals les preguntes de matemàtiques més difícils són les preguntes de matemàtiques més difícils és perquè:

#1: prova diversos conceptes matemàtics alhora

Aquí, hem de tractar amb nombres i fraccions imaginaris alhora.

Secret de l'èxit: Penseu en quines matemàtiques aplicables podríeu utilitzar per resoldre el problema, feu un pas a la vegada i proveu cada tècnica fins que trobeu una que funcioni!

#2: implica molts passos

Recordeu: com més passos hàgiu de fer, més fàcil és equivocar-vos en algun lloc de la línia!

Hem de resoldre aquest problema per passos (fent diverses mitjanes) per desbloquejar la resta de respostes en efecte dòmino. Això pot resultar confús, sobretot si esteu estressat o us queda sense temps.

Secret de l'èxit: Preneu-ho lentament, feu-ho pas a pas i comproveu el vostre treball per no equivocar-vos!

# 3: proveu conceptes amb els quals tingueu una familiaritat limitada

Per exemple, molts estudiants estan menys familiaritzats amb les funcions que amb les fraccions i els percentatges, de manera que la majoria de preguntes sobre funcions es consideren problemes d'alta dificultat.

Si no coneixeu les funcions, aquest seria un problema complicat.

Secret de l'èxit: Revisa conceptes matemàtics amb els quals no estàs tan familiaritzat, com ara funcions . Us suggerim que utilitzeu les nostres excel·lents guies gratuïtes de revisió SAT Math.

# 4: estan redactats de maneres inusuals o complicades

Pot ser difícil esbrinar quines són exactament algunes preguntes preguntant , i molt menys saber com resoldre'ls. Això és especialment cert quan la pregunta es troba al final de la secció i s'està quedant sense temps.

Com que aquesta pregunta proporciona tanta informació sense un diagrama, pot ser difícil de resoldre en el temps limitat que es permet.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el temps, analitzeu el que us demanen i feu un diagrama si us és útil.

#5: Utilitzeu moltes variables diferents

Amb tantes variables diferents en joc, és bastant fàcil confondre's.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el vostre temps, analitzeu el que se us demana i considereu si connectar números és una bona estratègia per resoldre el problema (no seria per a la pregunta anterior, sinó per a moltes altres preguntes de variable SAT).

Els Take-Aways

El SAT és una marató i com més preparat estiguis per a això, millor et sentiràs el dia de la prova. Saber com gestionar les preguntes més difícils que la prova et pot plantejar farà que prendre el SAT real sembli molt menys descoratjador.

Si creieu que aquestes preguntes eren fàcils, assegureu-vos de no subestimar l'efecte de l'adrenalina i la fatiga en la vostra capacitat per resoldre problemes. A mesura que continueu estudiant, seguiu sempre les directrius de temps adequades i proveu de fer proves completes sempre que sigui possible. Aquesta és la millor manera de recrear l'entorn de prova real perquè pugueu preparar-vos per a l'oferta real.

Si creieu que aquestes preguntes eren un repte, assegureu-vos d'enfortir els vostres coneixements de matemàtiques consultant les nostres guies individuals de temes de matemàtiques per al SAT. Allà, veureu explicacions més detallades dels temes en qüestió, així com desglossaments de respostes més detallats.

Que segueix?

Creieu que aquestes preguntes eren més difícils del que esperàveu? Fes un cop d'ull a tots els temes tractats a la secció de matemàtiques SAT i, a continuació, nota quines seccions van ser especialment difícils per a tu. A continuació, feu una ullada a les nostres guies matemàtiques individuals per ajudar-vos a apuntalar qualsevol d'aquestes àrees febles.

S'està quedant sense temps a la secció de matemàtiques del SAT? La nostra guia us ajudarà a superar el rellotge i a maximitzar la vostra puntuació.

Voleu aconseguir una puntuació perfecta? Fes una ullada la nostra guia sobre com obtenir un 800 perfecte a la secció de matemàtiques SAT , escrit per un golejador perfecte.

La resposta final és /6$,

Vols posar-te a prova amb les preguntes de matemàtiques SAT més difícils? Vols saber què fa que aquestes preguntes siguin tan difícils i la millor manera de resoldre-les? Si esteu preparats per enfonsar-vos les dents a la secció de matemàtiques SAT i tens la mirada posada en aquesta puntuació perfecta, aquesta és la guia per a tu.

Hem reunit el que creiem que és les 15 preguntes més difícils per al SAT actual , amb estratègies i explicacions de respostes per a cadascuna. Totes aquestes són preguntes difícils de matemàtiques SAT de les proves pràctiques SAT del College Board, el que significa que comprendre-les és una de les millors maneres d'estudiar per a aquells que busqueu la perfecció.

Imatge: Sonia Sevilla /Viquimèdia

Breu visió general de SAT Math

Les seccions tercera i quarta del SAT seran sempre seccions de matemàtiques . La primera subsecció de matemàtiques (anomenada '3') fa no us permetrà utilitzar una calculadora, mentre que la segona subsecció de matemàtiques (etiquetada com a '4') fa permet l'ús d'una calculadora. Tanmateix, no us preocupeu massa per la secció sense calculadora: si no teniu permís per fer servir una calculadora per a una pregunta, vol dir que no necessiteu una calculadora per respondre-la.

Cada subsecció de matemàtiques està ordenada per ordre ascendent de dificultat (on com més temps es triga a resoldre un problema i com menys persones el responguin correctament, més difícil és). A cada subsecció, la pregunta 1 serà 'fàcil' i la pregunta 15 es considerarà 'difícil'. Tanmateix, la dificultat ascendent es restableix de fàcil a difícil a les graelles.

Per tant, les preguntes d'elecció múltiple s'organitzen en dificultat creixent (les preguntes 1 i 2 seran les més fàcils, les preguntes 14 i 15 seran les més difícils), però el nivell de dificultat es restableix per a la secció de graella (és a dir, les preguntes 16 i 17 seran de nou. 'fàcil' i les preguntes 19 i 20 seran molt difícils).

Amb poques excepcions, doncs, els problemes de matemàtiques SAT més difícils s'agruparan al final dels segments d'elecció múltiple o a la segona meitat de les preguntes de la graella. Tanmateix, a més de la seva col·locació a la prova, aquestes preguntes també comparteixen alguns altres punts en comú. En un minut, veurem preguntes d'exemple i com resoldre'ls, i després les analitzarem per esbrinar què tenen en comú aquest tipus de preguntes.

Però primer: hauríeu de centrar-vos en les preguntes de matemàtiques més difícils ara mateix?

Si acabeu de començar la vostra preparació per a l'estudi (o si simplement us heu saltat aquest primer pas crucial), definitivament atureu-vos i feu una prova pràctica completa per avaluar el vostre nivell de puntuació actual. Consulteu la nostra guia totes les proves de pràctica SAT gratuïtes disponibles en línia i després seure a fer una prova alhora.

La millor manera absoluta d'avaluar el vostre nivell actual és simplement fer la prova de pràctica SAT com si fos real, mantenint un temps estricte i treballant directament amb només les pauses permeses (sabem, probablement no la vostra manera preferida de passar un dissabte). Un cop tingueu una bona idea del vostre nivell actual i la vostra classificació percentil, podeu establir fites i objectius per a la vostra puntuació final de SAT Math.

Si actualment esteu puntuant entre 200 i 400 o entre 400 i 600 a SAT Math, la millor opció és consultar la nostra guia per millorar la vostra puntuació de matemàtiques. ser constantment superior a 600 abans de començar a tractar d'abordar els problemes matemàtics més difícils de la prova.

Tanmateix, si ja teniu una puntuació superior a 600 a la secció de matemàtiques i voleu provar el vostre valor per al SAT real, aneu definitivament a la resta d'aquesta guia. Si busqueu la perfecció (o a prop) , llavors haureu de saber com són les preguntes de matemàtiques SAT més difícils i com resoldre'ls. I, per sort, això és exactament el que farem.

ADVERTIMENT: Com que hi ha un nombre limitat de proves pràctiques oficials del SAT , és possible que vulgueu esperar per llegir aquest article fins que hàgiu provat totes o la majoria de les quatre primeres proves pràctiques oficials (ja que la majoria de les preguntes següents es van extreure d'aquestes proves). Si us preocupa fer malbé aquestes proves, deixeu de llegir aquesta guia ara; torna i llegeix-lo quan els hagis acabat.

Ara anem a la nostra llista de preguntes (whoo)!

Imatge: Niytx /DeviantArt

Les 15 preguntes de matemàtiques SAT més difícils

Ara que esteu segur que hauríeu d'intentar aquestes preguntes, anem a submergir-nos! Hem seleccionat 15 de les preguntes de matemàtiques SAT més difícils per a que les proveu a continuació, juntament amb explicacions sobre com obtenir la resposta (si us trobeu).

Sense calculadora SAT Preguntes de matemàtiques

Pregunta 1

$$C=5/9(F-32)$$

L'equació anterior mostra com la temperatura $F$, mesurada en graus Fahrenheit, es relaciona amb una temperatura $C$, mesurada en graus Celsius. D'acord amb l'equació, quina de les següents afirmacions ha de ser certa?

1. Un augment de la temperatura d'1 grau Fahrenheit és equivalent a un augment de la temperatura de $ 5/9 $ grau Celsius.
2. Un augment de temperatura d'1 grau Celsius equival a un augment de temperatura d'1,8 graus Fahrenheit.
3. Un augment de temperatura de $ 5/9 $ grau Fahrenheit equival a un augment de temperatura d'1 grau Celsius.

A) Només jo
B) Només II
C) Només III
D) Només I i II

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Penseu en l'equació com una equació per a una recta

$$y=mx+b$$

on en aquest cas

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

o

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Podeu veure que el pendent del gràfic és de ${5}/{9}$, el que significa que per a un augment d'1 grau Fahrenheit, l'augment és de ${5}/{9}$ d'1 grau centígrad.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Per tant, l'afirmació I és certa. Això equival a dir que un augment d'1 grau Celsius és igual a un augment de ${9}/{5}$ graus Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Com que ${9}/{5}$ = 1,8, l'afirmació II és certa.

L'única resposta que té tant l'afirmació I com l'afirmació II com a certes és D , però si teniu temps i voleu ser absolutament exhaustiu, també podeu comprovar si l'afirmació III (un augment de ${5}/{9}$ grau Fahrenheit és igual a un augment de temperatura d'1 grau Celsius) és certa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (que és ≠ 1)$$

Un augment de $5/9$ grau Fahrenheit comporta un augment de ${25}/{81}$, no 1 grau Celsius, i per tant l'afirmació III no és certa.

La resposta final és D.

Pregunta 2

L'equació${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$és cert per a tots els valors de $x≠2/a$, on $a$ és una constant.

Quin és el valor de $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Hi ha dues maneres de resoldre aquesta qüestió. La manera més ràpida és multiplicar cada costat de l'equació donada per $ax-2$ (per tal que pugueu desfer-vos de la fracció). Quan multipliqueu cada costat per $ax-2$, hauríeu de tenir:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Aleshores hauríeu de multiplicar $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ amb FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

A continuació, reduïu al costat dret de l'equació

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Com que els coeficients del terme $x^2$ han de ser iguals als dos costats de l'equació, $−8a = 24$, o $a = −3$.

L'altra opció que és més llarga i tediosa és intentar connectar totes les opcions de resposta per a a i veure quina opció de resposta fa que els dos costats de l'equació siguin iguals. De nou, aquesta és l'opció més llarga i no la recomano per al SAT real, ja que perdrà massa temps.

La resposta final és B.

Pregunta 3

Si $3x-y = 12$, quin és el valor de ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) 4$^4$
C) 8$^2$
D) El valor no es pot determinar a partir de la informació proporcionada.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Un enfocament és expressar

$${8^x}/{2^y}$$

de manera que el numerador i el denominador s'expressen amb la mateixa base. Com que 2 i 8 són totes dues potències de 2, substituint $2^3$ per 8 al numerador de ${8^x}/{2^y}$ dóna

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

que es pot reescriure

$${2^3x}/{2^y}$$

Com que el numerador i el denominador de tenen una base comuna, aquesta expressió es pot reescriure com $2^(3x−y)$. A la pregunta, afirma que $3x − y = 12$, de manera que es pot substituir 12 per l'exponent, $3x − y$, el que significa que

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

La resposta final és A.

Pregunta 4

Els punts A i B es troben en una circumferència de radi 1, i l'arc ${AB}↖⌢$ té una longitud de $π/3$. Quina fracció de la circumferència del cercle té la longitud de l'arc ${AB}↖⌢$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per esbrinar la resposta a aquesta pregunta, primer haureu de conèixer la fórmula per trobar la circumferència d'un cercle.

La circumferència, $C$, d'un cercle és $C = 2πr$, on $r$ és el radi del cercle. Per al cercle donat amb un radi d'1, la circumferència és $C = 2(π)(1)$, o $C = 2π$.

Per trobar quina fracció de la circumferència és la longitud de ${AB}↖⌢$, divideix la longitud de l'arc per la circumferència, la qual cosa dóna $π/3 ÷ 2π$. Aquesta divisió es pot representar per $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

La fracció $1/6$ també es pot reescriure com a $0,166$ o $0,167$.

La resposta final és $1/6$, $0,166$ o $0,167$.

Pregunta 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Si l'expressió anterior es reescriu en la forma $a+bi$, on $a$ i $b$ són nombres reals, quin és el valor de $a$? (Nota: $i=√{-1}$)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per reescriure ${8-i}/{3-2i}$ en la forma estàndard $a + bi$, heu de multiplicar el numerador i el denominador de ${8-i}/{3-2i}$ pel conjugat , 3 $ + 2 i$. Això és igual

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Com que $i^2=-1$, aquesta darrera fracció es pot reduir simplificada a

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

que simplifica encara més a $2 + i$. Per tant, quan ${8-i}/{3-2i}$ es reescriu en la forma estàndard a + bi, el valor de a és 2.

La resposta final és A.

Pregunta 6

Al triangle $ABC$, la mesura de $∠B$ és 90°, $BC=16$ i $AC$=20. El triangle $DEF$ és similar al triangle $ABC$, on els vèrtexs $D$, $E$ i $F$ corresponen als vèrtexs $A$, $B$ i $C$, respectivament, i cada costat del triangle $ DEF$ és $1/3$ la longitud del costat corresponent del triangle $ABC$. Quin és el valor de $sinF$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El triangle ABC és un triangle rectangle amb el seu angle recte a B. Per tant, $ov {AC}$ és la hipotenusa del triangle rectangle ABC, i $ov {AB}$ i $ov {BC}$ són els catets de triangle rectangle ABC. Segons el teorema de Pitàgores,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Com que el triangle DEF és similar al triangle ABC, amb el vèrtex F corresponent al vèrtex C, la mesura de $angle ∠ {F}$ és igual a la mesura de $angle ∠ {C}$. Per tant, $sin F = sin C$. A partir de les longituds dels costats del triangle ABC,

$$sinF ={oposat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Per tant, $sinF ={3}/{5}$.

La resposta final és ${3}/{5}$ o 0,6.

Preguntes de matemàtiques SAT permeses per calculadora

Pregunta 7

La taula incompleta anterior resumeix el nombre d'alumnes esquerrans i dretans per gènere per als estudiants de vuitè grau de l'escola secundària Keisel. Hi ha 5 vegades més estudiants dretanes que estudiants esquerranes, i 9 vegades més estudiants homes dretans que estudiants esquerrans. si a l'escola hi ha un total de 18 alumnes esquerrans i 122 dretans, quin dels següents s'aproxima més a la probabilitat que un alumne dretà seleccionat a l'atzar sigui dona? (Nota: Suposem que cap dels estudiants de vuitè grau és dretà i esquerrans.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, hauríeu de crear dues equacions amb dues variables ($x$ i $y$) i la informació que us proporcioneu. Sigui $x$ el nombre d'estudiants esquerranes i $y$ sigui el nombre d'estudiants esquerrans. Utilitzant la informació proporcionada al problema, el nombre d'estudiants dretanes serà de $5x$ i el nombre d'estudiants homes dretans serà de $9y$. Com que el nombre total d'estudiants esquerrans és de 18 i el nombre total d'estudiants dretans és de 122, el sistema d'equacions següent ha de ser cert:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Quan resoleu aquest sistema d'equacions, obteniu $x = 10$ i $y = 8$. Així, 5*10, o 50, dels 122 estudiants dretans són dones. Per tant, la probabilitat que un estudiant dretà seleccionat a l'atzar sigui una dona és de ${50}/{122}$, que a la mil·lèsima més propera és de 0,410.

La resposta final és A.

Preguntes 8 i 9

Utilitzeu la informació següent tant per a la pregunta 7 com per a la pregunta 8.

Si els compradors entren a una botiga a una taxa mitjana de $r$ compradors per minut i cadascun roman a la botiga durant un temps mitjà de $T$ minuts, es dona el nombre mitjà de compradors a la botiga, $N$, en qualsevol moment. mitjançant la fórmula $N=rT$. Aquesta relació es coneix com la llei de Little.

El propietari de Good Deals Store calcula que durant l'horari comercial entren a la botiga una mitjana de 3 compradors per minut i que cadascun d'ells es queda una mitjana de 15 minuts. El propietari de la botiga utilitza la llei de Little per estimar que hi ha 45 compradors a la botiga en qualsevol moment.

Pregunta 8

La llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga, com ara un departament determinat o les línies de caixa. El propietari de la botiga determina que, durant l'horari comercial, aproximadament 84 compradors per hora fan una compra i cadascun d'aquests compradors passa una mitjana de 5 minuts a la línia de pagament. En qualsevol moment durant l'horari comercial, quants compradors, de mitjana, esperen a la fila de pagament per fer una compra a la botiga Good Deals?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la pregunta indica que la llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga (per exemple, només la línia de pagament), aleshores el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment és $N = rT $, on $r$ és el nombre de compradors que entren a la línia de pagament per minut i $T$ és el nombre mitjà de minuts que cada comprador passa a la línia de pagament.

Com que 84 compradors per hora fan una compra, 84 compradors per hora entren a la línia de pagament. Tanmateix, s'ha de convertir en el nombre de compradors per minut (per poder utilitzar-lo amb $T = 5$). Com que hi ha 60 minuts en una hora, la tarifa és de ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4 $ compradors per minut. Utilitzant la fórmula donada amb $r = 1,4$ i $T = 5$ s'obté

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Per tant, el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment durant l'horari comercial és de 7.

La resposta final és 7.

Pregunta 9

El propietari de la botiga Good Deals obre una nova botiga a tota la ciutat. Per a la nova botiga, el propietari calcula que, en horari comercial, una mitjana de 90 compradors perhoresentrar a la botiga i cadascun d'ells es queda una mitjana de 12 minuts. El nombre mitjà de compradors a la botiga nova en qualsevol moment és quin percentatge menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment? (Nota: Ignoreu el símbol de percentatge quan introduïu la vostra resposta. Per exemple, si la resposta és 42,1%, introduïu 42,1)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Segons la informació original proporcionada, el nombre mitjà estimat de compradors a la botiga original en cada moment (N) és de 45. A la pregunta, s'indica que, a la nova botiga, el gerent estima que una mitjana de 90 compradors per hora (60 minuts) entra a la botiga, que equival a 1,5 compradors per minut (r). El gerent també calcula que cada comprador es queda a la botiga una mitjana de 12 minuts (T). Així, segons la llei de Little, hi ha, de mitjana, $N = rT = (1,5)(12) = 18$ compradors a la nova botiga en qualsevol moment. Això és

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

per cent menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment.

La resposta final és 60.

Pregunta 10

En el pla $xy$, el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, on $b$ és una constant. El punt amb les coordenades $(2p, 5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$. Si $p≠0$, quin és el valor de $r/p$?

A) 2/5 $

B) 3/4 $

C) $4/3$

D) 5/2 $

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $p$ per $x$ i $r$ per $y$ a l'equació $y=x+b$ dóna $r=p+b$, o $i b$ = $i r-i p $.

De la mateixa manera, com que el punt $(2p,5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $2p$ per $x$ i $5r$ per $y$ a l'equació $y=2x+b$ dóna:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

A continuació, podem establir les dues equacions iguals a $b$ iguals entre si i simplificar:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Finalment, per trobar $r/p$, hem de dividir els dos costats de l'equació per $p$ i per $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

La resposta correcta és B , $3/4$.

Si heu triat les opcions A i D, és possible que hàgiu format incorrectament la vostra resposta a partir dels coeficients del punt $(2p, 5r)$. Si heu escollit l'opció C, és possible que hàgiu confós $r$ i $p$.

Tingueu en compte que, tot i que es troba a la secció de calculadora del SAT, no necessiteu la vostra calculadora per resoldre'l!

Pregunta 11

Una sitja de gra es construeix a partir de dos cons circulars dretes i un cilindre circular dret amb mesures internes representades per la figura anterior. De les següents, quina és la més propera al volum de la sitja de gra, en peus cúbics?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El volum de la sitja de gra es pot trobar sumant els volums de tots els sòlids que la componen (un cilindre i dos cons). La sitja està formada per un cilindre (amb una alçada de 10 peus i un radi de base de 5 peus) i dos cons (cadascun amb una alçada de 5 peus i un radi de base de 5 peus). Les fórmules que es donen al començament de la secció SAT Math:

Volum d'un con

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volum d'un cilindre

$$V=πr^2h$$

es pot utilitzar per determinar el volum total de la sitja. Com que els dos cons tenen dimensions idèntiques, el volum total, en peus cúbics, de la sitja ve donat per

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

que és aproximadament igual a 1.047,2 peus cúbics.

La resposta final és D.

Pregunta 12

Si $x$ és la mitjana (mitjana aritmètica) de $m$ i $9$, $y$ és la mitjana de $2m$ i $15$, i $z$ és la mitjana de $3m$ i $18$, què és la mitjana de $x$, $y$ i $z$ en termes de $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milions de dòlars + 14 $
D) 3 milions de dòlars + 21 dòlars

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la mitjana (mitjana aritmètica) de dos nombres és igual a la suma dels dos nombres dividida per 2, les equacions $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$són certs. La mitjana de $x$, $y$ i $z$ ve donada per ${x + y + z}/{3}$. Substituint les expressions en m per a cada variable ($x$, $y$, $z$) dóna

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Aquesta fracció es pot simplificar a $m + 7$.

La resposta final és B.

Pregunta 13

La funció $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ està representada gràficament al pla $xy$ de dalt. Si $k$ és una constant tal que l'equació $f(x)=k$ té tres solucions reals, quina de les següents podria ser el valor de $k$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: L'equació $f(x) = k$ dóna les solucions del sistema d'equacions

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$i = k$$

Una solució real d'un sistema de dues equacions correspon a un punt d'intersecció de les gràfiques de les dues equacions en el pla $xy$.

La gràfica de $y = k$ és una línia horitzontal que conté el punt $(0, k)$ i talla tres vegades la gràfica de l'equació cúbica (ja que té tres solucions reals). Donada la gràfica, l'única línia horitzontal que tallaria l'equació cúbica tres vegades és la recta amb l'equació $y = −3$, o $f(x) = −3$. Per tant, $k$ és $-3$.

La resposta final és D.

Pregunta 14

$$q={1/2}nv^2$$

La pressió dinàmica $q$ generada per un fluid que es mou amb velocitat $v$ es pot trobar utilitzant la fórmula anterior, on $n$ és la densitat constant del fluid. Un enginyer aeronàutic utilitza la fórmula per trobar la pressió dinàmica d'un fluid que es mou amb velocitat $v$ i el mateix fluid que es mou amb velocitat 1,5$v$. Quina és la relació entre la pressió dinàmica del fluid més ràpid i la pressió dinàmica del fluid més lent?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, cal configurar equacions amb variables. Sigui $q_1$ la pressió dinàmica del fluid més lent que es mou amb velocitat $v_1$, i sigui $q_2$ la pressió dinàmica del fluid més ràpid que es mou amb velocitat $v_2$. Aleshores

$$v_2 =1,5v_1$$

Donada l'equació $q = {1}/{2}nv^2$, substituint la pressió dinàmica i la velocitat del fluid més ràpid dóna $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Com que $v_2 =1,5v_1$, l'expressió $1,5v_1$ es pot substituir per $v_2$ en aquesta equació, donant $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. En quadrar $1,5$, podeu reescriure l'equació anterior com a

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Per tant, la relació de la pressió dinàmica del fluid més ràpid és

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

La resposta final és 2,25 o 9/4.

Pregunta 15

Per a un polinomi $p(x)$, el valor de $p(3)$ és $-2$. Quina de les següents afirmacions ha de ser certa sobre $p(x)$?

A) $x-5$ és un factor de $p(x)$.
B) $x-2$ és un factor de $p(x)$.
C) $x+2$ és un factor de $p(x)$.
D) La resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és $-2$.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Si el polinomi $p(x)$ es divideix per un polinomi de la forma $x+k$ (que té en compte totes les opcions de resposta possibles en aquesta pregunta), el resultat es pot escriure com

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

on $q(x)$ és un polinomi i $r$ és la resta. Com que $x + k$ és un polinomi de grau 1 (és a dir, només inclou $x^1$ i no hi ha exponents superiors), la resta és un nombre real.

Per tant, $p(x)$ es pot reescriure com $p(x) = (x + k)q(x) + r$, on $r$ és un nombre real.

La pregunta diu que $p(3) = -2$, per tant ha de ser cert que

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Ara podem connectar totes les respostes possibles. Si la resposta és A, B o C, $r$ serà $0$, mentre que si la resposta és D, $r$ serà $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Aquesta voluntat sempre sigui veritat no importa què sigui $q(3)$.

De les opcions de resposta, l'única que haver de Sigui cert que $p(x)$ és D, que la resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és -2.

La resposta final és D.

Et mereixes totes les migdiades després de fer aquestes preguntes.

Què tenen en comú les preguntes de matemàtiques SAT més difícils?

És important entendre què dificulta aquestes preguntes difícils. En fer-ho, podreu entendre i resoldre preguntes similars quan les vegeu el dia de la prova, així com tenir una millor estratègia per identificar i corregir els vostres errors de matemàtiques SAT anteriors.

En aquesta secció, veurem què tenen en comú aquestes preguntes i donarem exemples de cada tipus. Alguns dels motius pels quals les preguntes de matemàtiques més difícils són les preguntes de matemàtiques més difícils és perquè:

#1: prova diversos conceptes matemàtics alhora

Aquí, hem de tractar amb nombres i fraccions imaginaris alhora.

Secret de l'èxit: Penseu en quines matemàtiques aplicables podríeu utilitzar per resoldre el problema, feu un pas a la vegada i proveu cada tècnica fins que trobeu una que funcioni!

#2: implica molts passos

Recordeu: com més passos hàgiu de fer, més fàcil és equivocar-vos en algun lloc de la línia!

Hem de resoldre aquest problema per passos (fent diverses mitjanes) per desbloquejar la resta de respostes en efecte dòmino. Això pot resultar confús, sobretot si esteu estressat o us queda sense temps.

Secret de l'èxit: Preneu-ho lentament, feu-ho pas a pas i comproveu el vostre treball per no equivocar-vos!

# 3: proveu conceptes amb els quals tingueu una familiaritat limitada

Per exemple, molts estudiants estan menys familiaritzats amb les funcions que amb les fraccions i els percentatges, de manera que la majoria de preguntes sobre funcions es consideren problemes d'alta dificultat.

Si no coneixeu les funcions, aquest seria un problema complicat.

Secret de l'èxit: Revisa conceptes matemàtics amb els quals no estàs tan familiaritzat, com ara funcions . Us suggerim que utilitzeu les nostres excel·lents guies gratuïtes de revisió SAT Math.

# 4: estan redactats de maneres inusuals o complicades

Pot ser difícil esbrinar quines són exactament algunes preguntes preguntant , i molt menys saber com resoldre'ls. Això és especialment cert quan la pregunta es troba al final de la secció i s'està quedant sense temps.

Com que aquesta pregunta proporciona tanta informació sense un diagrama, pot ser difícil de resoldre en el temps limitat que es permet.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el temps, analitzeu el que us demanen i feu un diagrama si us és útil.

#5: Utilitzeu moltes variables diferents

Amb tantes variables diferents en joc, és bastant fàcil confondre's.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el vostre temps, analitzeu el que se us demana i considereu si connectar números és una bona estratègia per resoldre el problema (no seria per a la pregunta anterior, sinó per a moltes altres preguntes de variable SAT).

Els Take-Aways

El SAT és una marató i com més preparat estiguis per a això, millor et sentiràs el dia de la prova. Saber com gestionar les preguntes més difícils que la prova et pot plantejar farà que prendre el SAT real sembli molt menys descoratjador.

Si creieu que aquestes preguntes eren fàcils, assegureu-vos de no subestimar l'efecte de l'adrenalina i la fatiga en la vostra capacitat per resoldre problemes. A mesura que continueu estudiant, seguiu sempre les directrius de temps adequades i proveu de fer proves completes sempre que sigui possible. Aquesta és la millor manera de recrear l'entorn de prova real perquè pugueu preparar-vos per a l'oferta real.

Si creieu que aquestes preguntes eren un repte, assegureu-vos d'enfortir els vostres coneixements de matemàtiques consultant les nostres guies individuals de temes de matemàtiques per al SAT. Allà, veureu explicacions més detallades dels temes en qüestió, així com desglossaments de respostes més detallats.

Que segueix?

Creieu que aquestes preguntes eren més difícils del que esperàveu? Fes un cop d'ull a tots els temes tractats a la secció de matemàtiques SAT i, a continuació, nota quines seccions van ser especialment difícils per a tu. A continuació, feu una ullada a les nostres guies matemàtiques individuals per ajudar-vos a apuntalar qualsevol d'aquestes àrees febles.

S'està quedant sense temps a la secció de matemàtiques del SAT? La nostra guia us ajudarà a superar el rellotge i a maximitzar la vostra puntuació.

Voleu aconseguir una puntuació perfecta? Fes una ullada la nostra guia sobre com obtenir un 800 perfecte a la secció de matemàtiques SAT , escrit per un golejador perfecte.

Vols posar-te a prova amb les preguntes de matemàtiques SAT més difícils? Vols saber què fa que aquestes preguntes siguin tan difícils i la millor manera de resoldre-les? Si esteu preparats per enfonsar-vos les dents a la secció de matemàtiques SAT i tens la mirada posada en aquesta puntuació perfecta, aquesta és la guia per a tu.

Hem reunit el que creiem que és les 15 preguntes més difícils per al SAT actual , amb estratègies i explicacions de respostes per a cadascuna. Totes aquestes són preguntes difícils de matemàtiques SAT de les proves pràctiques SAT del College Board, el que significa que comprendre-les és una de les millors maneres d'estudiar per a aquells que busqueu la perfecció.

Imatge: Sonia Sevilla /Viquimèdia

Breu visió general de SAT Math

Les seccions tercera i quarta del SAT seran sempre seccions de matemàtiques . La primera subsecció de matemàtiques (anomenada '3') fa no us permetrà utilitzar una calculadora, mentre que la segona subsecció de matemàtiques (etiquetada com a '4') fa permet l'ús d'una calculadora. Tanmateix, no us preocupeu massa per la secció sense calculadora: si no teniu permís per fer servir una calculadora per a una pregunta, vol dir que no necessiteu una calculadora per respondre-la.

Cada subsecció de matemàtiques està ordenada per ordre ascendent de dificultat (on com més temps es triga a resoldre un problema i com menys persones el responguin correctament, més difícil és). A cada subsecció, la pregunta 1 serà 'fàcil' i la pregunta 15 es considerarà 'difícil'. Tanmateix, la dificultat ascendent es restableix de fàcil a difícil a les graelles.

Per tant, les preguntes d'elecció múltiple s'organitzen en dificultat creixent (les preguntes 1 i 2 seran les més fàcils, les preguntes 14 i 15 seran les més difícils), però el nivell de dificultat es restableix per a la secció de graella (és a dir, les preguntes 16 i 17 seran de nou. 'fàcil' i les preguntes 19 i 20 seran molt difícils).

Amb poques excepcions, doncs, els problemes de matemàtiques SAT més difícils s'agruparan al final dels segments d'elecció múltiple o a la segona meitat de les preguntes de la graella. Tanmateix, a més de la seva col·locació a la prova, aquestes preguntes també comparteixen alguns altres punts en comú. En un minut, veurem preguntes d'exemple i com resoldre'ls, i després les analitzarem per esbrinar què tenen en comú aquest tipus de preguntes.

Però primer: hauríeu de centrar-vos en les preguntes de matemàtiques més difícils ara mateix?

Si acabeu de començar la vostra preparació per a l'estudi (o si simplement us heu saltat aquest primer pas crucial), definitivament atureu-vos i feu una prova pràctica completa per avaluar el vostre nivell de puntuació actual. Consulteu la nostra guia totes les proves de pràctica SAT gratuïtes disponibles en línia i després seure a fer una prova alhora.

La millor manera absoluta d'avaluar el vostre nivell actual és simplement fer la prova de pràctica SAT com si fos real, mantenint un temps estricte i treballant directament amb només les pauses permeses (sabem, probablement no la vostra manera preferida de passar un dissabte). Un cop tingueu una bona idea del vostre nivell actual i la vostra classificació percentil, podeu establir fites i objectius per a la vostra puntuació final de SAT Math.

Si actualment esteu puntuant entre 200 i 400 o entre 400 i 600 a SAT Math, la millor opció és consultar la nostra guia per millorar la vostra puntuació de matemàtiques. ser constantment superior a 600 abans de començar a tractar d'abordar els problemes matemàtics més difícils de la prova.

Tanmateix, si ja teniu una puntuació superior a 600 a la secció de matemàtiques i voleu provar el vostre valor per al SAT real, aneu definitivament a la resta d'aquesta guia. Si busqueu la perfecció (o a prop) , llavors haureu de saber com són les preguntes de matemàtiques SAT més difícils i com resoldre'ls. I, per sort, això és exactament el que farem.

ADVERTIMENT: Com que hi ha un nombre limitat de proves pràctiques oficials del SAT , és possible que vulgueu esperar per llegir aquest article fins que hàgiu provat totes o la majoria de les quatre primeres proves pràctiques oficials (ja que la majoria de les preguntes següents es van extreure d'aquestes proves). Si us preocupa fer malbé aquestes proves, deixeu de llegir aquesta guia ara; torna i llegeix-lo quan els hagis acabat.

Ara anem a la nostra llista de preguntes (whoo)!

Imatge: Niytx /DeviantArt

Les 15 preguntes de matemàtiques SAT més difícils

Ara que esteu segur que hauríeu d'intentar aquestes preguntes, anem a submergir-nos! Hem seleccionat 15 de les preguntes de matemàtiques SAT més difícils per a que les proveu a continuació, juntament amb explicacions sobre com obtenir la resposta (si us trobeu).

Sense calculadora SAT Preguntes de matemàtiques

Pregunta 1

$$C=5/9(F-32)$$

L'equació anterior mostra com la temperatura $F$, mesurada en graus Fahrenheit, es relaciona amb una temperatura $C$, mesurada en graus Celsius. D'acord amb l'equació, quina de les següents afirmacions ha de ser certa?

1. Un augment de la temperatura d'1 grau Fahrenheit és equivalent a un augment de la temperatura de $ 5/9 $ grau Celsius.
2. Un augment de temperatura d'1 grau Celsius equival a un augment de temperatura d'1,8 graus Fahrenheit.
3. Un augment de temperatura de $ 5/9 $ grau Fahrenheit equival a un augment de temperatura d'1 grau Celsius.

A) Només jo
B) Només II
C) Només III
D) Només I i II

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Penseu en l'equació com una equació per a una recta

$$y=mx+b$$

on en aquest cas

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

o

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Podeu veure que el pendent del gràfic és de ${5}/{9}$, el que significa que per a un augment d'1 grau Fahrenheit, l'augment és de ${5}/{9}$ d'1 grau centígrad.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Per tant, l'afirmació I és certa. Això equival a dir que un augment d'1 grau Celsius és igual a un augment de ${9}/{5}$ graus Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Com que ${9}/{5}$ = 1,8, l'afirmació II és certa.

L'única resposta que té tant l'afirmació I com l'afirmació II com a certes és D , però si teniu temps i voleu ser absolutament exhaustiu, també podeu comprovar si l'afirmació III (un augment de ${5}/{9}$ grau Fahrenheit és igual a un augment de temperatura d'1 grau Celsius) és certa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (que és ≠ 1)$$

Un augment de $5/9$ grau Fahrenheit comporta un augment de ${25}/{81}$, no 1 grau Celsius, i per tant l'afirmació III no és certa.

La resposta final és D.

Pregunta 2

L'equació${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$és cert per a tots els valors de $x≠2/a$, on $a$ és una constant.

Quin és el valor de $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Hi ha dues maneres de resoldre aquesta qüestió. La manera més ràpida és multiplicar cada costat de l'equació donada per $ax-2$ (per tal que pugueu desfer-vos de la fracció). Quan multipliqueu cada costat per $ax-2$, hauríeu de tenir:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Aleshores hauríeu de multiplicar $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ amb FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

A continuació, reduïu al costat dret de l'equació

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Com que els coeficients del terme $x^2$ han de ser iguals als dos costats de l'equació, $−8a = 24$, o $a = −3$.

L'altra opció que és més llarga i tediosa és intentar connectar totes les opcions de resposta per a a i veure quina opció de resposta fa que els dos costats de l'equació siguin iguals. De nou, aquesta és l'opció més llarga i no la recomano per al SAT real, ja que perdrà massa temps.

La resposta final és B.

Pregunta 3

Si $3x-y = 12$, quin és el valor de ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) 4$^4$
C) 8$^2$
D) El valor no es pot determinar a partir de la informació proporcionada.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Un enfocament és expressar

$${8^x}/{2^y}$$

de manera que el numerador i el denominador s'expressen amb la mateixa base. Com que 2 i 8 són totes dues potències de 2, substituint $2^3$ per 8 al numerador de ${8^x}/{2^y}$ dóna

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

que es pot reescriure

$${2^3x}/{2^y}$$

Com que el numerador i el denominador de tenen una base comuna, aquesta expressió es pot reescriure com $2^(3x−y)$. A la pregunta, afirma que $3x − y = 12$, de manera que es pot substituir 12 per l'exponent, $3x − y$, el que significa que

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

La resposta final és A.

Pregunta 4

Els punts A i B es troben en una circumferència de radi 1, i l'arc ${AB}↖⌢$ té una longitud de $π/3$. Quina fracció de la circumferència del cercle té la longitud de l'arc ${AB}↖⌢$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per esbrinar la resposta a aquesta pregunta, primer haureu de conèixer la fórmula per trobar la circumferència d'un cercle.

La circumferència, $C$, d'un cercle és $C = 2πr$, on $r$ és el radi del cercle. Per al cercle donat amb un radi d'1, la circumferència és $C = 2(π)(1)$, o $C = 2π$.

Per trobar quina fracció de la circumferència és la longitud de ${AB}↖⌢$, divideix la longitud de l'arc per la circumferència, la qual cosa dóna $π/3 ÷ 2π$. Aquesta divisió es pot representar per $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

La fracció $1/6$ també es pot reescriure com a $0,166$ o $0,167$.

La resposta final és $1/6$, $0,166$ o $0,167$.

Pregunta 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Si l'expressió anterior es reescriu en la forma $a+bi$, on $a$ i $b$ són nombres reals, quin és el valor de $a$? (Nota: $i=√{-1}$)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per reescriure ${8-i}/{3-2i}$ en la forma estàndard $a + bi$, heu de multiplicar el numerador i el denominador de ${8-i}/{3-2i}$ pel conjugat , 3 $ + 2 i$. Això és igual

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Com que $i^2=-1$, aquesta darrera fracció es pot reduir simplificada a

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

que simplifica encara més a $2 + i$. Per tant, quan ${8-i}/{3-2i}$ es reescriu en la forma estàndard a + bi, el valor de a és 2.

La resposta final és A.

Pregunta 6

Al triangle $ABC$, la mesura de $∠B$ és 90°, $BC=16$ i $AC$=20. El triangle $DEF$ és similar al triangle $ABC$, on els vèrtexs $D$, $E$ i $F$ corresponen als vèrtexs $A$, $B$ i $C$, respectivament, i cada costat del triangle $ DEF$ és $1/3$ la longitud del costat corresponent del triangle $ABC$. Quin és el valor de $sinF$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El triangle ABC és un triangle rectangle amb el seu angle recte a B. Per tant, $ov {AC}$ és la hipotenusa del triangle rectangle ABC, i $ov {AB}$ i $ov {BC}$ són els catets de triangle rectangle ABC. Segons el teorema de Pitàgores,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Com que el triangle DEF és similar al triangle ABC, amb el vèrtex F corresponent al vèrtex C, la mesura de $angle ∠ {F}$ és igual a la mesura de $angle ∠ {C}$. Per tant, $sin F = sin C$. A partir de les longituds dels costats del triangle ABC,

$$sinF ={oposat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Per tant, $sinF ={3}/{5}$.

La resposta final és ${3}/{5}$ o 0,6.

Preguntes de matemàtiques SAT permeses per calculadora

Pregunta 7

La taula incompleta anterior resumeix el nombre d'alumnes esquerrans i dretans per gènere per als estudiants de vuitè grau de l'escola secundària Keisel. Hi ha 5 vegades més estudiants dretanes que estudiants esquerranes, i 9 vegades més estudiants homes dretans que estudiants esquerrans. si a l'escola hi ha un total de 18 alumnes esquerrans i 122 dretans, quin dels següents s'aproxima més a la probabilitat que un alumne dretà seleccionat a l'atzar sigui dona? (Nota: Suposem que cap dels estudiants de vuitè grau és dretà i esquerrans.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, hauríeu de crear dues equacions amb dues variables ($x$ i $y$) i la informació que us proporcioneu. Sigui $x$ el nombre d'estudiants esquerranes i $y$ sigui el nombre d'estudiants esquerrans. Utilitzant la informació proporcionada al problema, el nombre d'estudiants dretanes serà de $5x$ i el nombre d'estudiants homes dretans serà de $9y$. Com que el nombre total d'estudiants esquerrans és de 18 i el nombre total d'estudiants dretans és de 122, el sistema d'equacions següent ha de ser cert:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Quan resoleu aquest sistema d'equacions, obteniu $x = 10$ i $y = 8$. Així, 5*10, o 50, dels 122 estudiants dretans són dones. Per tant, la probabilitat que un estudiant dretà seleccionat a l'atzar sigui una dona és de ${50}/{122}$, que a la mil·lèsima més propera és de 0,410.

La resposta final és A.

Preguntes 8 i 9

Utilitzeu la informació següent tant per a la pregunta 7 com per a la pregunta 8.

Si els compradors entren a una botiga a una taxa mitjana de $r$ compradors per minut i cadascun roman a la botiga durant un temps mitjà de $T$ minuts, es dona el nombre mitjà de compradors a la botiga, $N$, en qualsevol moment. mitjançant la fórmula $N=rT$. Aquesta relació es coneix com la llei de Little.

El propietari de Good Deals Store calcula que durant l'horari comercial entren a la botiga una mitjana de 3 compradors per minut i que cadascun d'ells es queda una mitjana de 15 minuts. El propietari de la botiga utilitza la llei de Little per estimar que hi ha 45 compradors a la botiga en qualsevol moment.

Pregunta 8

La llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga, com ara un departament determinat o les línies de caixa. El propietari de la botiga determina que, durant l'horari comercial, aproximadament 84 compradors per hora fan una compra i cadascun d'aquests compradors passa una mitjana de 5 minuts a la línia de pagament. En qualsevol moment durant l'horari comercial, quants compradors, de mitjana, esperen a la fila de pagament per fer una compra a la botiga Good Deals?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la pregunta indica que la llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga (per exemple, només la línia de pagament), aleshores el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment és $N = rT $, on $r$ és el nombre de compradors que entren a la línia de pagament per minut i $T$ és el nombre mitjà de minuts que cada comprador passa a la línia de pagament.

Com que 84 compradors per hora fan una compra, 84 compradors per hora entren a la línia de pagament. Tanmateix, s'ha de convertir en el nombre de compradors per minut (per poder utilitzar-lo amb $T = 5$). Com que hi ha 60 minuts en una hora, la tarifa és de ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4 $ compradors per minut. Utilitzant la fórmula donada amb $r = 1,4$ i $T = 5$ s'obté

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Per tant, el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment durant l'horari comercial és de 7.

La resposta final és 7.

Pregunta 9

El propietari de la botiga Good Deals obre una nova botiga a tota la ciutat. Per a la nova botiga, el propietari calcula que, en horari comercial, una mitjana de 90 compradors perhoresentrar a la botiga i cadascun d'ells es queda una mitjana de 12 minuts. El nombre mitjà de compradors a la botiga nova en qualsevol moment és quin percentatge menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment? (Nota: Ignoreu el símbol de percentatge quan introduïu la vostra resposta. Per exemple, si la resposta és 42,1%, introduïu 42,1)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Segons la informació original proporcionada, el nombre mitjà estimat de compradors a la botiga original en cada moment (N) és de 45. A la pregunta, s'indica que, a la nova botiga, el gerent estima que una mitjana de 90 compradors per hora (60 minuts) entra a la botiga, que equival a 1,5 compradors per minut (r). El gerent també calcula que cada comprador es queda a la botiga una mitjana de 12 minuts (T). Així, segons la llei de Little, hi ha, de mitjana, $N = rT = (1,5)(12) = 18$ compradors a la nova botiga en qualsevol moment. Això és

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

per cent menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment.

La resposta final és 60.

Pregunta 10

En el pla $xy$, el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, on $b$ és una constant. El punt amb les coordenades $(2p, 5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$. Si $p≠0$, quin és el valor de $r/p$?

A) 2/5 $

B) 3/4 $

C) $4/3$

D) 5/2 $

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $p$ per $x$ i $r$ per $y$ a l'equació $y=x+b$ dóna $r=p+b$, o $i b$ = $i r-i p $.

De la mateixa manera, com que el punt $(2p,5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $2p$ per $x$ i $5r$ per $y$ a l'equació $y=2x+b$ dóna:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

A continuació, podem establir les dues equacions iguals a $b$ iguals entre si i simplificar:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Finalment, per trobar $r/p$, hem de dividir els dos costats de l'equació per $p$ i per $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

La resposta correcta és B , $3/4$.

Si heu triat les opcions A i D, és possible que hàgiu format incorrectament la vostra resposta a partir dels coeficients del punt $(2p, 5r)$. Si heu escollit l'opció C, és possible que hàgiu confós $r$ i $p$.

Tingueu en compte que, tot i que es troba a la secció de calculadora del SAT, no necessiteu la vostra calculadora per resoldre'l!

Pregunta 11

Una sitja de gra es construeix a partir de dos cons circulars dretes i un cilindre circular dret amb mesures internes representades per la figura anterior. De les següents, quina és la més propera al volum de la sitja de gra, en peus cúbics?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El volum de la sitja de gra es pot trobar sumant els volums de tots els sòlids que la componen (un cilindre i dos cons). La sitja està formada per un cilindre (amb una alçada de 10 peus i un radi de base de 5 peus) i dos cons (cadascun amb una alçada de 5 peus i un radi de base de 5 peus). Les fórmules que es donen al començament de la secció SAT Math:

Volum d'un con

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volum d'un cilindre

$$V=πr^2h$$

es pot utilitzar per determinar el volum total de la sitja. Com que els dos cons tenen dimensions idèntiques, el volum total, en peus cúbics, de la sitja ve donat per

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

que és aproximadament igual a 1.047,2 peus cúbics.

La resposta final és D.

Pregunta 12

Si $x$ és la mitjana (mitjana aritmètica) de $m$ i $9$, $y$ és la mitjana de $2m$ i $15$, i $z$ és la mitjana de $3m$ i $18$, què és la mitjana de $x$, $y$ i $z$ en termes de $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milions de dòlars + 14 $
D) 3 milions de dòlars + 21 dòlars

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la mitjana (mitjana aritmètica) de dos nombres és igual a la suma dels dos nombres dividida per 2, les equacions $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$són certs. La mitjana de $x$, $y$ i $z$ ve donada per ${x + y + z}/{3}$. Substituint les expressions en m per a cada variable ($x$, $y$, $z$) dóna

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Aquesta fracció es pot simplificar a $m + 7$.

La resposta final és B.

Pregunta 13

La funció $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ està representada gràficament al pla $xy$ de dalt. Si $k$ és una constant tal que l'equació $f(x)=k$ té tres solucions reals, quina de les següents podria ser el valor de $k$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: L'equació $f(x) = k$ dóna les solucions del sistema d'equacions

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$i = k$$

Una solució real d'un sistema de dues equacions correspon a un punt d'intersecció de les gràfiques de les dues equacions en el pla $xy$.

La gràfica de $y = k$ és una línia horitzontal que conté el punt $(0, k)$ i talla tres vegades la gràfica de l'equació cúbica (ja que té tres solucions reals). Donada la gràfica, l'única línia horitzontal que tallaria l'equació cúbica tres vegades és la recta amb l'equació $y = −3$, o $f(x) = −3$. Per tant, $k$ és $-3$.

La resposta final és D.

Pregunta 14

$$q={1/2}nv^2$$

La pressió dinàmica $q$ generada per un fluid que es mou amb velocitat $v$ es pot trobar utilitzant la fórmula anterior, on $n$ és la densitat constant del fluid. Un enginyer aeronàutic utilitza la fórmula per trobar la pressió dinàmica d'un fluid que es mou amb velocitat $v$ i el mateix fluid que es mou amb velocitat 1,5$v$. Quina és la relació entre la pressió dinàmica del fluid més ràpid i la pressió dinàmica del fluid més lent?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, cal configurar equacions amb variables. Sigui $q_1$ la pressió dinàmica del fluid més lent que es mou amb velocitat $v_1$, i sigui $q_2$ la pressió dinàmica del fluid més ràpid que es mou amb velocitat $v_2$. Aleshores

$$v_2 =1,5v_1$$

Donada l'equació $q = {1}/{2}nv^2$, substituint la pressió dinàmica i la velocitat del fluid més ràpid dóna $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Com que $v_2 =1,5v_1$, l'expressió $1,5v_1$ es pot substituir per $v_2$ en aquesta equació, donant $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. En quadrar $1,5$, podeu reescriure l'equació anterior com a

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Per tant, la relació de la pressió dinàmica del fluid més ràpid és

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

La resposta final és 2,25 o 9/4.

Pregunta 15

Per a un polinomi $p(x)$, el valor de $p(3)$ és $-2$. Quina de les següents afirmacions ha de ser certa sobre $p(x)$?

A) $x-5$ és un factor de $p(x)$.
B) $x-2$ és un factor de $p(x)$.
C) $x+2$ és un factor de $p(x)$.
D) La resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és $-2$.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Si el polinomi $p(x)$ es divideix per un polinomi de la forma $x+k$ (que té en compte totes les opcions de resposta possibles en aquesta pregunta), el resultat es pot escriure com

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

on $q(x)$ és un polinomi i $r$ és la resta. Com que $x + k$ és un polinomi de grau 1 (és a dir, només inclou $x^1$ i no hi ha exponents superiors), la resta és un nombre real.

Per tant, $p(x)$ es pot reescriure com $p(x) = (x + k)q(x) + r$, on $r$ és un nombre real.

La pregunta diu que $p(3) = -2$, per tant ha de ser cert que

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Ara podem connectar totes les respostes possibles. Si la resposta és A, B o C, $r$ serà $0$, mentre que si la resposta és D, $r$ serà $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Aquesta voluntat sempre sigui veritat no importa què sigui $q(3)$.

De les opcions de resposta, l'única que haver de Sigui cert que $p(x)$ és D, que la resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és -2.

La resposta final és D.

Et mereixes totes les migdiades després de fer aquestes preguntes.

Què tenen en comú les preguntes de matemàtiques SAT més difícils?

És important entendre què dificulta aquestes preguntes difícils. En fer-ho, podreu entendre i resoldre preguntes similars quan les vegeu el dia de la prova, així com tenir una millor estratègia per identificar i corregir els vostres errors de matemàtiques SAT anteriors.

En aquesta secció, veurem què tenen en comú aquestes preguntes i donarem exemples de cada tipus. Alguns dels motius pels quals les preguntes de matemàtiques més difícils són les preguntes de matemàtiques més difícils és perquè:

#1: prova diversos conceptes matemàtics alhora

Aquí, hem de tractar amb nombres i fraccions imaginaris alhora.

Secret de l'èxit: Penseu en quines matemàtiques aplicables podríeu utilitzar per resoldre el problema, feu un pas a la vegada i proveu cada tècnica fins que trobeu una que funcioni!

#2: implica molts passos

Recordeu: com més passos hàgiu de fer, més fàcil és equivocar-vos en algun lloc de la línia!

Hem de resoldre aquest problema per passos (fent diverses mitjanes) per desbloquejar la resta de respostes en efecte dòmino. Això pot resultar confús, sobretot si esteu estressat o us queda sense temps.

Secret de l'èxit: Preneu-ho lentament, feu-ho pas a pas i comproveu el vostre treball per no equivocar-vos!

# 3: proveu conceptes amb els quals tingueu una familiaritat limitada

Per exemple, molts estudiants estan menys familiaritzats amb les funcions que amb les fraccions i els percentatges, de manera que la majoria de preguntes sobre funcions es consideren problemes d'alta dificultat.

Si no coneixeu les funcions, aquest seria un problema complicat.

Secret de l'èxit: Revisa conceptes matemàtics amb els quals no estàs tan familiaritzat, com ara funcions . Us suggerim que utilitzeu les nostres excel·lents guies gratuïtes de revisió SAT Math.

# 4: estan redactats de maneres inusuals o complicades

Pot ser difícil esbrinar quines són exactament algunes preguntes preguntant , i molt menys saber com resoldre'ls. Això és especialment cert quan la pregunta es troba al final de la secció i s'està quedant sense temps.

Com que aquesta pregunta proporciona tanta informació sense un diagrama, pot ser difícil de resoldre en el temps limitat que es permet.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el temps, analitzeu el que us demanen i feu un diagrama si us és útil.

#5: Utilitzeu moltes variables diferents

Amb tantes variables diferents en joc, és bastant fàcil confondre's.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el vostre temps, analitzeu el que se us demana i considereu si connectar números és una bona estratègia per resoldre el problema (no seria per a la pregunta anterior, sinó per a moltes altres preguntes de variable SAT).

Els Take-Aways

El SAT és una marató i com més preparat estiguis per a això, millor et sentiràs el dia de la prova. Saber com gestionar les preguntes més difícils que la prova et pot plantejar farà que prendre el SAT real sembli molt menys descoratjador.

Si creieu que aquestes preguntes eren fàcils, assegureu-vos de no subestimar l'efecte de l'adrenalina i la fatiga en la vostra capacitat per resoldre problemes. A mesura que continueu estudiant, seguiu sempre les directrius de temps adequades i proveu de fer proves completes sempre que sigui possible. Aquesta és la millor manera de recrear l'entorn de prova real perquè pugueu preparar-vos per a l'oferta real.

Si creieu que aquestes preguntes eren un repte, assegureu-vos d'enfortir els vostres coneixements de matemàtiques consultant les nostres guies individuals de temes de matemàtiques per al SAT. Allà, veureu explicacions més detallades dels temes en qüestió, així com desglossaments de respostes més detallats.

Que segueix?

Creieu que aquestes preguntes eren més difícils del que esperàveu? Fes un cop d'ull a tots els temes tractats a la secció de matemàtiques SAT i, a continuació, nota quines seccions van ser especialment difícils per a tu. A continuació, feu una ullada a les nostres guies matemàtiques individuals per ajudar-vos a apuntalar qualsevol d'aquestes àrees febles.

S'està quedant sense temps a la secció de matemàtiques del SAT? La nostra guia us ajudarà a superar el rellotge i a maximitzar la vostra puntuació.

Voleu aconseguir una puntuació perfecta? Fes una ullada la nostra guia sobre com obtenir un 800 perfecte a la secció de matemàtiques SAT , escrit per un golejador perfecte.

Pregunta 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Si l'expressió anterior es reescriu en la forma $a+bi$, on $a$ i $b$ són nombres reals, quin és el valor de $a$? (Nota: $i=√{-1}$)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per reescriure ${8-i}/{3-2i}$ en la forma estàndard $a + bi$, heu de multiplicar el numerador i el denominador de ${8-i}/{3-2i}$ pel conjugat , 3 $ + 2 i$. Això és igual

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

La cadena conté java

Com que $i^2=-1$, aquesta darrera fracció es pot reduir simplificada a

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

que simplifica encara més a + i$. Per tant, quan ${8-i}/{3-2i}$ es reescriu en la forma estàndard a + bi, el valor de a és 2.

La resposta final és A.

Pregunta 6

Al triangle $ABC$, la mesura de $∠B$ és 90°, $BC=16$ i $AC$=20. El triangle $DEF$ és similar al triangle $ABC$, on els vèrtexs $D$, $E$ i $F$ corresponen als vèrtexs $A$, $B$ i $C$, respectivament, i cada costat del triangle $ DEF$ és /3$ la longitud del costat corresponent del triangle $ABC$. Quin és el valor de $sinF$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El triangle ABC és un triangle rectangle amb el seu angle recte a B. Per tant, $ov {AC}$ és la hipotenusa del triangle rectangle ABC, i $ov {AB}$ i $ov {BC}$ són els catets de triangle rectangle ABC. Segons el teorema de Pitàgores,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Com que el triangle DEF és similar al triangle ABC, amb el vèrtex F corresponent al vèrtex C, la mesura de $angle ∠ {F}$ és igual a la mesura de $angle ∠ {C}$. Per tant, $sin F = sin C$. A partir de les longituds dels costats del triangle ABC,

$$sinF ={oposat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Per tant, $sinF ={3}/{5}$.

La resposta final és /{5}$ o 0,6.

Preguntes de matemàtiques SAT permeses per calculadora

Pregunta 7

La taula incompleta anterior resumeix el nombre d'alumnes esquerrans i dretans per gènere per als estudiants de vuitè grau de l'escola secundària Keisel. Hi ha 5 vegades més estudiants dretanes que estudiants esquerranes, i 9 vegades més estudiants homes dretans que estudiants esquerrans. si a l'escola hi ha un total de 18 alumnes esquerrans i 122 dretans, quin dels següents s'aproxima més a la probabilitat que un alumne dretà seleccionat a l'atzar sigui dona? (Nota: Suposem que cap dels estudiants de vuitè grau és dretà i esquerrans.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, hauríeu de crear dues equacions amb dues variables ($x$ i $y$) i la informació que us proporcioneu. Sigui $x$ el nombre d'estudiants esquerranes i $y$ sigui el nombre d'estudiants esquerrans. Utilitzant la informació proporcionada al problema, el nombre d'estudiants dretanes serà de x$ i el nombre d'estudiants homes dretans serà de y$. Com que el nombre total d'estudiants esquerrans és de 18 i el nombre total d'estudiants dretans és de 122, el sistema d'equacions següent ha de ser cert:

$$x + y = 18$$

$x + 9y = 122$$

Quan resoleu aquest sistema d'equacions, obteniu $x = 10$ i $y = 8$. Així, 5*10, o 50, dels 122 estudiants dretans són dones. Per tant, la probabilitat que un estudiant dretà seleccionat a l'atzar sigui una dona és de /{122}$, que a la mil·lèsima més propera és de 0,410.

Preguntes 8 i 9

Utilitzeu la informació següent tant per a la pregunta 7 com per a la pregunta 8.

Si els compradors entren a una botiga a una taxa mitjana de $r$ compradors per minut i cadascun roman a la botiga durant un temps mitjà de $T$ minuts, es dona el nombre mitjà de compradors a la botiga, $N$, en qualsevol moment. mitjançant la fórmula $N=rT$. Aquesta relació es coneix com la llei de Little.

El propietari de Good Deals Store calcula que durant l'horari comercial entren a la botiga una mitjana de 3 compradors per minut i que cadascun d'ells es queda una mitjana de 15 minuts. El propietari de la botiga utilitza la llei de Little per estimar que hi ha 45 compradors a la botiga en qualsevol moment.

Pregunta 8

La llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga, com ara un departament determinat o les línies de caixa. El propietari de la botiga determina que, durant l'horari comercial, aproximadament 84 compradors per hora fan una compra i cadascun d'aquests compradors passa una mitjana de 5 minuts a la línia de pagament. En qualsevol moment durant l'horari comercial, quants compradors, de mitjana, esperen a la fila de pagament per fer una compra a la botiga Good Deals?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la pregunta indica que la llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga (per exemple, només la línia de pagament), aleshores el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment és $N = rT $, on $r$ és el nombre de compradors que entren a la línia de pagament per minut i $T$ és el nombre mitjà de minuts que cada comprador passa a la línia de pagament.

Com que 84 compradors per hora fan una compra, 84 compradors per hora entren a la línia de pagament. Tanmateix, s'ha de convertir en el nombre de compradors per minut (per poder utilitzar-lo amb $T = 5$). Com que hi ha 60 minuts en una hora, la tarifa és de ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4 $ compradors per minut. Utilitzant la fórmula donada amb $r = 1,4$ i $T = 5$ s'obté

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Per tant, el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment durant l'horari comercial és de 7.

La resposta final és 7.

Pregunta 9

El propietari de la botiga Good Deals obre una nova botiga a tota la ciutat. Per a la nova botiga, el propietari calcula que, en horari comercial, una mitjana de 90 compradors perhoresentrar a la botiga i cadascun d'ells es queda una mitjana de 12 minuts. El nombre mitjà de compradors a la botiga nova en qualsevol moment és quin percentatge menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment? (Nota: Ignoreu el símbol de percentatge quan introduïu la vostra resposta. Per exemple, si la resposta és 42,1%, introduïu 42,1)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Segons la informació original proporcionada, el nombre mitjà estimat de compradors a la botiga original en cada moment (N) és de 45. A la pregunta, s'indica que, a la nova botiga, el gerent estima que una mitjana de 90 compradors per hora (60 minuts) entra a la botiga, que equival a 1,5 compradors per minut (r). El gerent també calcula que cada comprador es queda a la botiga una mitjana de 12 minuts (T). Així, segons la llei de Little, hi ha, de mitjana, $N = rT = (1,5)(12) = 18$ compradors a la nova botiga en qualsevol moment. Això és

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

per cent menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment.

La resposta final és 60.

Pregunta 10

En el pla $xy$, el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, on $b$ és una constant. El punt amb les coordenades $(2p, 5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$. Si $p≠0$, quin és el valor de $r/p$?

A) 2/5 $

B) 3/4 $

C) /3$

D) 5/2 $

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $p$ per $x$ i $r$ per $y$ a l'equació $y=x+b$ dóna $r=p+b$, o $i b$ = $i r-i p $.

De la mateixa manera, com que el punt $(2p,5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint p$ per $x$ i r$ per $y$ a l'equació $y=2x+b$ dóna:

r=2(2p)+b$

r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

A continuació, podem establir les dues equacions iguals a $b$ iguals entre si i simplificar:

$b=r-p=5r-4p$

p=4r$

Finalment, per trobar $r/p$, hem de dividir els dos costats de l'equació per $p$ i per $:

p=4r$

={4r}/p$

/4=r/p$

La resposta correcta és B , /4$.

Si heu triat les opcions A i D, és possible que hàgiu format incorrectament la vostra resposta a partir dels coeficients del punt $(2p, 5r)$. Si heu escollit l'opció C, és possible que hàgiu confós $r$ i $p$.

Tingueu en compte que, tot i que es troba a la secció de calculadora del SAT, no necessiteu la vostra calculadora per resoldre'l!

Pregunta 11

Una sitja de gra es construeix a partir de dos cons circulars dretes i un cilindre circular dret amb mesures internes representades per la figura anterior. De les següents, quina és la més propera al volum de la sitja de gra, en peus cúbics?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El volum de la sitja de gra es pot trobar sumant els volums de tots els sòlids que la componen (un cilindre i dos cons). La sitja està formada per un cilindre (amb una alçada de 10 peus i un radi de base de 5 peus) i dos cons (cadascun amb una alçada de 5 peus i un radi de base de 5 peus). Les fórmules que es donen al començament de la secció SAT Math:

Volum d'un con

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volum d'un cilindre

$$V=πr^2h$$

es pot utilitzar per determinar el volum total de la sitja. Com que els dos cons tenen dimensions idèntiques, el volum total, en peus cúbics, de la sitja ve donat per

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

que és aproximadament igual a 1.047,2 peus cúbics.

La resposta final és D.

Pregunta 12

Si $x$ és la mitjana (mitjana aritmètica) de $m$ i $, $y$ és la mitjana de m$ i $, i $z$ és la mitjana de m$ i $, què és la mitjana de $x$, $y$ i $z$ en termes de $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milions de dòlars + 14 $
D) 3 milions de dòlars + 21 dòlars

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la mitjana (mitjana aritmètica) de dos nombres és igual a la suma dels dos nombres dividida per 2, les equacions $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$són certs. La mitjana de $x$, $y$ i $z$ ve donada per ${x + y + z}/{3}$. Substituint les expressions en m per a cada variable ($x$, $y$, $z$) dóna

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Aquesta fracció es pot simplificar a $m + 7$.

La resposta final és B.

Pregunta 13

La funció $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ està representada gràficament al pla $xy$ de dalt. Si $k$ és una constant tal que l'equació $f(x)=k$ té tres solucions reals, quina de les següents podria ser el valor de $k$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: L'equació $f(x) = k$ dóna les solucions del sistema d'equacions

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$i = k$$

Una solució real d'un sistema de dues equacions correspon a un punt d'intersecció de les gràfiques de les dues equacions en el pla $xy$.

La gràfica de $y = k$ és una línia horitzontal que conté el punt $(0, k)$ i talla tres vegades la gràfica de l'equació cúbica (ja que té tres solucions reals). Donada la gràfica, l'única línia horitzontal que tallaria l'equació cúbica tres vegades és la recta amb l'equació $y = −3$, o $f(x) = −3$. Per tant, $k$ és $-3$.

La resposta final és D.

Pregunta 14

$$q={1/2}nv^2$$

llenguatge java bàsic

La pressió dinàmica $q$ generada per un fluid que es mou amb velocitat $v$ es pot trobar utilitzant la fórmula anterior, on $n$ és la densitat constant del fluid. Un enginyer aeronàutic utilitza la fórmula per trobar la pressió dinàmica d'un fluid que es mou amb velocitat $v$ i el mateix fluid que es mou amb velocitat 1,5$v$. Quina és la relació entre la pressió dinàmica del fluid més ràpid i la pressió dinàmica del fluid més lent?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, cal configurar equacions amb variables. Sigui $q_1$ la pressió dinàmica del fluid més lent que es mou amb velocitat $v_1$, i sigui $q_2$ la pressió dinàmica del fluid més ràpid que es mou amb velocitat $v_2$. Aleshores

$$v_2 =1,5v_1$$

Donada l'equació $q = {1}/{2}nv^2$, substituint la pressió dinàmica i la velocitat del fluid més ràpid dóna $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Com que $v_2 =1,5v_1$, l'expressió ,5v_1$ es pot substituir per $v_2$ en aquesta equació, donant $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. En quadrar ,5$, podeu reescriure l'equació anterior com a

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Per tant, la relació de la pressió dinàmica del fluid més ràpid és

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

La resposta final és 2,25 o 9/4.

Pregunta 15

Per a un polinomi $p(x)$, el valor de $p(3)$ és $-2$. Quina de les següents afirmacions ha de ser certa sobre $p(x)$?

A) $x-5$ és un factor de $p(x)$.
B) $x-2$ és un factor de $p(x)$.
C) $x+2$ és un factor de $p(x)$.
D) La resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és $-2$.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Si el polinomi $p(x)$ es divideix per un polinomi de la forma $x+k$ (que té en compte totes les opcions de resposta possibles en aquesta pregunta), el resultat es pot escriure com

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

on $q(x)$ és un polinomi i $r$ és la resta. Com que $x + k$ és un polinomi de grau 1 (és a dir, només inclou $x^1$ i no hi ha exponents superiors), la resta és un nombre real.

Per tant, $p(x)$ es pot reescriure com $p(x) = (x + k)q(x) + r$, on $r$ és un nombre real.

La pregunta diu que $p(3) = -2$, per tant ha de ser cert que

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Ara podem connectar totes les respostes possibles. Si la resposta és A, B o C, $r$ serà

Vols posar-te a prova amb les preguntes de matemàtiques SAT més difícils? Vols saber què fa que aquestes preguntes siguin tan difícils i la millor manera de resoldre-les? Si esteu preparats per enfonsar-vos les dents a la secció de matemàtiques SAT i tens la mirada posada en aquesta puntuació perfecta, aquesta és la guia per a tu.

Hem reunit el que creiem que és les 15 preguntes més difícils per al SAT actual , amb estratègies i explicacions de respostes per a cadascuna. Totes aquestes són preguntes difícils de matemàtiques SAT de les proves pràctiques SAT del College Board, el que significa que comprendre-les és una de les millors maneres d'estudiar per a aquells que busqueu la perfecció.

Imatge: Sonia Sevilla /Viquimèdia

Breu visió general de SAT Math

Les seccions tercera i quarta del SAT seran sempre seccions de matemàtiques . La primera subsecció de matemàtiques (anomenada '3') fa no us permetrà utilitzar una calculadora, mentre que la segona subsecció de matemàtiques (etiquetada com a '4') fa permet l'ús d'una calculadora. Tanmateix, no us preocupeu massa per la secció sense calculadora: si no teniu permís per fer servir una calculadora per a una pregunta, vol dir que no necessiteu una calculadora per respondre-la.

Cada subsecció de matemàtiques està ordenada per ordre ascendent de dificultat (on com més temps es triga a resoldre un problema i com menys persones el responguin correctament, més difícil és). A cada subsecció, la pregunta 1 serà 'fàcil' i la pregunta 15 es considerarà 'difícil'. Tanmateix, la dificultat ascendent es restableix de fàcil a difícil a les graelles.

Per tant, les preguntes d'elecció múltiple s'organitzen en dificultat creixent (les preguntes 1 i 2 seran les més fàcils, les preguntes 14 i 15 seran les més difícils), però el nivell de dificultat es restableix per a la secció de graella (és a dir, les preguntes 16 i 17 seran de nou. 'fàcil' i les preguntes 19 i 20 seran molt difícils).

Amb poques excepcions, doncs, els problemes de matemàtiques SAT més difícils s'agruparan al final dels segments d'elecció múltiple o a la segona meitat de les preguntes de la graella. Tanmateix, a més de la seva col·locació a la prova, aquestes preguntes també comparteixen alguns altres punts en comú. En un minut, veurem preguntes d'exemple i com resoldre'ls, i després les analitzarem per esbrinar què tenen en comú aquest tipus de preguntes.

Però primer: hauríeu de centrar-vos en les preguntes de matemàtiques més difícils ara mateix?

Si acabeu de començar la vostra preparació per a l'estudi (o si simplement us heu saltat aquest primer pas crucial), definitivament atureu-vos i feu una prova pràctica completa per avaluar el vostre nivell de puntuació actual. Consulteu la nostra guia totes les proves de pràctica SAT gratuïtes disponibles en línia i després seure a fer una prova alhora.

La millor manera absoluta d'avaluar el vostre nivell actual és simplement fer la prova de pràctica SAT com si fos real, mantenint un temps estricte i treballant directament amb només les pauses permeses (sabem, probablement no la vostra manera preferida de passar un dissabte). Un cop tingueu una bona idea del vostre nivell actual i la vostra classificació percentil, podeu establir fites i objectius per a la vostra puntuació final de SAT Math.

Si actualment esteu puntuant entre 200 i 400 o entre 400 i 600 a SAT Math, la millor opció és consultar la nostra guia per millorar la vostra puntuació de matemàtiques. ser constantment superior a 600 abans de començar a tractar d'abordar els problemes matemàtics més difícils de la prova.

Tanmateix, si ja teniu una puntuació superior a 600 a la secció de matemàtiques i voleu provar el vostre valor per al SAT real, aneu definitivament a la resta d'aquesta guia. Si busqueu la perfecció (o a prop) , llavors haureu de saber com són les preguntes de matemàtiques SAT més difícils i com resoldre'ls. I, per sort, això és exactament el que farem.

ADVERTIMENT: Com que hi ha un nombre limitat de proves pràctiques oficials del SAT , és possible que vulgueu esperar per llegir aquest article fins que hàgiu provat totes o la majoria de les quatre primeres proves pràctiques oficials (ja que la majoria de les preguntes següents es van extreure d'aquestes proves). Si us preocupa fer malbé aquestes proves, deixeu de llegir aquesta guia ara; torna i llegeix-lo quan els hagis acabat.

Ara anem a la nostra llista de preguntes (whoo)!

Imatge: Niytx /DeviantArt

Les 15 preguntes de matemàtiques SAT més difícils

Ara que esteu segur que hauríeu d'intentar aquestes preguntes, anem a submergir-nos! Hem seleccionat 15 de les preguntes de matemàtiques SAT més difícils per a que les proveu a continuació, juntament amb explicacions sobre com obtenir la resposta (si us trobeu).

Sense calculadora SAT Preguntes de matemàtiques

Pregunta 1

$$C=5/9(F-32)$$

L'equació anterior mostra com la temperatura $F$, mesurada en graus Fahrenheit, es relaciona amb una temperatura $C$, mesurada en graus Celsius. D'acord amb l'equació, quina de les següents afirmacions ha de ser certa?

1. Un augment de la temperatura d'1 grau Fahrenheit és equivalent a un augment de la temperatura de $ 5/9 $ grau Celsius.
2. Un augment de temperatura d'1 grau Celsius equival a un augment de temperatura d'1,8 graus Fahrenheit.
3. Un augment de temperatura de $ 5/9 $ grau Fahrenheit equival a un augment de temperatura d'1 grau Celsius.

A) Només jo
B) Només II
C) Només III
D) Només I i II

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Penseu en l'equació com una equació per a una recta

$$y=mx+b$$

on en aquest cas

$$C= {5}/{9} (F−32)$$

o

$$C={5}/{9}F −{5}/{9}(32)$$

Podeu veure que el pendent del gràfic és de ${5}/{9}$, el que significa que per a un augment d'1 grau Fahrenheit, l'augment és de ${5}/{9}$ d'1 grau centígrad.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} (1)= {5}/{9}$$

Per tant, l'afirmació I és certa. Això equival a dir que un augment d'1 grau Celsius és igual a un augment de ${9}/{5}$ graus Fahrenheit.

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$1= {5}/{9} (F)$$

$$(F)={9}/{5}$$

Com que ${9}/{5}$ = 1,8, l'afirmació II és certa.

L'única resposta que té tant l'afirmació I com l'afirmació II com a certes és D , però si teniu temps i voleu ser absolutament exhaustiu, també podeu comprovar si l'afirmació III (un augment de ${5}/{9}$ grau Fahrenheit és igual a un augment de temperatura d'1 grau Celsius) és certa. :

$$C= {5}/{9} (F)$$

$$C= {5}/{9} ({5}/{9})$$

$$C= {25} /{81} (que és ≠ 1)$$

Un augment de $5/9$ grau Fahrenheit comporta un augment de ${25}/{81}$, no 1 grau Celsius, i per tant l'afirmació III no és certa.

La resposta final és D.

Pregunta 2

L'equació${24x^2 + 25x -47}/{ax-2} = -8x-3-{53/{ax-2}}$és cert per a tots els valors de $x≠2/a$, on $a$ és una constant.

Quin és el valor de $a$?

A) -16
B) -3
C) 3
D) 16

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Hi ha dues maneres de resoldre aquesta qüestió. La manera més ràpida és multiplicar cada costat de l'equació donada per $ax-2$ (per tal que pugueu desfer-vos de la fracció). Quan multipliqueu cada costat per $ax-2$, hauríeu de tenir:

$$24x^2 + 25x - 47 = (-8x-3)(ax-2) - 53$$

Aleshores hauríeu de multiplicar $(-8x-3)$ i $(ax-2)$ amb FOIL.

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x + 6 - 53$$

A continuació, reduïu al costat dret de l'equació

$$24x^2 + 25x - 47 = -8ax^2 - 3ax +16x - 47$$

Com que els coeficients del terme $x^2$ han de ser iguals als dos costats de l'equació, $−8a = 24$, o $a = −3$.

L'altra opció que és més llarga i tediosa és intentar connectar totes les opcions de resposta per a a i veure quina opció de resposta fa que els dos costats de l'equació siguin iguals. De nou, aquesta és l'opció més llarga i no la recomano per al SAT real, ja que perdrà massa temps.

La resposta final és B.

Pregunta 3

Si $3x-y = 12$, quin és el valor de ${8^x}/{2^y}$?

A) $2^{12}$
B) 4$^4$
C) 8$^2$
D) El valor no es pot determinar a partir de la informació proporcionada.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Un enfocament és expressar

$${8^x}/{2^y}$$

de manera que el numerador i el denominador s'expressen amb la mateixa base. Com que 2 i 8 són totes dues potències de 2, substituint $2^3$ per 8 al numerador de ${8^x}/{2^y}$ dóna

$${(2^3)^x}/{2^y}$$

que es pot reescriure

$${2^3x}/{2^y}$$

Com que el numerador i el denominador de tenen una base comuna, aquesta expressió es pot reescriure com $2^(3x−y)$. A la pregunta, afirma que $3x − y = 12$, de manera que es pot substituir 12 per l'exponent, $3x − y$, el que significa que

$${8^x}/{2^y}= 2^12$$

La resposta final és A.

Pregunta 4

Els punts A i B es troben en una circumferència de radi 1, i l'arc ${AB}↖⌢$ té una longitud de $π/3$. Quina fracció de la circumferència del cercle té la longitud de l'arc ${AB}↖⌢$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per esbrinar la resposta a aquesta pregunta, primer haureu de conèixer la fórmula per trobar la circumferència d'un cercle.

La circumferència, $C$, d'un cercle és $C = 2πr$, on $r$ és el radi del cercle. Per al cercle donat amb un radi d'1, la circumferència és $C = 2(π)(1)$, o $C = 2π$.

Per trobar quina fracció de la circumferència és la longitud de ${AB}↖⌢$, divideix la longitud de l'arc per la circumferència, la qual cosa dóna $π/3 ÷ 2π$. Aquesta divisió es pot representar per $π/3 * {1/2}π = 1/6$.

La fracció $1/6$ també es pot reescriure com a $0,166$ o $0,167$.

La resposta final és $1/6$, $0,166$ o $0,167$.

Pregunta 5

$${8-i}/{3-2i}$$

Si l'expressió anterior es reescriu en la forma $a+bi$, on $a$ i $b$ són nombres reals, quin és el valor de $a$? (Nota: $i=√{-1}$)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per reescriure ${8-i}/{3-2i}$ en la forma estàndard $a + bi$, heu de multiplicar el numerador i el denominador de ${8-i}/{3-2i}$ pel conjugat , 3 $ + 2 i$. Això és igual

$$({8-i}/{3-2i})({3+2i}/{3+2i})={24+16i-3+(-i)(2i)}/{(3^2 )-(2i)^2}$$

Com que $i^2=-1$, aquesta darrera fracció es pot reduir simplificada a

$$ {24+16i-3i+2}/{9-(-4)}={26+13i}/{13}$$

que simplifica encara més a $2 + i$. Per tant, quan ${8-i}/{3-2i}$ es reescriu en la forma estàndard a + bi, el valor de a és 2.

La resposta final és A.

Pregunta 6

Al triangle $ABC$, la mesura de $∠B$ és 90°, $BC=16$ i $AC$=20. El triangle $DEF$ és similar al triangle $ABC$, on els vèrtexs $D$, $E$ i $F$ corresponen als vèrtexs $A$, $B$ i $C$, respectivament, i cada costat del triangle $ DEF$ és $1/3$ la longitud del costat corresponent del triangle $ABC$. Quin és el valor de $sinF$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El triangle ABC és un triangle rectangle amb el seu angle recte a B. Per tant, $ov {AC}$ és la hipotenusa del triangle rectangle ABC, i $ov {AB}$ i $ov {BC}$ són els catets de triangle rectangle ABC. Segons el teorema de Pitàgores,

$$AB =√{20^2-16^2}=√{400-256}=√{144}=12$$

Com que el triangle DEF és similar al triangle ABC, amb el vèrtex F corresponent al vèrtex C, la mesura de $angle ∠ {F}$ és igual a la mesura de $angle ∠ {C}$. Per tant, $sin F = sin C$. A partir de les longituds dels costats del triangle ABC,

$$sinF ={oposat side}/{hypotenuse}={AB}/{AC}={12}/{20}={3}/{5}$$

Per tant, $sinF ={3}/{5}$.

La resposta final és ${3}/{5}$ o 0,6.

Preguntes de matemàtiques SAT permeses per calculadora

Pregunta 7

La taula incompleta anterior resumeix el nombre d'alumnes esquerrans i dretans per gènere per als estudiants de vuitè grau de l'escola secundària Keisel. Hi ha 5 vegades més estudiants dretanes que estudiants esquerranes, i 9 vegades més estudiants homes dretans que estudiants esquerrans. si a l'escola hi ha un total de 18 alumnes esquerrans i 122 dretans, quin dels següents s'aproxima més a la probabilitat que un alumne dretà seleccionat a l'atzar sigui dona? (Nota: Suposem que cap dels estudiants de vuitè grau és dretà i esquerrans.)

A) 0,410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, hauríeu de crear dues equacions amb dues variables ($x$ i $y$) i la informació que us proporcioneu. Sigui $x$ el nombre d'estudiants esquerranes i $y$ sigui el nombre d'estudiants esquerrans. Utilitzant la informació proporcionada al problema, el nombre d'estudiants dretanes serà de $5x$ i el nombre d'estudiants homes dretans serà de $9y$. Com que el nombre total d'estudiants esquerrans és de 18 i el nombre total d'estudiants dretans és de 122, el sistema d'equacions següent ha de ser cert:

$$x + y = 18$$

$$5x + 9y = 122$$

Quan resoleu aquest sistema d'equacions, obteniu $x = 10$ i $y = 8$. Així, 5*10, o 50, dels 122 estudiants dretans són dones. Per tant, la probabilitat que un estudiant dretà seleccionat a l'atzar sigui una dona és de ${50}/{122}$, que a la mil·lèsima més propera és de 0,410.

La resposta final és A.

Preguntes 8 i 9

Utilitzeu la informació següent tant per a la pregunta 7 com per a la pregunta 8.

Si els compradors entren a una botiga a una taxa mitjana de $r$ compradors per minut i cadascun roman a la botiga durant un temps mitjà de $T$ minuts, es dona el nombre mitjà de compradors a la botiga, $N$, en qualsevol moment. mitjançant la fórmula $N=rT$. Aquesta relació es coneix com la llei de Little.

El propietari de Good Deals Store calcula que durant l'horari comercial entren a la botiga una mitjana de 3 compradors per minut i que cadascun d'ells es queda una mitjana de 15 minuts. El propietari de la botiga utilitza la llei de Little per estimar que hi ha 45 compradors a la botiga en qualsevol moment.

Pregunta 8

La llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga, com ara un departament determinat o les línies de caixa. El propietari de la botiga determina que, durant l'horari comercial, aproximadament 84 compradors per hora fan una compra i cadascun d'aquests compradors passa una mitjana de 5 minuts a la línia de pagament. En qualsevol moment durant l'horari comercial, quants compradors, de mitjana, esperen a la fila de pagament per fer una compra a la botiga Good Deals?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la pregunta indica que la llei de Little es pot aplicar a qualsevol part de la botiga (per exemple, només la línia de pagament), aleshores el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment és $N = rT $, on $r$ és el nombre de compradors que entren a la línia de pagament per minut i $T$ és el nombre mitjà de minuts que cada comprador passa a la línia de pagament.

Com que 84 compradors per hora fan una compra, 84 compradors per hora entren a la línia de pagament. Tanmateix, s'ha de convertir en el nombre de compradors per minut (per poder utilitzar-lo amb $T = 5$). Com que hi ha 60 minuts en una hora, la tarifa és de ${84 shoppers per hour}/{60 minutes} = 1,4 $ compradors per minut. Utilitzant la fórmula donada amb $r = 1,4$ i $T = 5$ s'obté

$$N = rt = (1,4)(5) = 7$$

Per tant, el nombre mitjà de compradors, $N$, a la línia de pagament en qualsevol moment durant l'horari comercial és de 7.

La resposta final és 7.

Pregunta 9

El propietari de la botiga Good Deals obre una nova botiga a tota la ciutat. Per a la nova botiga, el propietari calcula que, en horari comercial, una mitjana de 90 compradors perhoresentrar a la botiga i cadascun d'ells es queda una mitjana de 12 minuts. El nombre mitjà de compradors a la botiga nova en qualsevol moment és quin percentatge menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment? (Nota: Ignoreu el símbol de percentatge quan introduïu la vostra resposta. Per exemple, si la resposta és 42,1%, introduïu 42,1)

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Segons la informació original proporcionada, el nombre mitjà estimat de compradors a la botiga original en cada moment (N) és de 45. A la pregunta, s'indica que, a la nova botiga, el gerent estima que una mitjana de 90 compradors per hora (60 minuts) entra a la botiga, que equival a 1,5 compradors per minut (r). El gerent també calcula que cada comprador es queda a la botiga una mitjana de 12 minuts (T). Així, segons la llei de Little, hi ha, de mitjana, $N = rT = (1,5)(12) = 18$ compradors a la nova botiga en qualsevol moment. Això és

$${45-18}/{45} * 100 = 60$$

per cent menys que el nombre mitjà de compradors a la botiga original en qualsevol moment.

La resposta final és 60.

Pregunta 10

En el pla $xy$, el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, on $b$ és una constant. El punt amb les coordenades $(2p, 5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$. Si $p≠0$, quin és el valor de $r/p$?

A) 2/5 $

B) 3/4 $

C) $4/3$

D) 5/2 $

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que el punt $(p,r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $p$ per $x$ i $r$ per $y$ a l'equació $y=x+b$ dóna $r=p+b$, o $i b$ = $i r-i p $.

De la mateixa manera, com que el punt $(2p,5r)$ es troba a la recta amb l'equació $y=2x+b$, el punt ha de satisfer l'equació. Substituint $2p$ per $x$ i $5r$ per $y$ a l'equació $y=2x+b$ dóna:

$5r=2(2p)+b$

$5r=4p+b$

$y b$ = $o 5 y r-o 4y p$.

A continuació, podem establir les dues equacions iguals a $b$ iguals entre si i simplificar:

$b=r-p=5r-4p$

$3p=4r$

Finalment, per trobar $r/p$, hem de dividir els dos costats de l'equació per $p$ i per $4$:

$3p=4r$

$3={4r}/p$

$3/4=r/p$

La resposta correcta és B , $3/4$.

Si heu triat les opcions A i D, és possible que hàgiu format incorrectament la vostra resposta a partir dels coeficients del punt $(2p, 5r)$. Si heu escollit l'opció C, és possible que hàgiu confós $r$ i $p$.

Tingueu en compte que, tot i que es troba a la secció de calculadora del SAT, no necessiteu la vostra calculadora per resoldre'l!

Pregunta 11

Una sitja de gra es construeix a partir de dos cons circulars dretes i un cilindre circular dret amb mesures internes representades per la figura anterior. De les següents, quina és la més propera al volum de la sitja de gra, en peus cúbics?

A) 261,8
B) 785,4
C) 916,3
D) 1047,2

RESPOSTA EXPLICACIÓ: El volum de la sitja de gra es pot trobar sumant els volums de tots els sòlids que la componen (un cilindre i dos cons). La sitja està formada per un cilindre (amb una alçada de 10 peus i un radi de base de 5 peus) i dos cons (cadascun amb una alçada de 5 peus i un radi de base de 5 peus). Les fórmules que es donen al començament de la secció SAT Math:

Volum d'un con

$$V={1}/{3}πr^2h$$

Volum d'un cilindre

$$V=πr^2h$$

es pot utilitzar per determinar el volum total de la sitja. Com que els dos cons tenen dimensions idèntiques, el volum total, en peus cúbics, de la sitja ve donat per

$$V_{silo}=π(5^2)(10)+(2)({1}/{3})π(5^2)(5)=({4}/{3})(250 )p$$

que és aproximadament igual a 1.047,2 peus cúbics.

La resposta final és D.

Pregunta 12

Si $x$ és la mitjana (mitjana aritmètica) de $m$ i $9$, $y$ és la mitjana de $2m$ i $15$, i $z$ és la mitjana de $3m$ i $18$, què és la mitjana de $x$, $y$ i $z$ en termes de $m$?

A) $m+6$
B) $m+7$
C) 2 milions de dòlars + 14 $
D) 3 milions de dòlars + 21 dòlars

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Com que la mitjana (mitjana aritmètica) de dos nombres és igual a la suma dels dos nombres dividida per 2, les equacions $x={m+9}/{2}$, $y={2m+15}/{2 }$, $z={3m+18}/{2}$són certs. La mitjana de $x$, $y$ i $z$ ve donada per ${x + y + z}/{3}$. Substituint les expressions en m per a cada variable ($x$, $y$, $z$) dóna

$$[{m+9}/{2}+{2m+15}/{2}+{3m+18}/{2}]/3$$

Aquesta fracció es pot simplificar a $m + 7$.

La resposta final és B.

Pregunta 13

La funció $f(x)=x^3-x^2-x-{11/4}$ està representada gràficament al pla $xy$ de dalt. Si $k$ és una constant tal que l'equació $f(x)=k$ té tres solucions reals, quina de les següents podria ser el valor de $k$?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: L'equació $f(x) = k$ dóna les solucions del sistema d'equacions

$$y = f(x) = x^3-x^2-x-{11}/{4}$$

i

$$i = k$$

Una solució real d'un sistema de dues equacions correspon a un punt d'intersecció de les gràfiques de les dues equacions en el pla $xy$.

La gràfica de $y = k$ és una línia horitzontal que conté el punt $(0, k)$ i talla tres vegades la gràfica de l'equació cúbica (ja que té tres solucions reals). Donada la gràfica, l'única línia horitzontal que tallaria l'equació cúbica tres vegades és la recta amb l'equació $y = −3$, o $f(x) = −3$. Per tant, $k$ és $-3$.

La resposta final és D.

Pregunta 14

$$q={1/2}nv^2$$

La pressió dinàmica $q$ generada per un fluid que es mou amb velocitat $v$ es pot trobar utilitzant la fórmula anterior, on $n$ és la densitat constant del fluid. Un enginyer aeronàutic utilitza la fórmula per trobar la pressió dinàmica d'un fluid que es mou amb velocitat $v$ i el mateix fluid que es mou amb velocitat 1,5$v$. Quina és la relació entre la pressió dinàmica del fluid més ràpid i la pressió dinàmica del fluid més lent?

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Per resoldre aquest problema, cal configurar equacions amb variables. Sigui $q_1$ la pressió dinàmica del fluid més lent que es mou amb velocitat $v_1$, i sigui $q_2$ la pressió dinàmica del fluid més ràpid que es mou amb velocitat $v_2$. Aleshores

$$v_2 =1,5v_1$$

Donada l'equació $q = {1}/{2}nv^2$, substituint la pressió dinàmica i la velocitat del fluid més ràpid dóna $q_2 = {1}/{2}n(v_2)^2$. Com que $v_2 =1,5v_1$, l'expressió $1,5v_1$ es pot substituir per $v_2$ en aquesta equació, donant $q_2 = {1}/{2}n(1,5v_1)^2$. En quadrar $1,5$, podeu reescriure l'equació anterior com a

$$q_2 = (2,25)({1}/{2})n(v_1)^2 = (2,25)q_1$$

Per tant, la relació de la pressió dinàmica del fluid més ràpid és

$${q2}/{q1} = {2,25 q_1}/{q_1}= 2,25$$

La resposta final és 2,25 o 9/4.

Pregunta 15

Per a un polinomi $p(x)$, el valor de $p(3)$ és $-2$. Quina de les següents afirmacions ha de ser certa sobre $p(x)$?

A) $x-5$ és un factor de $p(x)$.
B) $x-2$ és un factor de $p(x)$.
C) $x+2$ és un factor de $p(x)$.
D) La resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és $-2$.

RESPOSTA EXPLICACIÓ: Si el polinomi $p(x)$ es divideix per un polinomi de la forma $x+k$ (que té en compte totes les opcions de resposta possibles en aquesta pregunta), el resultat es pot escriure com

$${p(x)}/{x+k}=q(x)+{r}/{x+k}$$

on $q(x)$ és un polinomi i $r$ és la resta. Com que $x + k$ és un polinomi de grau 1 (és a dir, només inclou $x^1$ i no hi ha exponents superiors), la resta és un nombre real.

Per tant, $p(x)$ es pot reescriure com $p(x) = (x + k)q(x) + r$, on $r$ és un nombre real.

La pregunta diu que $p(3) = -2$, per tant ha de ser cert que

$$-2 = p(3) = (3 + k)q(3) + r$$

Ara podem connectar totes les respostes possibles. Si la resposta és A, B o C, $r$ serà $0$, mentre que si la resposta és D, $r$ serà $-2$.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Aquesta voluntat sempre sigui veritat no importa què sigui $q(3)$.

De les opcions de resposta, l'única que haver de Sigui cert que $p(x)$ és D, que la resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és -2.

La resposta final és D.

Et mereixes totes les migdiades després de fer aquestes preguntes.

Què tenen en comú les preguntes de matemàtiques SAT més difícils?

És important entendre què dificulta aquestes preguntes difícils. En fer-ho, podreu entendre i resoldre preguntes similars quan les vegeu el dia de la prova, així com tenir una millor estratègia per identificar i corregir els vostres errors de matemàtiques SAT anteriors.

En aquesta secció, veurem què tenen en comú aquestes preguntes i donarem exemples de cada tipus. Alguns dels motius pels quals les preguntes de matemàtiques més difícils són les preguntes de matemàtiques més difícils és perquè:

#1: prova diversos conceptes matemàtics alhora

Aquí, hem de tractar amb nombres i fraccions imaginaris alhora.

Secret de l'èxit: Penseu en quines matemàtiques aplicables podríeu utilitzar per resoldre el problema, feu un pas a la vegada i proveu cada tècnica fins que trobeu una que funcioni!

#2: implica molts passos

Recordeu: com més passos hàgiu de fer, més fàcil és equivocar-vos en algun lloc de la línia!

Hem de resoldre aquest problema per passos (fent diverses mitjanes) per desbloquejar la resta de respostes en efecte dòmino. Això pot resultar confús, sobretot si esteu estressat o us queda sense temps.

Secret de l'èxit: Preneu-ho lentament, feu-ho pas a pas i comproveu el vostre treball per no equivocar-vos!

# 3: proveu conceptes amb els quals tingueu una familiaritat limitada

Per exemple, molts estudiants estan menys familiaritzats amb les funcions que amb les fraccions i els percentatges, de manera que la majoria de preguntes sobre funcions es consideren problemes d'alta dificultat.

Si no coneixeu les funcions, aquest seria un problema complicat.

Secret de l'èxit: Revisa conceptes matemàtics amb els quals no estàs tan familiaritzat, com ara funcions . Us suggerim que utilitzeu les nostres excel·lents guies gratuïtes de revisió SAT Math.

# 4: estan redactats de maneres inusuals o complicades

Pot ser difícil esbrinar quines són exactament algunes preguntes preguntant , i molt menys saber com resoldre'ls. Això és especialment cert quan la pregunta es troba al final de la secció i s'està quedant sense temps.

Com que aquesta pregunta proporciona tanta informació sense un diagrama, pot ser difícil de resoldre en el temps limitat que es permet.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el temps, analitzeu el que us demanen i feu un diagrama si us és útil.

#5: Utilitzeu moltes variables diferents

Amb tantes variables diferents en joc, és bastant fàcil confondre's.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el vostre temps, analitzeu el que se us demana i considereu si connectar números és una bona estratègia per resoldre el problema (no seria per a la pregunta anterior, sinó per a moltes altres preguntes de variable SAT).

Els Take-Aways

El SAT és una marató i com més preparat estiguis per a això, millor et sentiràs el dia de la prova. Saber com gestionar les preguntes més difícils que la prova et pot plantejar farà que prendre el SAT real sembli molt menys descoratjador.

Si creieu que aquestes preguntes eren fàcils, assegureu-vos de no subestimar l'efecte de l'adrenalina i la fatiga en la vostra capacitat per resoldre problemes. A mesura que continueu estudiant, seguiu sempre les directrius de temps adequades i proveu de fer proves completes sempre que sigui possible. Aquesta és la millor manera de recrear l'entorn de prova real perquè pugueu preparar-vos per a l'oferta real.

Si creieu que aquestes preguntes eren un repte, assegureu-vos d'enfortir els vostres coneixements de matemàtiques consultant les nostres guies individuals de temes de matemàtiques per al SAT. Allà, veureu explicacions més detallades dels temes en qüestió, així com desglossaments de respostes més detallats.

Que segueix?

Creieu que aquestes preguntes eren més difícils del que esperàveu? Fes un cop d'ull a tots els temes tractats a la secció de matemàtiques SAT i, a continuació, nota quines seccions van ser especialment difícils per a tu. A continuació, feu una ullada a les nostres guies matemàtiques individuals per ajudar-vos a apuntalar qualsevol d'aquestes àrees febles.

S'està quedant sense temps a la secció de matemàtiques del SAT? La nostra guia us ajudarà a superar el rellotge i a maximitzar la vostra puntuació.

Voleu aconseguir una puntuació perfecta? Fes una ullada la nostra guia sobre com obtenir un 800 perfecte a la secció de matemàtiques SAT , escrit per un golejador perfecte.

A. $-2 = p(3) = (3 + (-5))q(3) + 0$
$-2=(3-5)q(3)$
$-2=(-2)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=1$

B. $-2 = p(3) = (3 + (-2))q(3) + 0$
$-2 = (3-2)q(3)$
$-2 = (-1)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)=2$

C. $-2 = p(3) = (3 + 2)q(3) + 0$
$-2 = (5)q(3)$

Això podria ser cert, però només si $q(3)={-2}/{5}$

D. $-2 = p(3) = (3 + (-3))q(3) + (-2)$
$-2 = (3 - 3)q(3) + (-2)$
$-2 = (0)q(3) + (-2)$

Aquesta voluntat sempre sigui veritat no importa què sigui $q(3)$.

De les opcions de resposta, l'única que haver de Sigui cert que $p(x)$ és D, que la resta quan $p(x)$ es divideix per $x-3$ és -2.

La resposta final és D.

Et mereixes totes les migdiades després de fer aquestes preguntes.

Què tenen en comú les preguntes de matemàtiques SAT més difícils?

És important entendre què dificulta aquestes preguntes difícils. En fer-ho, podreu entendre i resoldre preguntes similars quan les vegeu el dia de la prova, així com tenir una millor estratègia per identificar i corregir els vostres errors de matemàtiques SAT anteriors.

En aquesta secció, veurem què tenen en comú aquestes preguntes i donarem exemples de cada tipus. Alguns dels motius pels quals les preguntes de matemàtiques més difícils són les preguntes de matemàtiques més difícils és perquè:

#1: prova diversos conceptes matemàtics alhora

Aquí, hem de tractar amb nombres i fraccions imaginaris alhora.

Secret de l'èxit: Penseu en quines matemàtiques aplicables podríeu utilitzar per resoldre el problema, feu un pas a la vegada i proveu cada tècnica fins que trobeu una que funcioni!

#2: implica molts passos

Recordeu: com més passos hàgiu de fer, més fàcil és equivocar-vos en algun lloc de la línia!

Hem de resoldre aquest problema per passos (fent diverses mitjanes) per desbloquejar la resta de respostes en efecte dòmino. Això pot resultar confús, sobretot si esteu estressat o us queda sense temps.

Secret de l'èxit: Preneu-ho lentament, feu-ho pas a pas i comproveu el vostre treball per no equivocar-vos!

# 3: proveu conceptes amb els quals tingueu una familiaritat limitada

Per exemple, molts estudiants estan menys familiaritzats amb les funcions que amb les fraccions i els percentatges, de manera que la majoria de preguntes sobre funcions es consideren problemes d'alta dificultat.

Si no coneixeu les funcions, aquest seria un problema complicat.

Secret de l'èxit: Revisa conceptes matemàtics amb els quals no estàs tan familiaritzat, com ara funcions . Us suggerim que utilitzeu les nostres excel·lents guies gratuïtes de revisió SAT Math.

# 4: estan redactats de maneres inusuals o complicades

Pot ser difícil esbrinar quines són exactament algunes preguntes preguntant , i molt menys saber com resoldre'ls. Això és especialment cert quan la pregunta es troba al final de la secció i s'està quedant sense temps.

Com que aquesta pregunta proporciona tanta informació sense un diagrama, pot ser difícil de resoldre en el temps limitat que es permet.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el temps, analitzeu el que us demanen i feu un diagrama si us és útil.

#5: Utilitzeu moltes variables diferents

Amb tantes variables diferents en joc, és bastant fàcil confondre's.

Secret de l'èxit: Preneu-vos el vostre temps, analitzeu el que se us demana i considereu si connectar números és una bona estratègia per resoldre el problema (no seria per a la pregunta anterior, sinó per a moltes altres preguntes de variable SAT).

Els Take-Aways

El SAT és una marató i com més preparat estiguis per a això, millor et sentiràs el dia de la prova. Saber com gestionar les preguntes més difícils que la prova et pot plantejar farà que prendre el SAT real sembli molt menys descoratjador.

Si creieu que aquestes preguntes eren fàcils, assegureu-vos de no subestimar l'efecte de l'adrenalina i la fatiga en la vostra capacitat per resoldre problemes. A mesura que continueu estudiant, seguiu sempre les directrius de temps adequades i proveu de fer proves completes sempre que sigui possible. Aquesta és la millor manera de recrear l'entorn de prova real perquè pugueu preparar-vos per a l'oferta real.

característiques d'una sèrie de panda

Si creieu que aquestes preguntes eren un repte, assegureu-vos d'enfortir els vostres coneixements de matemàtiques consultant les nostres guies individuals de temes de matemàtiques per al SAT. Allà, veureu explicacions més detallades dels temes en qüestió, així com desglossaments de respostes més detallats.

Que segueix?

Creieu que aquestes preguntes eren més difícils del que esperàveu? Fes un cop d'ull a tots els temes tractats a la secció de matemàtiques SAT i, a continuació, nota quines seccions van ser especialment difícils per a tu. A continuació, feu una ullada a les nostres guies matemàtiques individuals per ajudar-vos a apuntalar qualsevol d'aquestes àrees febles.

S'està quedant sense temps a la secció de matemàtiques del SAT? La nostra guia us ajudarà a superar el rellotge i a maximitzar la vostra puntuació.

Voleu aconseguir una puntuació perfecta? Fes una ullada la nostra guia sobre com obtenir un 800 perfecte a la secció de matemàtiques SAT , escrit per un golejador perfecte.